2022-2023学年广东省广州市越秀区广东实验中学九年级上学期期末数学试卷（含答案）

这是一份2022-2023学年广东省广州市越秀区广东实验中学九年级上学期期末数学试卷（含答案），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3 分）2 的相反数是()
A． 2
B．2C．  1
2
D．1
2．（3 分）如图的几何体，其左视图是()
A． B． C． D．
3．（3 分）为了加快构建清洁低碳、安全高效的能源体系，国家发布《关于促进新时代新能源高质量发展的实施方案》，旨在锚定到 2030 年我国风电、太阳能发电总装机容量达到
1200000000 千瓦以上的目标．数据 1200000000 用科学记数法表示为()
A．1.2 1010
B．1.2 109
C． 0.12 1010
D．12 108
4．（3 分）在RtABC 中， C  90 ， AB  5 ， AC  3 ，则sin B 的值为()
3
4
4
3
4
5
3
5
5．（3 分）下列运算正确的是()
A． 3a2  2a  a
B． (a  b)2  a2  b2
C． a(a  1)  a2  a
D． a8  a4  a2
6．（3 分）如图，直线 a / /b ， 1  75 ， 2  35 ，则3 的度数是()
A． 75B． 55C． 40D． 35
7．（3 分）如图，以点O 为位似中心，作四边形 ABCD 的位似图形 ABCD ，已知 OA  1 ，
OA3
若四边形 ABCD 的面积是 2，则四边形 ABCD 的面积是()
A．4B．6C．16D．18
8．（3 分）如图，折叠直角三角形纸片，使点C 落在 AB 上的点 E 处．已知 BC  12 ，B  30 ，
C  90 ，则 DE 的长是()
A．6B．4C．3D．2
9．（3 分）对于两个不相等的有理数 a，b，我们规定符号 min{a，b}表示 a、b 两数中较小的数，例如 min{2，﹣4}＝﹣4，则方程 min{x，﹣x}＝3x+4 的解为（）
A．x＝﹣2B．x＝﹣1C．x＝﹣1 或 x＝﹣2 D．x＝1 或 x＝2 10．（3 分）如图，抛物线 y  x2  bx  c 与 x 轴交于C 、 D 两点（点C 在点 D 的左侧），顶点在线段 AB 上运动， AB / / x 轴， B(1, 1) ， AB  3 ，则下列结论中正确的是()
A． b2  4ac  0B．当 x  0 时，一定有 y 随 x 的增大而增大
C． 0c3D．若点C 的坐标为(m, 0) ，则点 D 的坐标为(m  2, 0)
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．（3 分）用“  ”、“  ”、“  ”符号填空： 4  ．
12．（3 分）在正比例函数 y  kx 中，y 的值随着 x 值的增大而增大，则点 P(3, k ) 在第 象限．
13．（3 分）已知扇形半径是3cm ，弧长为 3cm ，则扇形的圆心角为度．
2
14．（3 分）分解因式： 3m3 12m  ．
15．（3 分）如图，函数 y  x 与 y  4 的图象相交于 A 、 B 两点，过 A 、 B 两点分别作 x 轴
x
垂线，垂足分别为点C 、 D ，则四边形 ACBD 的面积为．
16．（3 分）如图，在菱形 ABCD 中， AB  BD ，点 E 、F 分别在 AB 、AD 上，且 BE  AF ，连接 BF 与 DE 相交于点G ，连接CG 与 BD 相交于点 H ．
①若 AF  DF ，则 FG ；
BG
②若 AD  2 ，则四边形GDCB 的面积最大值为．
三、解答题（满分 72 分，解答题应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程）
x2x  4
17．（4 分）解不等式组： 5x 1  4x  2 ．

18．（4 分）如图，AB / / DE ，点C 、F 在线段 AD 上，且 AC  DF ，B  E ．求证：AB  DE ．
19．（6 分）已知 A  (3  a)(3  a)  (1  a)2 ．
化简 A ．
5
a 是的整数部分，求 A 的值．
20．（6 分）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种最喜欢的支付方式．现将调查结 果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．请结合图中所给的信息解答下列问题：
这次活动共调查了人；请将条形统计图补充完整．
在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”“支付宝”“银行卡”三种方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
21．（8 分）广州某商店准备购进一批洗发水和电池，每件洗发水的进价比每件电池的进价多 4 元，商店用 800 元购进洗发水的数量与用 640 元购进电池的数量相等．
求每件洗发水与每件电池的进价分别是多少？
已知洗发水的销售价为每件 26 元，电池的销售价为每件 20 元．若该商店准备购进这两种用品共 100 件，其中购进洗发水 a 件(20a38) ，那么该商店要获得最大利润应如何进货？
22．（10 分）如图，在ABC 中， AC  BC  5 ， AB  8 ， AB  x 轴，垂足为 A ，反比例函
数 y  k (x  0) 的图象经过点 C ，交 AB 于点 D ．
x
若OA  AB ，求 k 的值；
若 BC  BD ，连接OC ，求OAC 的面积．
23．（10 分）如图，在ABC 中， C 是钝角，以 AB 上一点O 为圆心， AC 为弦作O ．
在图中作出O 交 AB 于点 D （不写作法，保留作图痕迹）；
若BCD  A ．
①求证： BC 是O 的切线；
② tan A  1 ， BC  9 ，求弦 AC 的长．
3
24．（12 分）在正方形 ABCD 中，边长为 2．点 E 是线段 BC 上的动点，以 AE 为直角边在直线 BC 的上方作等腰直角三角形 AEF ，AEF  90 ，其中 EF 交CD 于点 P ，AF 交CD 于点Q ，连接CF ．
如图 1，①若 BE  1 时，求线段CF 的长；
2
②当点 E 在线段 BC 上运动时，求证： QEF  FEC ．
如图 2，过点 B 作 BG  AE 交 EQ 于点G ，过点 D 作 DH  CF 所在的直线于点 H ， 求 HG 的最小值．
25．（12 分）已知抛物线 y  ax2  5x  c 与 x 轴交于 M 、 N 两点（点 M 在点 N 的左侧）．
若抛物线的对称轴为直线 x  1 ，则 a ．
如图 1，若抛物线与直线 y  x 有且只有一个交点 E ，当 a  0 时，求ENM 的度数．
如图 2，若抛物线满足（1）中的条件，且顶点 D 的纵坐标为4 ，点 P 的坐标为(2, 2) ，点 P 以每秒 1 个单位长度的速度向右匀速运动，6 秒后停止运动，设运动时间为t(t  0) ． 连接 PD ，过点 P 作 PD 的垂线交 y 轴于点 R ，求在点 P 的整个运动过程中，点 R 运动的路径长．
2022-2023 学年广东省实验中学九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 10 小题，每题 3 分，共 30 分）
1．（3 分）2 的相反数是()
A． 2
B．2C．  1
2
D．1
【解答】解：2 的相反数是2 ． 故选： A ．
2．（3 分）如图的几何体，其左视图是()
A． B． C． D．
【解答】解：由题意知，原几何体的左视图共两层，底层是两个小正方形，上层的左边是一 个小正方形．
故选： B ．
3．（3 分）为了加快构建清洁低碳、安全高效的能源体系，国家发布《关于促进新时代新能源高质量发展的实施方案》，旨在锚定到 2030 年我国风电、太阳能发电总装机容量达到
1200000000 千瓦以上的目标．数据 1200000000 用科学记数法表示为()
A．1.2 1010
B．1.2 109
C． 0.12 1010
D．12 108
【解答】解：1200000000 1.2 109 ． 故选： B ．
4．（3 分）在RtABC 中， C  90 ， AB  5 ， AC  3 ，则sin B 的值为()
3
4
4
3
4
5
3
5
【解答】解：在RtABC 中， C  90 ， AB  5 ， AC  3 ，
 sin B  AC  3
AB5
故选： D ．
5．（3 分）下列运算正确的是()
A． 3a2  2a  a
B． (a  b)2  a2  b2
C． a(a  1)  a2  a
D． a8  a4  a2
【解答】解： A 、3a2 与2a 不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
B 、原式 a2  2ab  b2 ，原计算错误，故此选项不符合题意；
C 、原式 a2  a ，原计算正确，故此选项符合题意； D 、原式 a4 ，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选： C ．
6．（3 分）如图，直线 a / /b ， 1  75 ， 2  35 ，则3 的度数是()
A． 75B． 55C． 40D． 35
【解答】解：直线 a / /b ， 1  75 ，
4  1  75 ，
2  3  4 ，
3  4  2  75  35  40 ． 故选： C ．
7．（3 分）如图，以点O 为位似中心，作四边形 ABCD 的位似图形 ABCD ，已知 OA  1 ，
OA3
若四边形 ABCD 的面积是 2，则四边形 ABCD 的面积是()
A．4B．6C．16D．18
【解答】解：以点O 为位似中心，作四边形 ABCD 的位似图形 ABCD ， OA  1 ，
 S四边形ABCD S四边形ABCD
 1 
9
2，
S四边形ABCD
OA3
则四边形 ABCD 面积为：18． 故选： D ．
8．（3 分）如图，折叠直角三角形纸片，使点C 落在 AB 上的点 E 处．已知 BC  12 ，B  30 ，
C  90 ，则 DE 的长是()
A．6B．4C．3D．2
【解答】解：由题意可得， AD 平分BAC ， C  AED  90 ，
 DE  DC ， 又B  30 ，
 DE  1 BD ，
2
又 BC  12 ，
3DE  12 ，
 DE  4 ． 故选： B ．
9．（3 分）对于两个不相等的有理数 a，b，我们规定符号 min{a，b}表示 a、b 两数中较小的数，例如 min{2，﹣4}＝﹣4，则方程 min{x，﹣x}＝3x+4 的解为（）
A．x＝﹣2B．x＝﹣1C．x＝﹣1 或 x＝﹣2 D．x＝1 或 x＝2
【解答】解：（1）x≥0 时，x≥﹣x，
∵min{x，﹣x}＝3x+4，
∴﹣x＝3x+4，
解得 x＝﹣1（﹣1＜0，舍去）．
（2）x＜0 时，x＜﹣x，
∵min{x，﹣x}＝3x+4，
∴x＝3x+4， 解得 x＝﹣2．
综上，可得方程 min{x，﹣x}＝3x+4 的解为 x＝﹣2． 故选：A．
10．（3 分）如图，抛物线 y  x2  bx  c 与 x 轴交于C 、 D 两点（点C 在点 D 的左侧），顶点在线段 AB 上运动， AB / / x 轴， B(1, 1) ， AB  3 ，则下列结论中正确的是()
b2  4ac  0
当 x  0 时，一定有 y 随 x 的增大而增大
C． 0c3
D．若点C 的坐标为(m, 0) ，则点 D 的坐标为(m  2, 0)
【解答】解：图象与 x 轴有两个交点，所以b2  4ac  0 ，故选项 A 错误；
抛物线开口向上，顶点的纵坐标为1 ，且横坐标在2 与 1 之间，
当对称轴在 y 轴右边、 x  0 时，不是 y 随 x 的增大而增大， 故选项 B 错误；
顶点为(0, 1) 时， c  1，
故C 错误；
抛物线的对称轴是直线 x   b  b ，点C 在点 D 的左侧，

2 12
1，

4ac  b2  4c  (b)2  

4a
b
2
c 1 ，
4
2
4 1
2b2
抛物线 y  x
2
bx  c 为 y  x
b2
 bx  1 ，
4
当 y  0 时， x
 bx 1  0 ，
4
解得 x  b  1 ，
2
点C 的坐标为(b  1， 0) ， D(b  1 ， 0) ，
22
若点C 坐标为(m, 0) ，则 b  1  m ．
2
 b  1  m  2 ，
2
点 D 坐标为(m  2, 0) ， 故 D 正确．
故选： D ．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．（3 分）用“  ”、“  ”、“  ”符号填空： 4  ．
【解答】解：| 4 | 4 ， | | ， 4  ，
4  ，
故答案为：  ．
12．（3 分）在正比例函数 y  kx 中， y 的值随着 x 值的增大而增大，则点 P(3, k ) 在第 一
象限．
【解答】解：在正比例函数 y  kx 中， y 的值随着 x 值的增大而增大，
 k  0 ，
点 P(3, k ) 在第一象限． 故答案为：一．
13．（3 分）已知扇形半径是3cm ，弧长为 3cm ，则扇形的圆心角为90度．
2
【解答】解：设扇形的圆心角为 n ，
扇形半径是3cm ，弧长为 3cm ，
2
 n 3  3，
1802
解得： n  90 ． 故答案为：90．
14．（3 分）分解因式： 3m3 12m  3m(m  2)(m  2) ．
【解答】解： 3m3 12m
 3m(m2  4)
 3m(m  2)(m  2) ．
故答案为： 3m(m  2)(m  2) ．
15．（3 分）如图，函数 y  x 与 y  4 的图象相交于 A 、 B 两点，过 A 、 B 两点分别作 x 轴
x
垂线，垂足分别为点C 、 D ，则四边形 ACBD 的面积为 8．
【解答】解：设 A 的坐标是(m, n) ，则 B 的坐标是(m, n) ， mn  4
则 AC  n ， CD  2m ．
则四边形 ACBD 的面积 AC  CD  2mn  8 ． 故答案为：8．
16．（3 分）如图，在菱形 ABCD 中， AB  BD ，点 E 、F 分别在 AB 、AD 上，且 BE  AF ，连接 BF 与 DE 相交于点G ，连接CG 与 BD 相交于点 H ．
①若 AF  DF ，则 FG 1；
BG2
②若 AD  2 ，则四边形GDCB 的面积最大值为．
【解答】解：（1） ABC 是等边三角形，
 AD  AB ，
 AF  DF ， BE  AF ，
 AE  EB ，
点G 是ABC 的重心，
 BG  2FG ，
 FG  1 ．
BG2
故答案为： 1 ．
2
（2）四边形 ABCD 为菱形，
 AB  AD ．
 AB  BD ，
ABD 为等边三角形．
A  BDF  60 ．
BCD  60 ，
 AD  DB ， DAE  BDF ， AE  DF ，
DAE  BDF (SAS ) ，
ADE  DBF ，
BGE  BDG  DBF  BDG  ADE  ADB  60 ，
BGD  180  60  120 ，
BGD  BCD  180 ，
点 B 、C 、 D 、G 四点共圆，
当CG 是直径时，四边形 DGBC 的面积最大，最大面积为  2S
CDG
 2  1  2  2 3  4 3 ．
233
4 3
3
故答案为：．
三、解答题（满分 72 分，解答题应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程）
x2x  4
17．（4 分）解不等式组： 5x 1  4x  2 ．

5x 1  4x  2①

【解答】解： x2x  4②，
由①得： x  3 ， 由②得： x4 ，
则不等式组的解集为3  x4 ．
18．（4 分）如图，AB / / DE ，点C 、F 在线段 AD 上，且 AC  DF ，B  E ．求证：AB  DE ．
【解答】证明： AB / / DE ，
A  D ，
在ABC 与DEF 中，
A  D

B  E ，

 AC  DF
ABC  DEF (AAS ) ，
 AB  DE ．
19．（6 分）已知 A  (3  a)(3  a)  (1  a)2 ．
化简 A ．
5
a 是的整数部分，求 A 的值．
【解答】解：（1） A  9  a2  1  2a  a2
 10  2a ．
4
（2）
，即 2  3 ．
5
9
5
 a  2 ． 当 a  2 时， A  10  2a
 10  2  2
 10  4
 6 ．
20．（6 分）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种最喜欢的支付方式．现将调查结 果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．请结合图中所给的信息解答下列问题：
这次活动共调查了 200 人；请将条形统计图补充完整．
在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”“支付宝”“银行卡”三种方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
【解答】解：（1）本次活动调查的总人数为 (45  15)  (1 15%  30%  25%)  200 （人) ，用微信支付的人数为 200  30%  60 （人) ，用银行卡支付的人数为 200 15%  30 （人) ， 故答案为：200，
补全条形统计图如下：
（2）把“微信”“支付宝”“银行卡”三种方式分别记为 A 、 B 、C ，画树状图如下：
共有 91 种等可能的结果，其中小明和小亮两人恰好选择同一种支付方式的结果有 3 种，
小明和小亮两人恰好选择同一种支付方式的概率为 3  1 ．
93
21．（8 分）广州某商店准备购进一批洗发水和电池，每件洗发水的进价比每件电池的进价
多 4 元，商店用 800 元购进洗发水的数量与用 640 元购进电池的数量相等．
求每件洗发水与每件电池的进价分别是多少？
已知洗发水的销售价为每件 26 元，电池的销售价为每件 20 元．若该商店准备购进这两种用品共 100 件，其中购进洗发水 a 件(20a38) ，那么该商店要获得最大利润应如何进货？
【解答】解：（1）设每件洗发水的进价是 x 元，则每件电池的进价是(x  4) 元，
根据题意得： 800 
640 ，
xx  4
解得 x  20 ，
经检验， x  20 是方程的解，
 x  4  20  4  16 ，
每件洗发水的进价是 20 元，每件电池的进价是 16 元；
（2）设该商店获得的利润为 y 元，
根据题意得 y  (26  20)a  (20  16)(100  a)  2a  400 ，
 20a38 ，
当 a  38 时， y 取最大值，最大值为 2  38  400  476 （元) ，
100  a  100  38  62 （件) ，
答：购进洗发水 38 件，电池 62 件，该商店获得最大利润 476 元．
22．（10 分）如图，在ABC 中， AC  BC  5 ， AB  8 ， AB  x 轴，垂足为 A ，反比例函
数 y  k (x  0) 的图象经过点 C ，交 AB 于点 D ．
x
若OA  AB ，求 k 的值；
若 BC  BD ，连接OC ，求OAC 的面积．
【解答】解：（1）过点C 作CE  AB 于点 E ， CF  OA 于 F ，则CF  AE
 AB  8 ， AC  BC ， CE  AB
 BE  AE  CF  4
 AC  BC  5
CE  3
 OA  AB  8
OF  5
点C(5, 4)
点C 在 y  k 图象上
x
 k  20
（2） BC  BD  5 ， AB  8
 AD  3
设 A 点坐标为(m, 0) ，则C ， D 两点坐标分别为(m  3, 4) ， (m, 3)
 C ， D 在 y  k 图象上
x
 4(m  3)  3m
 m  12
 A(12, 0) ， C(9, 4) ， D(12, 3)
 SAOC
 1 12  4  24
2
23．（10 分）如图，在ABC 中， C 是钝角，以 AB 上一点O 为圆心， AC 为弦作O ．
在图中作出O 交 AB 于点 D （不写作法，保留作图痕迹）；
若BCD  A ．
①求证： BC 是O 的切线；
② tan A  1 ， BC  9 ，求弦 AC 的长．
3
【解答】（1）解：如图， O ，点 D 即为所求；
（2）①证明：连接OC ，
 AD 是直径，
ACD  90 ，
A  ADC  90 ，
 OC  OD ，
DC  OCD ，
A  OCD  90 ，
DCB  A ，
DCB  OCD  90 ，
OCB  90 ，
OC  BC ，
 OC 是半径，
 BC 是O 的切线；
②解：B  B ， DCB  A ，
CBD∽ABC ，
 CD  BC  BD ，
ACABBC
 tan A  CD  1 ， BC  9 ，
AC3
 AB  27 ，
 BC 2  BD  BA ，
 BD  3 ，
 AD  AB  BD  24 ，
设CD  k ， AC  3k ，则有 k 2  9k 2  242 ，
 k  12 10 （负根已经舍去），
5
 AC  36 10 ．
5
24．（12 分）在正方形 ABCD 中，边长为 2．点 E 是线段 BC 上的动点，以 AE 为直角边在直线 BC 的上方作等腰直角三角形 AEF ，AEF  90 ，其中 EF 交CD 于点 P ，AF 交CD 于点Q ，连接CF ．
如图 1，①若 BE  1 时，求线段CF 的长；
2
②当点 E 在线段 BC 上运动时，求证： QEF  FEC ．
如图 2，过点 B 作 BG  AE 交 EQ 于点G ，过点 D 作 DH  CF 所在的直线于点 H ， 求 HG 的最小值．
【解答】（1）①解：过点 F 作 FN  直线 BC 于 N ，
AEF 是等腰直角三角形，
 AE  EF ， EAF  45 ， AEF  ABE  FNE  90 ，
AEB  BAE  90  AEB  FEN ，
BAE  FEN ，
ABE  ENF (AAS ) ，
 BE  FN  1 ， AB  EN ，
2
 BC  EN  AB ，
CN  BE  1 ，
2
又N  90 ，
CFN 是等腰直角三角形，
CF 
2CN 2 ；
2
②证明：如图，延长CB 至 K ，使 BK  DQ ，连接 AK ，
 BK  DQ ， ABK  D  90 ， AB  AD ，
ABK  ADQ (SAS ) ，
BAK  DAQ ， AK  AQ ，
EAF  45 ，
BAE  DAQ  45 ，
BAE  BAK  45  EAK  EAD ， 又 AE  AE ，
AEK  AEQ(SAS ) ，
AEK  AEQ ，
AEF  90 ，
FEQ  FEC ；
解：如图，连接 AG ， GH ， AH ， AC ，
由（1）可知DCH  45 ， AEB  AEG ，
2
四边形 ABCD 是正方形，
 AB  AD  CD  2 ， AC 
2 AD  2
， ACD  45 ，
ACH  90 ，
 DH  CH ， DCH  45 ，
DCH 是等腰直角三角形，
 DC  2CH  2 ，
2
CH ，
AC2  CH 2
8  2
10
 AH ，
 BG  AE ， AEB  AEG ，
EBG  EGB ，
 BE  EG ， 又 AE  AE ，
ABE  AGE (SAS ) ，
 AB  AG ，
点G 在以点 A 为圆心， AB 长为半径的圆上，
点G 在线段 AH 上时， GH 有最小值，
10
GH 的最小值为 2 ．
25．（12 分）已知抛物线 y  ax2  5x  c 与 x 轴交于 M 、 N 两点（点 M 在点 N 的左侧）．
若抛物线的对称轴为直线 x  1 ，则 a 5．
2
如图 1，若抛物线与直线 y  x 有且只有一个交点 E ，当 a  0 时，求ENM 的度数．
如图 2，若抛物线满足（1）中的条件，且顶点 D 的纵坐标为4 ，点 P 的坐标为(2, 2) ，点 P 以每秒 1 个单位长度的速度向右匀速运动，6 秒后停止运动，设运动时间为t(t  0) ． 连接 PD ，过点 P 作 PD 的垂线交 y 轴于点 R ，求在点 P 的整个运动过程中，点 R 运动的路径长．
【解答】解：（1）抛物线 y  ax2  5x  c 的对称轴为直线 x  1 ，
 5  1 ，
2a
解得 a  5 ，
2
经检验， a  5 是方程的解，
2
 a  5 ；
2
故答案为： 5 ；
2
过 E 作 EH  x 轴于 H ，如图：
抛物线 y  ax2  5x  c 与直线 y  x 有且只有一个交点，
 ax2  5x  c  x 有两个相等实数解，即 ax2  4x  c  0 有两个相等实数解，
△  0 ，即16  4ac  0 ，
 ac  4 ，
 ax2  4x  c  0 的解为 x  x
 2 ，
 E( 2 ，  2) ，
12a
aa
OH  2 ， EH  2 ，
aa
在 y  ax2  5x  c 中，令 y  0 得 x  5 
 ac  4 ，
25  4ac ，
2a
 xM
 1 ， x aN
 4 ，
a
 M ( 1 ， 0) ， N ( 4 ， 0) ，
aa
ON  4 ，
a
 HN  ON  OH  2 ，
a
 HN  EH ，
EHN 是等腰直角三角形，
MNE  45 ；
由（1）得，抛物线 y  ax2  5x  c 的对称轴为直线 x  1 ，
顶点 D(1, 4) ，
根据题意， P 从(2, 2) 开始，以每秒 1 个单位长度的速度向右匀速运动，6 秒后停止运动，
 P 最终运动到点(4, 2) ；
过点 P 作直线 x  1 的垂线，垂足为点 F ，交 y 轴于点G ，连接GD ，
①点 P 在 y 轴左侧，此时点 R 在点G 的上方，当点 P 的坐标为(2, 2) 时，点 R 的位置最高， 如图：
PGR  DFG  90 ， RPG  90  FPD  PDF ，
PRG∽DPF ，
 RG  PG ，
PFDF
 P(2, 2) ， D(1, 4) ，
 PF  3 ， DF  2 ， PG  2 ，
 RG  2  3  3 ，
2
 R(0,1) ；
②当点 P 在 y 轴右侧且在直线 x  1 左侧，此时点 R 的最低位置在点G 下方，如图：
同理可得PRG∽DPF ，
 RG  PG ，
PFDF
 RG  PG  PF ，
DF
设 P(r, 2) ，则 RG  r(1  r)   1 r 2  1 r   1 (r  1 )2  1 ，
222228
当 r  1 时， RG 的最大值为 1 ，
28
 R(0,  17 ) ，
8
③当点 P 在直线 x  1 右侧，则点 R 在点G 的上方，当点 P 坐标为(4, 2) 时，点 R 的位置最高，如图：
同理可得PRG∽DPF ，
 RG  PG ，
PFDF
GR  PG  PF  4  3  6 ，
DF2
 R(0, 4) ，
1  17  17  4  37 ，
884
点 R 运动路径的长为 37 ．
4