广东省大湾区2025-2026学年高一上学期期末模拟数学试卷（Word版附解析）

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一、单选题
1．已知集合 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用集合交集的定义求解.
【详解】 集合 ，
.
故选：D.
2．命题“ ， ”的否定为
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【详解】分析：根据含有量词的命题的否定为：将任意改为存在，结论否定，即可写出命题的否定．
详解：由命题“ ， ”，其否定为： ， .
故选 C.
点睛：本题的考点是命题的否定，主要考查含量词的命题的否定形式：将任意与存在互换，结论否定即可．
3．已知函数 则
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 ， .
4．设 ，已知命题 ，命题 ．则 是 的（ ）
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A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】由 ，得 ，
由 ，得 ，即 ，
由于集合 是集合 的真子集，
故 是 的必要不充分条件，
故选：B.
5．已知 是奇函数，当 时， ，当 ， （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】任取 ，则 ，由此求出 ，又 是定义在
上的奇函数，故有 即可解出 时的解析式．
【详解】 是定义在 上的奇函数，故有 ，
任取 ，则 ，
当 时，
，
故选 B
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式，是函数奇偶性的一个重要应用．
6．已知 ，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将 两边平方整理得到 ，由 得到 ，由
得到 ，从而得到 ，由 和 得到 ，求出
利用 求出 ，联立 和 的等式，解得 和
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，利用 求出 ，从而得到答案.
【详解】 ， ，
， ，
， ，
， ， ， ，故选项 A 正确；
，
，
， ，
，故选项 D 错误；
联立 ，解得 ，则 ，故选项 B 和 C 正确.
故答案为：D.
7．已知实数 a，b 满足 ， ，则 的最小值为（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
【答案】D
【分析】将 拆成 ,再根据 构造
的结构,利用基本不等式从而求得最小值.
【详解】因为 , ,所以
,
当且仅当 , ,即 , 时等号成立．
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故选：D．
【点睛】本题主要考查了基本不等式的运用与构造,属于中等题型.
8．已知实数 为常数，且 ，函数 ，甲同学： 的解集为 ；
乙同学： 的解集为 ；丙同学： 的最值为负数.在这三个同学中，只有一个同
学的论述是错误的，则 的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由三个同学的论述得到甲同学： ，乙同学： ，丙同学： ，
可判断乙同学论述错误，即可得到 的范围.
【详解】甲同学： 即 ，若解集为 ，
则 ，得 ；
乙同学：因为 的解集为 ，
所以 ，得 ；
丙同学： ，其对称轴为
由 的最值为负数得 ，
得 ，
得 ，
又这三个同学中，只有一个同学的论述是错误的，所以甲丙同学正确，乙同学错误，
故 ，
故选：C
二、多选题
9．下列推理正确的是（ ）
A．若 ，则
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B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 a， ，则
【答案】BC
【分析】A 选项，可举出反例；
BC 选项，利用不等式的基本性质得证；
D 选项，当 或 时， 无意义.
【详解】A 选项，不妨设 ，满足 ，但 ，A 错误；
B 选项，因为 ，所以不等式两边同时乘以 得： ，
不等式两边同时乘以 得： ，从而 ，B 正确；
C 选项，因为 ，所以 ，不等式两边同除以 得： ，C 正确；
D 选项，因为 a， ，故当 或 时， 无意义，D 错误.
故选：BC
10．已知函数 的最小正周期为 ，则（ ）
A． 的值为 2
B．
C．函数 在 单调递增
D．当 时，方程 存在两个根，则
【答案】ACD
【分析】根据给定条件，利用辅助角公式化简函数 ，再利用正弦函数性质逐项判断即得.
【详解】对于 A，由题函数 ，所以由函数的最小正周期为 得 ，A 正
确；
对于 B， ， ，
即 不是 图象对称轴，因此 ，B 错误；
对于 C，当 时， ，因为函数 在 上单调递增，
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则函数 在 上单调递增，C 正确；
对于 D，当 时， ，
因为函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，且
当 时，方程 存在两个根，等价于函数 与 图象在 上有两个交点，
所以 ，D 正确.
故选：ACD
11．非空集合 A，B 满足 ，且 中元素个数不大于 1.定义集合
， ，则（ ）
A．集合 A，B 中元素个数之和为 10 或 11B．集合 中元素个数最多为 17
C．集合 中元素个数最多为 18 D．集合 中元素个数最多为 9
【答案】ACD
【分析】用 表示有限集 的元素个数,由题意，知非空集合 满足 ,
,得到 或 ，根据集合 的定义利用分类讨论结合举反例及穷举法对各
选项逐一验证即可.
【详解】用 表示有限集 的元素个数,由题意，知非空集合 满足 ,
,
对于 A，由 ，得 或 ，因为 ，
当 时， ；
当 时， ，故 A 正确；
对于 B，当 ， ，此时
，则 ，故 B 不正确；
对于 C，∵ 中元素最大为 ，最小为 ，∴ ， ，
当取等号时，必有 ，而 2 只能为 ， 只能为 ，故 ，这与
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矛盾.所以 ，即 的最大值为 18，故 C 正确；
对于 D，∵ 非空，且 ，∴ 且 中至少有 1 个元素不在
中，∴ ，当 ， 时取等号，所以 D 正确.
故选：ACD.
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．已知角 满足 ，则 ．
【答案】
【分析】利用同角三角函数的基本关系，分子分母同时除以 ，即可求解．
【详解】 ，
分子分母同时除以 ，原式 ，
故答案为： ．
13．设 ， ，求 的值为 ．
【答案】
【分析】利用指数幂的运算性质即可求解.
【详解】由题意可知， ．
故答案为： .
14．设函数 若方程 有四个不相等的实根 ，则 的取值范
围为 ， 的最小值为 .
【答案】 92
【分析】画出 的图像，将问题转换成 的交点问题即可求解；
【详解】当 时， ，∴ 的图象关于直线 对称.
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画出 的图象，如图所示.
∵方程 有四个不相等的实根，
∴ 的图象与 有 4 个交点，
由图可知 ，即 m 的取值范围为 .
由 的图象可知 ， ，
∴ ，化简得 ，且 .
又 ， ，
∴ ， ，
则 .
令 ， ，则 ，
∴ ，
∴当 时， 取得最小值，且最小值为 92.
故答案为： ，92
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知函数 为定义在 上的奇函数.
(1)求 的值域；
(2)解不等式：
【答案】(1)
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(2)
【分析】（1）根据函数的奇偶性可得 ，进而可得函数的单调性及值域；
（2）由（1）可得该不等式为 ，根据函数的单调性解不等式即可.
【详解】（1）由题意可知， ，解得 ，则 ，
经检验， 恒成立，
令 ，则 ，
函数在 单调递增，
函数的值域为
（2）由（1）得 ，则
，
，
，
不等式的解集为 .
16．我们知道，声音通过空气传播时会引起区域性的压强值改变.物理学中称为“声压”.用 P 表示（单位：Pa
（ 帕 ））：“声压级”S（单位：dB（分贝））表示声压的相对大小.已知它与“某声音的声压 P 与基准声压
的比值的常用对数（以 10 为底的对数）值成正比”，即 （k 是比例系数）.当声
压级 S 提高 60dB 时，声压 P 会变为原来的 1000 倍.
(1)求声压级 S 关于声压 P 的函数解析式；
(2)已知两个不同的声源产生的声压 P1，P2 叠加后得到的总声压 ，而一般当声压级 S