甘肃省武威第六教育集团2024级高二第一学期期末测试数学试题

这是一份甘肃省武威第六教育集团2024级高二第一学期期末测试数学试题，共11页。试卷主要包含了 下列求导数运算正确的是等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
本卷命题范围：湘教版选择性必修第一册，选择性必修第二册第1章第1节～第2节。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
小张需要乘坐某班次高铁去北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座3张，一等座8张，商务座6张，则小张的购票方案种数为
A.14
B.17
C.90
D.144
已知函数f(x)=2x2−x+1，则f(x)从1到1+Δx的平均变化率为
A. 2Δx+3
B.2
C. 2(Δx)2+3Δx
D. 2(Δx)2−Δx+1
若抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点在直线x+2y−1=0上，则p=
A.1
B.2
C.4
D.6
以A(1,2)，B(3,6)为直径的两个端点的圆的方程为
A. (x−1)2+(y−2)2=5
B. (x−2)2+(y−4)2=5
C. (x−1)2+(y−2)2=5
D. (x−2)2+(y−4)2=5
甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利80周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有
A.120种
B.48种
C.24种
D.12种
过直线y=x−1上一点P作圆(x−4)2+y2=3的两条切线l1，l2，切点分别为A，B，当直线l1，l2关于y=x−1对称时，线段PA的长为
A. 6
B.2
C. 3
D. 62
7. 已知F1，F2为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，以F1F2为边作正三角形，若正三角形的另两条边的中点恰好在椭圆上，则该椭圆的离心率为
A. 12 B. 32
C. 3−1 D. 4−23
8. 已知m为满足S=n+C1000+C1001+C1002+⋯+C100100(n≥3)能被9整除的正整数n的最小值，则x−1xm的展开式中，系数最小的项为
A. 第6项
B. 第7项
C. 第11项
D. 第6项和第7项
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 下列求导数运算正确的是
A. (x3+sin2)'=3x2+cs2 B. (2x)'=2xln2
C. (xsinx)'=sinx+xcsx D. lnxx'=1−lnxx2
10.2025年国庆假期，小张、小李、小王、小刘四人计划去南京旅游。现有玄武湖、明孝陵、牛首山、银杏湖四个景点可供选择，且每人只能去一个景点，则
A. 每个景点都有人去的情况共有24种
B. 有景点没人去的情况共有256种
C. 恰有1个景点没人去的情况共有144种
D. 4人只选择“玄武湖”“明孝陵”两个景点的情况有14种
11. 已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别是A1，A2，左、右焦点分别是F1，F2，P是双曲线上异于A1，A2的任意一点，则
A. ||PA1|−|PA2||=2a
B. 直线PA1，PA2的斜率之积等于定值b2a2
C. 使得∆PF1F2为等腰三角形的点P有且仅有8个
D. ∆PF1F2的面积为b2tan∠A1PA22
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 过点P(1,2)且与直线x+2y−4=0垂直的直线的方程为________。
13. 已知函数f(x)=12f'(1)x2+lnx+f(1)3x，则f'(2)=________。
14. 已知数列{an}的通项公式为an=[lg2n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.2]=1，[−2.3]=−3，则a1+a2+a3+⋯+a2025= ¯。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
已知函数f(x)=lnx−ax2（a∈R），且f'(2)=−152。
（1） 求a的值；
（2） 求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程。
16.（本小题满分15分）
已知圆C：(x−2)2+(y+3)2=2。
（1） 若点A(a,b)是圆C上的一点，求2a+b的取值范围；
（2） 过点P(1,−1)的直线l与圆C交于M，N两点，且|MN|=2，求直线l的方程。
17.（本小题满分15分）
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上任意一点P到两个焦点的距离之和为8，且离心率为32。
（1） 求椭圆C的标准方程；
（2） 过点M(2,1)作直线l交椭圆于A，B两点，点M为线段AB的中点，求直线l的方程。
18.（本小题满分17分）
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=3，{Sn}是公比为3的等比数列.
（1）求Sn与an；
（2）设bn=anSn，求数列{bn}的前k项和Tk(k≥2)；
（3）判断是否存在正整数s，t，r(s0)的左顶点为A(−1,0)，左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与双曲线的右支交于P，Q两点.当|PF2|=|AF2|时，PF2⊥AF2.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若∆APQ的面积为9102，求直线l的方程；
（3）证明：存在实数λ，使得∠PF2A=λ∠PAF2恒成立.
武威第六中学教育集团2025～2026学年度第一学期期末测试·高二年级数学试卷
参考答案、提示及评分细则
1.B按照分类加法计数原理可得小张的购票方案种数为 3+8+6=17. 故选B.
2.A函数 f(x)=2x2−x+1 从 1 到 1+Δx 的平均变化率为 f(1+Δx)−f(1)Δx=[2(1+Δx)2−(1+Δx)+1]−(2−1+1)Δx=2Δx+3. 故选A.
3.B由题知，抛物线 C 的焦点为 p2,0， 代入 x+2y−1=0 得 p2−1=0， 解得 p=2. 故选B.
4.D易知该圆圆心为 A(1,2)， B(3,6) 的中点 C(2,4)， 半径 r=|AB|2=5， 所以该圆的方程为： (x−2)2+(y−4)2=5. 故选D.
5.C甲、乙相邻，将甲、乙捆绑在一起看作一个元素，共有 A44A22 种排法，甲、乙相邻且在两端有 C21A33A22 种排法，故甲、乙相邻且都不站在两端的排法有 A44A22−C21A33A22=24 （种）. 故选C.
6.D如图所示，圆心 C(4,0)， 连接 CP， 因为直线 l1，l2 关于直线 y=x−1 对称，所以 CP 垂直于直线 y=x−1， 故 |CP|=|4−1|2=322， 而 |AC|=3， 则 |PA|=|CP|2−|CA|2=62. 故选D.
7.C设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是 A，B， 易得 |AF1|=c， ∠F1AF2=90°， ∴|AF2|=3c， ∴|AF1|+|AF2|=(3+1)c=2a， ∴e=ca=c3+12c=3−1. 故选C.
8.A因为 C1000+C1001+C1002+C1003+C1004+C1005+C1006+⋯+C10099+C100100=2100， 所以 C1001+C1003+C1004+C1006+⋯+C100100=C1001+C1003+C1005+C1007+⋯+C10099=21002=299， 所以 C1002+C1004+C1006+⋯+C100100=299−1， 则 S=n+C1002+C1004+C1006+⋯+C100100=299+n−1=23×33+n−1=833+n−1=(9−1)33+n−1=C330×933−C331×932+C332×931+⋯+C3333×90−C3333+n−1=(C330×932−C331×931+C332×930+⋯+C3332)×9+n−2， 显然 C330×932−C331×931+C332×930+⋯+C3332 为正整数， 所以 (C330×932−C331×931+C332×930+⋯+C3332)×9 能被9整除， 又 n≥3 且 S 能被9整除， 所以 n−2 能被9整除， 所以 n−2=9k （k∈N∗）， 则 n=9k+2 （k∈N∗）， 又 n≥3， 所以 m=11， 所以 x−1xm=x−1x11， 所以在 x−1x11 的展开式中， 二项式系数最大的项为第6项和第7项， 又 x−1x11 的展开式的通项公式为 Tr+1=C11rx11−r−1xr （0≤r≤11， r∈N）， 因为第6项的系数为负数， 第7项的系数为正数， 所以第6项的系数最小， 第7项的系数最大. 故选A.
9.BCD对于A， (x3+sin2)'=3x2， 故A错误； 对于B， 由指数函数求导公式可得 (2x)'=2xln2， 故B正确； 对于C， (xsinx)'=sinx+xcsx， 故C正确； 对于D， lnxx'=1−lnxx2， 故D正确. 故选BCD.
10.ACD对于A， 每个景点都有人员选择去的情况数为 A44=4×3×2×1=24， 故A正确； 对于B，4人选择四个景点， 每人只能去一个的总的情况数为 44=256， 则有景点没人去的情况数为 256−24=232， 故B错误； 对于C， 恰有1个景点没人去的情况数为 C41×C41C32A22×A33=144， 故C正确； 对于D，4人只选择“玄武湖”“明孝陵”两个景点的情况数为C41A22+C22C22A22A22=14，故D正确.故选ACD.
11.BC在∆A1PA2中，两边之差小于第三边，即||PA1|−|PA2||a+c，则满足条件的点存在且唯一，若|PF2|=|F1F2|=2c，结合图象易知|PF2|>c−a，则满足条件的点存在且唯一，根据双曲线的对称性可知，使得∆PF1F2为等腰三角形的点P有且仅有8个，C正确；不妨设P在第一象限，则|PF1|−|PF2|=2a，|F1F2|=2c，cs∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2−|F1F2|22|PF1|×|PF2|=(|PF1|−|PF2|)2+2|PF1|×|PF2|−|F1F2|22|PF1|×|PF2|=4a2+2|PF1|×|PF2|−4c22|PF1|×|PF2|=|PF1|×|PF2|−2b2|PF1|×|PF2|，∴|PF1|×|PF2|=2b21−cs∠F1PF2。又S∆PF1F2=12|PF1|×|PF2|×sin∠F1PF2=b2sin∠F1PF21−cs∠F1PF2=2b2sin∠F1PF22cs∠F1PF222sin2∠F1PF22=b2tan∠F1PF22，所以D错误.故选BC.
12.2x−y=0 设所求直线的斜率为k，直线x+2y−4=0可化为y=−12x+2，斜率为−12，所以−12k=−1，解得k=2，又直线过点P(1,2)，所以直线方程为y−2=2(x−1)，整理得2x−y=0.
13.334 f'(x)=12f'(1)·2x+1x−f(1)3x2，令x=1，可得f'(1)=f'(1)+1−f(1)3，解得f(1)=3，所以f(1)=12f'(1)+1，即f'(1)=4，所以f'(x)=12×4×2x+1x−33x2=4x+1x−1x2，所以f'(2)=8+12−14=334.
14.18 214当n∈[2k,2k+1)时，k⩽lg2⁡n