2022-2023学年广东省广州市越秀区九年级（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2022-2023学年广东省广州市越秀区九年级（上）期末数学试卷（含答案），共35页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3 分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A． B．
C． D．
2．（3 分）不解方程，判断方程 2x2﹣6x＝7 的根的情况是（）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根
D．无法确定
3．（3 分）已知⊙O 半径为 10cm，圆心 O 到点 A 的距离为 10cm，则点 A 与⊙O 的位置关系是（）
相切B．圆外C．圆上D．圆内
4．（3 分）将二次函数 y＝（x﹣2）2+2 的图象向下平移 3 个单位长度，再向右平移 3 个单位长度，得到的抛物线的解析式为（）
A．y＝（x+3）2+5B．y＝（x+5）2﹣5
C．y＝（x﹣5）2+5D．y＝（x﹣5）2﹣1 5．（3 分）用配方法解方程 x2﹣2x﹣5＝0 时，原方程应变形为（）
A．（x+1）2＝6B．（x+2）2＝9C．（x﹣1）2＝6D．（x﹣2）2＝9
6．（3 分）反比例函数的图象在第一、三象限，则 m 的取值范围是（）
A．m≥5B．m＞5C．m≤5D．m＜5
7．（3 分）设 A（2，y1），B（﹣2，y2）是抛物线 y＝﹣（x+1）2+a 上的两点，则 y1、y2 的
大小关系为（）
A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1≤y2D．y1≥y2
8．（3 分）如图，△ABC 的内切圆圆 O 与 AB，BC，CA 分别相切于点 D，E，F，若∠DEF
＝53°，则∠A 的度数是（）
A．36°B．53°C．74°D．128°
9．（3 分）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 E 在 CD 边上，DE＝2CE，连接 AE 交
BD 于点 F，则 DF：BD＝（）
A．2：1B．2：3C．2：5D．1：3
10．（3 分）如图，抛物线 y＝﹣x（x+6）与 x 轴负半轴交于点 A，点 B 为线段 OA 上一动
点，点 D 的坐标为（﹣3，﹣6），连接 BD，以 BD 为底边向右侧作等腰直角△DCB，若点 C 恰好在抛物线上，则 AB 长为（）
A．4B．4.5C．5D．5.5
二、填空题（每题 3 分，共 18 分）
11．（3 分）已知点 A（﹣2，3），B（3，m）在反比例函数上，则 m＝ ．
12．（3 分）在平面直角坐标系中，已知点 A（a，﹣3）与点 B（2，b）关于原点对称，则 ab＝．
13．（3 分）如图，将△AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 50°后得到△A'OB'，若∠AOB＝15°，则∠AOB'的度数是．
14 ．（ 3 分） 已知圆锥的底面半径为cm ， 母线长为 3 cm ， 则圆锥的侧面积为．
15．（3 分）如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为 2 米时，水面宽度为 4 米；那么当水位上升 0.5 米后，水面的宽度为 米．（结果可带根号）
16．（3 分）如图，矩形 ABCD 和矩形 AEFG，AD＝12，AB＝9，AG＝8，AE＝6，矩形 AEFG
绕点 A 旋转，给出下列结论：①3BE＝DG；②BE⊥DG；③当∠BAG＝60°时，4S△ABG
＝3 S△ADG；④DE2+BG2＝315，其中正确的结论．
三、解答题
17．（4 分）解方程：x2﹣10x+9＝0．
18．（4 分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点都在格点上．
画出△ABC 绕原点 O 顺时针旋转 180°后的△A1B1C1．
求线段 OC 在旋转过程中所扫过的图形面积．
19．（6 分）已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0），函数 y 与自变量 x 的部分对应值如下表：
求该二次函数的表达式；
根据二次函数 y＝ax2+bx+c 图象，直接写出不等式 ax2+bx+c＞0 的 x 的取值范围．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
…
20．（6 分）某校准备从 2 名男生（A、B）和 3 名女生（C、D、E）五人中选拔学生，代表学校参加区中学生“党史知识竞赛”．
（ 1 ） 如 果 确 定 只 需 要 一 名 女 生 参 加 ， 则 女 生 E 被 选 中 的 概 率 是
（直接填写答案）；
（2）如果确定只需要两名学生参加，请用画树状图或列表法求恰好选中 2 名女生的概率．
21．（8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣4x﹣2m+5＝0 有两个实数根．
求实数 m 的取值范围；
若 x1，x2 是该方程的两个根，且满足 x1x2+x1+x2＝m2+6，求 m 的值．
22．（10 分）（1）据统计，三月份的全天包车数为 36 次，在租金不变的基础上，四、五月的全天包车数持续走高，五月份的全天包车数达到 81 次．若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率；
（2）一段时间后，当全天包车的租金为每辆 120 元时，每月的全天包车数为 60 次，该
公司决定降低租金，经调查发现，租金每降价 1 元，平均每月全天包车数增加 2 次，尽
可能的减少租车次数．当租金降价多少元时，公司每月获得的租金总额为 8800 元？
23．（10 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，BD 平分∠ABC 交 CA 于 D 点，O 是 BC
上一点，经过 B、D 两点的⊙O 分别交 BC、BA 于点 E、F．
用尺规补全图形（保留作图痕迹，不写作法）；
求证：CA 与⊙O 相切；
当 BD＝2，∠ABD＝30°时，求劣弧 BD 的长．
24．（12 分）给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．
以下四边形中，是勾股四边形的为 （填序号即可）；
①平行四边形；②矩形；③有一个角为直角的任意凸四边形；④有一个角为 60°的菱形．
如图 1，将△ABC 绕顶点 C 按顺时针方向旋转 n°得到△EDC．
①连接 AD，当 n＝60，∠BAD＝30°时，求证：四边形 ABCD 是勾股四边形．
②如图 2，将 DE 绕点 E 顺时针方向旋转得到 EF，连接 BF，BF 与 AE 交于点 P，连接CP，若∠DEF＝（180﹣n）°，CP＝2，AE＝8，求 AC 的长度．
25．（12 分）已知：抛物线 y＝ax2﹣3（a﹣1）x+2a﹣6（a＞0）．
求证：抛物线与 x 轴有两个交点．
设抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标分别为 x1，x2（其中 x1＞x2）．若 t 是关于 a 的函数、且 t＝ax2﹣x1，求这个函数的表达式；
若 a＝1，将抛物线向上平移一个单位后与 x 轴交于点 A、B．平移后如图所示，过A 作直线 AC，分别交 y 的正半轴于点 P 和抛物线于点 C，且 OP＝1．M 是线段 AC 上一动点，求 2MB+MC 的最小值．
2022-2023 学年广东省广州市越秀区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（30 分）
1．（3 分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A． B．
C． D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够 互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
【解答】解：A．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； C．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； D．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选：A．
【点评】本题考查轴对称图形，中心对称图形，关键是掌握轴对称图形，中心对称图形 的定义．
2．（3 分）不解方程，判断方程 2x2﹣6x＝7 的根的情况是（）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根
D．无法确定
【分析】利用根的判别式Δ＝b2﹣4ac 进行求解并判断即可．
【解答】解：∵2x2﹣6x＝7，
∴2x2﹣6x﹣7＝0，
原方程中，a＝2，b＝﹣6，c＝﹣7，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×2×（﹣7）＝36+56＝92＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：B．
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式Δ＝b2﹣4ac 是解答此题的关键，当判别式Δ＝b2﹣4ac＞0 时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当判别式Δ＝b2﹣4ac＝0 时，一元二次方程有两个相等的实数根；当判别式Δ＝b2﹣4ac＜0 时，一元二次方程没有实数根．
3．（3 分）已知⊙O 半径为 10cm，圆心 O 到点 A 的距离为 10cm，则点 A 与⊙O 的位置关系是（ ）
A．相切B．圆外C．圆上D．圆内
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用 d
＞r 时，点在圆外；当 d＝r 时，点在圆上；当 d＜r 时，点在圆内判断出即可．
【解答】解：∵⊙O 的半径为 10cm，点 A 到圆心 O 的距离为 10cm，
∴d＝r，
∴点 A 与⊙O 的位置关系是：点 A 在圆上， 故选：C．
【点评】此题主要考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为 r，点到圆心的距离为 d，则有：当 d＞r 时，点在圆外；当 d＝r 时，点在圆上，当 d＜r 时，点在圆内．
4．（3 分）将二次函数 y＝（x﹣2）2+2 的图象向下平移 3 个单位长度，再向右平移 3 个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x+3）2+5B．y＝（x+5）2﹣5
C．y＝（x﹣5）2+5D．y＝（x﹣5）2﹣1
【分析】根据二次函数平移规律左加右减，上加下减，得出平移后解析式即可．
【解答】解：将二次函数 y＝（x﹣2）2+2 的图象向下平移 3 个单位长度，再向右平移 3 个单位长度，得到的抛物线的解析式为：y＝（x﹣2﹣3）2+2﹣3，即 y＝（x﹣5）2﹣1， 故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此
题的关键．
5．（3 分）用配方法解方程 x2﹣2x﹣5＝0 时，原方程应变形为（）
A．（x+1）2＝6B．（x+2）2＝9C．（x﹣1）2＝6D．（x﹣2）2＝9
【分析】配方法的一般步骤：
把常数项移到等号的右边；
把二次项的系数化为 1；
等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】解：由原方程移项，得
x2﹣2x＝5，
方程的两边同时加上一次项系数﹣2 的一半的平方 1，得
x2﹣2x+1＝6
∴（x﹣1）2＝6． 故选：C．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2 的倍数．
6．（3 分）反比例函数的图象在第一、三象限，则 m 的取值范围是（）
A．m≥5B．m＞5C．m≤5D．m＜5
【分析】根据反比例函数（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）
k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内，可解的答案．
【解答】解：∵图象在第一、三象限，
∴m﹣5＞0， 解得 m＞5． 故选：B．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确把握好 （k≠0）中 k 与其所在象
限的关系即可．
7．（3 分）设 A（2，y1），B（﹣2，y2）是抛物线 y＝﹣（x+1）2+a 上的两点，则 y1、y2 的大小关系为（）
A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1≤y2D．y1≥y2
【分析】先根据已知条件求出二次函数的图象开口方向和对称轴，再根据点 A、B 的横坐
标的大小即可判断出 y1 与 y2 的大小关系．
【解答】解：∵y＝﹣（x+1）2+a，
∴抛物线的开口向下，的对称轴是直线 x＝﹣1，
∴离对称轴越近越大，
∵2﹣（﹣1）＞﹣1﹣（﹣2），
∴y1＜y2． 故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，在解题时要能灵活应用二次函 数的图象和性质以及点的坐标特征是本题的关键．
8．（3 分）如图，△ABC 的内切圆圆 O 与 AB，BC，CA 分别相切于点 D，E，F，若∠DEF
＝53°，则∠A 的度数是（）
A．36°B．53°C．74°D．128°
【分析】连接 OD、OF，由切线的性质得∠ODA＝∠OFA＝90°，再根据圆周角定理求得∠DOF＝2∠DEF＝106°，则∠A＝360°﹣∠ODA﹣∠OFA﹣∠DOF＝74°，于是得 到问题的答案．
【解答】解：连接 OD、OF，
∵⊙O 分别与 AB、AC 相切于点 D、点 F，
∴AB⊥OD，AC⊥OF，
∴∠ODA＝∠OFA＝90°，
∵∠DEF＝53°，
∵∠DOF＝2∠DEF＝2×53°＝106°，
∴∠A＝360°﹣∠ODA﹣∠OFA﹣∠DOF＝360°﹣90°﹣90°﹣106°＝74°， 故选：C．
【点评】此题重点考查三角形的内切圆、切线的性质、圆周角定理、多边形的内角和等 知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
9．（3 分）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 E 在 CD 边上，DE＝2CE，连接 AE 交
BD 于点 F，则 DF：BD＝（）
A．2：1B．2：3C．2：5D．1：3
【分析】由△DFE∽△BFA 得到 DF：BF＝DE：AB，由 DE＝2CE 得出 DE：AB＝2：3， 从而可以解决问题．
【解答】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，
∴△DFE∽△BFA
∴DF：BF＝DE：AB，
∵DE＝2CE，
∴DE：DC＝2：3，
∴DE：AB＝2：3，
∴DF：BF＝2：3，
∴DF：BD＝2：5， 故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，关键是掌握并熟练应 用以上知识点．
10．（3 分）如图，抛物线 y＝﹣x（x+6）与 x 轴负半轴交于点 A，点 B 为线段 OA 上一动
点，点 D 的坐标为（﹣3，﹣6），连接 BD，以 BD 为底边向右侧作等腰直角△DCB，若
点 C 恰好在抛物线上，则 AB 长为（）
A．4B．4.5C．5D．5.5
【分析】过点 C 作 CE⊥x 轴，垂足为 E，过点 D 作 DF⊥EC，交 EC 延长线于点 F，设
点 ，然后证明△CBE≌△DCF，则 CE＝DF，BE＝CF，即可求出点 C 的坐标，再求出点 B 的坐标，从而求出 AB 的长度．
【解答】解：∵ ，
令 y＝0，则 x1＝0，x2＝﹣6，
∴点 A 的坐标为：（﹣6，0），
过点 C 作 CE ⊥ x 轴， 垂足为 E ， 过点 D 作 DF ⊥ EC ， 交 EC 延长线于点 F ， 设点 ，如图：
∵△DCB 是等腰直角三角形，
∴BC＝DC，∠BCD＝90°，
∵CE⊥x 轴，DF⊥EC
∴∠BEC＝∠F＝90°，
∴∠BCE+∠CBE＝∠BCE+∠DCF＝90°，
∴∠CBE＝∠DCF，
∴△CBE≌△DCF，
∴CE＝DF，BE＝CF，
∵，D（﹣3，﹣6），
∴ ，
∴ ，
解得： ，x2＝1；
∵x＞﹣3，
∴x＝1，
∴点 C 的坐标为（1，﹣4），
∴BE＝CF＝﹣4﹣（﹣6）＝2，
∴点 B 的横坐标为 1﹣2＝﹣1，
∴AB 的长度为﹣1﹣（﹣6）＝5； 故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质，全等三角形 的判定和性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形是解题的关键．
二、填空题（每题 3 分，共 18 分）
11．（3 分）已知点 A（﹣2，3），B（3，m）在反比例函数上，则 m＝ ﹣2．
【分析】利用待定系数法求出 k 的值，代入点 B 的横坐标计算即可．
【解答】解：∵点 A（﹣2，3）在反比例函数上，
∴k＝﹣2×3＝﹣6，
则反比例函数的解析式为：y＝ ，
∴当 x＝3 时，m＝＝﹣2， 故答案为：﹣2．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数图象上的点的
坐标满足函数解析式是解题的关键．
12．（3 分）在平面直角坐标系中，已知点 A（a，﹣3）与点 B（2，b）关于原点对称，则 ab＝ ﹣6．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出 a，b 的值，即可得出答案．
【解答】解：∵点 A（a，﹣3）与点 B（2，b）关于原点对称，
∴a＝﹣2，b＝3，
则 ab＝﹣2×3＝﹣6． 故答案为：﹣6．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出 a，b 的值是解题关键．
13．（3 分）如图，将△AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 50°后得到△A'OB'，若∠AOB＝15°，则∠AOB'的度数是 35° ．
【分析】根据旋转的性质可知，旋转角等于 60°，从而可以得到∠BOB′的度数，由∠
AOB＝15°可以得到∠AOB′的度数．
【解答】解：∵△AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 50°后得到△A′OB′，
∴∠BOB′＝50°．
∵∠AOB＝15°，
∴∠AOB′＝∠BOB′﹣∠AOB＝50°﹣15°＝35°． 故答案为：35°．
【点评】本题考查旋转的性质，解题的关键明确旋转角是什么，对应边旋转前后的夹角 是旋转角．
14．（3 分）已知圆锥的底面半径为cm，母线长为 3cm，则圆锥的侧面积为6πcm2．
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
【解答】解：底面半径是 cm，则底面周长＝2 πcm， 圆锥的侧面积＝×2π×3＝6π（cm2）．
故答案为：6πcm2．
【点评】本题考查圆锥的侧面积，解题的关键是记住圆锥是侧面积公式．
15．（3 分）如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为 2 米时，水面宽度为 4 米；那么当水位上升 0.5 米后，水面的宽度为 2 米．（结果可带根号）
【分析】根据题意设抛物线解析式，求出解析式确定出水面的宽度即可．
【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，
设抛物线解析式为 y＝ax2+c， 把（2，0）和（0，2）代入得，
，
解得
，
∴抛物线解析式为 y＝﹣x2+2，
把 y＝0.5 代入得：x＝±， 则水面的宽度是 2米．
故答案为：2 ．
【点评】此题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
16．（3 分）如图，矩形 ABCD 和矩形 AEFG，AD＝12，AB＝9，AG＝8，AE＝6，矩形 AEFG
绕点 A 旋转，给出下列结论：①3BE＝DG；②BE⊥DG；③当∠BAG＝60°时，4S△ABG
＝3 S△ADG；④DE2+BG2＝315，其中正确的结论 ②③．
【分析】通过证明△ADG∽△ABE，由相似三角形的性质可求 4BE＝3DG，可以判断① 错误；由相似三角形的性质可得∠AEB＝∠AGD，由余角的性质可证 BE⊥DG，可以判 断②正确；由勾股定理可求 BG2+DE2＝325，可以判断④错误；分别求出 S△ABG，S△ADG， 即可判断③，即可求解．
【解答】解：∵矩形 ABCD 和矩形 AEFG，AD＝12，AB＝9，AG＝8，AE＝6，
∴∠DAB＝∠GAE＝90°， ＝ ， ＝ ，
∴∠DAG＝∠BAE， ＝ ，
∴△ADG∽△ABE，
∴ ＝ ＝ ，
∴4BE＝3DG，故①错误；
如图：设 BE 与 DG 交于点 H，
∵△ADG∽△ABE，
∴∠AEB＝∠AGD， 又∵∠AOE＝∠GOH，
∴∠EAO＝∠GHO＝90°，
∴BE⊥DG，故②正确；
如图，连接 BD，GE，DE，BG，
∵AD＝12，AB＝9，AG＝8，AE＝6，
∴BD2＝AB2+AD2＝81+144＝225，GE2＝AE2+AG2＝100，
∵BE⊥DG，
∴BH2+DH2＝BD2，BH2+HG2＝BG2，HG2+HE2＝GE2，DH2+HE2＝DE2，
∴BD2+GE2＝BG2+DE2，
∴BG2+DE2＝325，故④错误；
如图，过点 G 作 GN⊥AB 于 N，GP⊥直线 AD 于 P，
∵∠BAP＝90°，
∴四边形 APGN 是矩形，
∴AN＝GP，NG＝AP，
∵∠BAG＝60°，
∴∠GAP＝30°，
∴GP＝ AG＝4，AP＝PG＝4，
∴S△ABG＝ ×AB•NG＝ ×9×4＝18，S△ADG＝ ×AD•GP＝ ×12×4＝24，
∴4S△ABG＝3 S△ADG．故③正确； 综上所述：正确的结论是②③． 故答案为：②③．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质， 勾股定理，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
三、解答题
17．（4 分）解方程：x2﹣10x+9＝0．
【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：x2﹣10x+9＝0，
（x﹣1）（x﹣9）＝0， x﹣1＝0 或 x﹣9＝0， x1＝1，x2＝9．
【点评】本题考查了解一元一次方程和解一元二次方程的应用，关键是能把解一元二次 方程转化成解一元一次方程．
18．（4 分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点都在格点上．
画出△ABC 绕原点 O 顺时针旋转 180°后的△A1B1C1．
求线段 OC 在旋转过程中所扫过的图形面积．
【分析】（1）根据关于原点对称的点的坐标特征写出 A1、B1、C1 的坐标，然后描点，连线组成三角形即可；
（2）根据扇形面积公式可得答案．
【解答】解：（1）如图：
△A1B1C1 即为所求三角形；
（2）∵OC2＝52+32＝34，
∴线段 OC 在旋转过程中所扫过的图形面积为＝ ＝17π．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，涉及扇形的面积，解题的关键是掌握关于原点对称 的点的坐标特征．
19．（6 分）已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0），函数 y 与自变量 x 的部分对应值如下表：
求该二次函数的表达式；
根据二次函数 y＝ax2+bx+c 图象，直接写出不等式 ax2+bx+c＞0 的 x 的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式；
（2）根据函数的图象和性质求 x 的取值范围即可．
【解答】解：（1）由表格可知抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）．设抛物线的解析式为 y＝a（x﹣1）2﹣4，
∵抛物线过点（﹣1，0），
∴0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，
∴a＝1，
∴二次函数的表达式为 y＝（x﹣1）2﹣4（或 y＝x2﹣2x﹣3）；
（2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线 x＝1，
∴点（﹣1，0）的对称点为（3，0），
∴不等式 ax2+bx+c＞0 的 x 的取值范围是 x＞3 或 x＜﹣1．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
…
【点评】本题考查了二次函数与不等式（组），待定系数法求函数解析式，关键是求出函数的解析式．
20．（6 分）某校准备从 2 名男生（A、B）和 3 名女生（C、D、E）五人中选拔学生，代表学校参加区中学生“党史知识竞赛”．
如果确定只需要一名女生参加，则女生 E 被选中的概率是 （直接填写答案）；
如果确定只需要两名学生参加，请用画树状图或列表法求恰好选中 2 名女生的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有 20 种等可能的结果，其中恰好选中 2 名女生的结果有 6 种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）如果确定只需要一名女生参加，则女生 E 被选中的概率是，
故答案为： ；
（2）画树状图如下：
共有 20 种等可能的结果，其中恰好选中 2 名女生的结果有 6 种，
∴恰好选中 2 名女生的概率为＝ ．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能 的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总 情况数之比．
21．（8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣4x﹣2m+5＝0 有两个实数根．
求实数 m 的取值范围；
若 x1，x2 是该方程的两个根，且满足 x1x2+x1+x2＝m2+6，求 m 的值．
【分析】（1）利用根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，即可求出答案；
（2）先将足 x1x2+x1+x2＝m2+6 转化成﹣2m+5+4＝m2+6，再运用根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：（1）∵x2﹣4x﹣2m+5＝0 有两个实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac≥0，
∴（﹣4）2﹣4×1×（﹣2m+5）＞0，
∴m≥ ；
（2）∵x1，x2 是该方程的两个根，
∴x1+x2＝4，x1x2＝﹣2m+5，
∵x1x2+x1+x2＝m2+6，
∴﹣2m+5+4＝m2+6，
∴m＝﹣3 或 1．
∵m≥ ；
∴m＝1．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，掌握根的判别式以 及根与系数的关系的公式是解题关键．
22．（10 分）（1）据统计，三月份的全天包车数为 36 次，在租金不变的基础上，四、五月的全天包车数持续走高，五月份的全天包车数达到 81 次．若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率；
（2）一段时间后，当全天包车的租金为每辆 120 元时，每月的全天包车数为 60 次，该
公司决定降低租金，经调查发现，租金每降价 1 元，平均每月全天包车数增加 2 次，尽
可能的减少租车次数．当租金降价多少元时，公司每月获得的租金总额为 8800 元？
【分析】（1）设全天包车数的月平均增长率为 x，利用五月份的全天包车数＝三月份的全天包车数×（1+全天包车数的月平均增长率）2，可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）当租金降价 y 元时，全天包车的租金为每辆（120﹣y）元，每月的全天包车数为（60+2y）次，根据公司每月获得的租金总额为 8800 元，可得出关于 y 的一元二次方程，解之即可得出 y 值，再结合要尽可能的减少租车次数，即可得出租金需降价 10 元．
【解答】解：（1）设全天包车数的月平均增长率为 x，根据题意得：36（1+x）2＝81，
解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不符合题意，舍去）．答：全天包车数的月平均增长率为 50%；
（2）当租金降价 y 元时，全天包车的租金为每辆（120﹣y）元，每月的全天包车数为（60+2y）次，
根据题意得：（120﹣y）（60+2y）＝8800，整理得：y2﹣90y+800＝0，
解得：y1＝10，y2＝80，
又∵要尽可能的减少租车次数，
∴y＝10．
答：当租金降价 10 元时，公司每月获得的租金总额为 8800 元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解 题的关键．
23．（10 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，BD 平分∠ABC 交 CA 于 D 点，O 是 BC
上一点，经过 B、D 两点的⊙O 分别交 BC、BA 于点 E、F．
用尺规补全图形（保留作图痕迹，不写作法）；
求证：CA 与⊙O 相切；
当 BD＝2，∠ABD＝30°时，求劣弧 BD 的长．
【分析】（1）线段 BD 的垂直平分线与 BC 的交点即为圆心 O；
连接 OD，根据角平分线的定义，可得∠BDO＝∠ABD，从而证明 AB∥OD，得到OD⊥AC，即可 CA 与⊙O 相切；
求出∠BOD＝120°，设 BD 的中点为 G，则 OG⊥BD，在 Rt△BOG 中求出 BO＝2，
即可求劣弧 BD 的长＝．
【解答】（1）解：如图：
（2）证明：连接 OD，
∴OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵BD 是∠ABC 的平分线，
∴∠ABD＝∠DBO，
∴∠BDO＝∠ABD，
∴AB∥OD，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ODC＝90°，
∴OD⊥AC，
∵D 点在圆 O 上，
∴CA 与⊙O 相切；
（3）解：∵∠ABD＝30°，
由（2）可知∠BDO＝∠DBO＝30°，
∴∠BOD＝120°，
设 BD 的中点为 G，则 OG⊥BD，
∵BD＝2 ，
在 Rt△BOG 中，BG＝，∠GBO＝30°，
∴BO＝2，
∴劣弧 BD 的长＝＝．
【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆的切线的判定及性质，平行线的性质，直 角三角形的性质是解题的关键．
24．（12 分）给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．
以下四边形中，是勾股四边形的为 ②③（填序号即可）；
①平行四边形；②矩形；③有一个角为直角的任意凸四边形；④有一个角为 60°的菱形．
如图 1，将△ABC 绕顶点 C 按顺时针方向旋转 n°得到△EDC．
①连接 AD，当 n＝60，∠BAD＝30°时，求证：四边形 ABCD 是勾股四边形．
②如图 2，将 DE 绕点 E 顺时针方向旋转得到 EF，连接 BF，BF 与 AE 交于点 P，连接CP，若∠DEF＝（180﹣n）°，CP＝2，AE＝8，求 AC 的长度．
【分析】（1）由勾股四边形的定义得出至少有一个内角是直角四边形必是勾股四边形， 即可得出答案；
（2）①只要证明△DAE 是直角三角形，再利用勾股定理/旋转的性质即可解决问题．
②如图 2 中，延长 BC 交 FE 的延长线于 H．由△FPE≌△BPA，推出 PE＝PA＝5，由
CA＝CE，推出 CP⊥AE，推出∠APC＝90°，根据 AC＝计算即可．
【解答】（1）解：∵一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，
∴此四边形的内角中至少有一个角为直角，
①∵平行四边形的内角不一定有直角，
∴平行四边形不一定是勾股四边形；
②∵矩形的四个角都为直角，
∴矩形是勾股四边形；
③∵有一个角为直角的任意凸四边形，
∴此四边形为勾股四边形；
④∵有一个角为 60°的菱形，
∴菱形的四个内角分别为 60°，120°，60°，120°，
∴有一个角为 60°的菱形不是勾股四边形， 故答案为：②③；
（2）①证明：如图 1 中，连接 AE．
∵△ABC 绕点 C 顺时针旋转了 60°到△DCE，
∴AC＝BC，∠ACE＝60°，
∴△ACE 是等边三角形．
∴AE＝AC，∠ACE＝60°，
∵∠DCB＝60°，∠BAD＝30°
∴∠ABC+∠ADC＝270°，
∴∠ADC+∠CDE＝170°，
∴∠ADE＝90°，
在 Rt△DAE 中，AD2+DE2＝AE2，
∵DE＝AB，AC＝AE，
∴AD2+AB2＝AC2，
∴四边形 ABCD 是勾股四边形；
②解：如图 2 中，延长 BC 交 FE 的延长线于 H．
∵∠DCH＝180°﹣n°＝（180﹣n）°，∠DEF＝（180﹣n）°，
∴∠DEF＝∠DCH，
∵∠DEF+∠DEH＝180°，
∴∠DEH+∠DCH＝180°，
∴∠CDE+∠H＝180°，
∵∠ABC＝∠CDE，
∴∠ABC+∠H＝180°，
∴AB∥FH，
∴∠F＝∠ABP，
∵DE＝EF＝AB，∠EPF＝∠APB，
∴△FPE≌△BPA（AAS），
∴PE＝PA，
∵AE＝PE+PA＝8，
∴PE＝PA＝4，
∵CA＝CE，
∴CP⊥AE，
∴∠APC＝90°，
∴AC＝ ＝ ＝2 ．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了勾股定理，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质、平行线的判定和性质等知识，解本题的关键是理解勾股四边形的定义，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
25．（12 分）已知：抛物线 y＝ax2﹣3（a﹣1）x+2a﹣6（a＞0）．
求证：抛物线与 x 轴有两个交点．
设抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标分别为 x1，x2（其中 x1＞x2）．若 t 是关于 a 的函数、且 t＝ax2﹣x1，求这个函数的表达式；
若 a＝1，将抛物线向上平移一个单位后与 x 轴交于点 A、B．平移后如图所示，过A 作直线 AC，分别交 y 的正半轴于点 P 和抛物线于点 C，且 OP＝1．M 是线段 AC 上一动点，求 2MB+MC 的最小值．
【分析】（1）可求出根的判别式的值，由根的判别式的值直接判断；
令 y＝0，求出含 a 的两个交点的横坐标，代入 t＝ax2﹣x1 即可；
求出平移后抛物线的解析式及 A，B 的坐标，求出直线 AC 的解析式及点 C 的坐标，过 C 作 CN⊥y 轴，过 M 作 MG⊥CN 于 G，过 C 作 CH⊥x 轴于 H，证△AOP∽△CGM，
推出＝，2MB+MC＝2（MB+GM），而 MB+GM 的最小值即 B 到 CN 最小距离 CH，
即可写出 2MB+MC 的最小值．
【解答】（1）证明：Δ＝b2﹣4ac＝[﹣3（a﹣1）]2﹣4a（2a﹣6）＝a2+6a+9＝（a+3）2，
∵a＞0，
∴（a+3）2＞0，
∴抛物线与 x 轴有两个交点；
（2）解：令 y＝0，则 ax2﹣3（a﹣1）x+2a﹣6＝0，
∴ 或 ，
∵a＞0，
∴ 且 x1＞x2，
∴x1＝2， ，
∴ ，
∴t＝a﹣5；
（3）解：当 a＝1 时，则 y＝x2﹣4， 向上平移一个单位得 y＝x2﹣3，
令 y＝0，则 x2﹣3＝0， 得 ，
∴ ， ，
∵OP＝1，
∴直线 ，
联立：，
解得，，，
即， ，
∴AO＝ ， 在 Rt△AOP 中，
AP＝ ＝2，
过 C 作 CN⊥y 轴，过 M 作 MG⊥CN 于 G，过 C 作 CH⊥x 轴于 H，
∵CN∥x 轴，
∴∠GCM＝∠PAO，
又∵∠AOP＝∠CGM＝90°，
∴△AOP∽△CGM，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ，
∵B 到 CN 最小距离为 CH，
∴MB+GM 的最小值为 CH 的长度，
∴2MB+MC 的最小值为．
【点评】本题考查了抛物线与坐标轴交点的求法，最短路径问题等，解题关键是能够通 过作合适的辅助线，将相关线段的和的最小值转化为垂线段最短的问题等．