2021-2022学年广东省广州市花都区九年级上学期期末数学试卷（含答案）

这是一份2021-2022学年广东省广州市花都区九年级上学期期末数学试卷（含答案），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（3 分）下列新能源汽车标识属于中心对称图形的是()
A．B． C． D． 2．（3 分）下列事件属于不可能事件的是()
A．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 B．任意画一个三角形，其内角和等于180 C．连续掷两次骰子，向上一面的点数都是 6 D．明天太阳从西边升起
3．（3 分）如图，将含 45 的三角板 ABC 绕点 B 顺时针旋转，使得点C ， B ， A 在同一直线上，则旋转角的度数为()
A． 45B． 90C．135D．180 4．（3 分）将抛物线 y  3x2 向上平移 2 个单位长度，所得抛物线的解析式为()
A． y  3x2  2
B． y  3x2  2
C． y  3(x  2)2
D． y  3(x  2)2
5．（3 分）如图， O 是ABC 的外接圆， A  50 ，则BOC 的度数为()
A． 40B． 50C． 80D．100 6．（3 分）关于 x 的一元二次方程 x2  mx  1  0 的根的情况是()
A．没有实数根B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根D．无法确定
7．（3 分）如图， D ， E 分别是ABC 的边 AB ， AC 上的点，连接 DE ，下列条件不能判定ADE 与ABC 相似的是()
ADE  B
AED  C
AD  AE
ABAC
AD  DE
ABBC
8．（3 分）如图，分别以等边ABC 的三个顶点为圆心，边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形．若 AB  2 ，则此莱洛三角形的周长为()
A． 2B． 4C．6D． 2 3
9．（3 分）如图，点 M 是反比例函数 y  4 (x  0) 图象上一点，MN  y 轴于点 N ．若 P 为 x
x
轴上的一个动点，则MNP 的面积为()
A．2B．4C．6D．无法确定
10．（3 分）定义 min{a ， b ， c} 为 a ， b ， c 中的最小值，例如： min{5 ，3，1}  1 ， min{8 ，
5， 5}  5 ．如果 min{4 ， x2  4x ， 3}  3 ，那么 x 的取值范围是()
A．1x3
B． x1 或 x3
C．1  x  3
D． x  1 或 x  3
三、填空题（本大题共 6 小题，共小题 3 分，满分 18 分.）
11．（3 分）抛物线 y  (x  3)2  4 的对称轴是 ．
12．（3 分）某同学在同一条件下练习投篮共 500 次，其中 300 次投中，由此可以估计，该同学投篮一次能投中的概率约是．
13．（3 分）长方形的面积为 20，长与宽分别为 x ， y ，则 y 与 x 的函数关系式为 ．
14．（3 分）已知 x  2 是一元二次方程 x2  mx  n  0 的一个解，则 4m  2n 的值是 ．
15．（3 分）如图，以点O 为位似中心，把AOB 缩小后得到COD ，使COD∽AOB ，且
1
相似比为
，已知点 A(3, 6) ，则点C 的坐标为．
3
5
16．（3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 2， AC ， BD 交于点O ，点 E 为OAB 内的一点，连接 AE ， BE ， CE ， OE ，若BEC  90 ，给出下列四个结论：① OEC  45 ；②线段
AE 的最小值是
 1 ； ③ OBE∽ECO ； ④ 2OE  BE  CE ． 其中正确的结论
有 ．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（4 分）解方程： x2  4x  3  0 ．
月用水量
/ 立方米
频数/ 户
频率
0x  5
1
0.02
5x  10
4
0.08
10x  15
10
n
15x  20
15
0.3
20x  25
m
0.24
25x  30
5
0.1
30x  35
3
0.06
18．（4 分）如图，OC 为O 的半径，弦 AB  OC 于点 D ，OC  10 ，CD  4 ，求 AB 的长．
19．某校数学社团活动小组进行“用数据谈生活节水”的项目研究，从该学校随机抽取部分 学生所在的家庭进行月用水量 x （单位：立方米）调查，绘制如下不完整的统计图表：
请根据图表提供的信息，回答下列问题：
直接写出 m ， n 的值，并补全频数分布直方图；
数学社团活动小组从用水量为5x  10 立方米的甲，乙，丙，丁 4 户家庭中随机抽取
2 户进行采访，恰好选中甲和乙两户家庭的概率是多少？
20．（6 分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为 1 个单位，点O ， A ， B 都在格点上， OAB 绕点O 顺时针旋转180 ，得到△ OA1B1 ．
画出△ OA1B1 ；
求出线段OA 旋转过程中扫过的面积．
21．（8 分）如图， A  D ， AC ， BD 相交于点 E ，过点C 作CF / / AB 交 BD 于点 F ．
求证： CEF∽DEC ；
若 EF  3 ， EC  5 ，求 DF 的长．
22．（10 分）某商场一月份的销售额为 125 万元，二月份的销售额下降了 20% ，商场从三月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，四月份的销售额达到了 144 万元．
求二月份的销售额；
求三、四月份销售额的平均增长率．
23 ．（ 10 分） 如图， 在平面直角坐标系中， 一次函数 y  x  b 的图象与反比例函数
y  k (x  0) 的图象交于点 A(1, 6) ，与 x 轴交于点 B ．点C 是线段 AB 上一点，且OCB 与
x
OAB 的面积比为1: 2 ．
求 k 和b 的值；
将OBC 绕点O 逆时针旋转90 ，得到△ OBC ，判断点C 是否落在函数 y  k (k  0)
x
的图象上，并说明理由．
24．（12 分）如图，抛物线 y  mx2  2mx  3m(m  0) 与 x 轴交于点 A ，点 B( A 在 B 的左侧），与 y 轴交于点C ，连接 AC ， BC ．
直接写出点C 的坐标（用含 m 的代数式表示）；
若ABC 的面积为 6，求 m 的值；
在（2）的条件下，将抛物线向右平移 h(h  0) 个单位，记平移后抛物线中 y 随 x 的增大而减小的部分为 H ．当直线 AC 与 H 总有两个公共点时，求 h 的取值范围．
25．（12 分）如图， O 是ABC 的外接圆， AB 为直径，弦 AD 平分BAC ，过点 D 作射线 AC 的垂线，垂足为 M ，点 E 为线段 AB 上的动点．
求证： MD 是O 的切线；
若B  30 ， AB  8 ，在点 E 运动过程中， EC  EM 是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，说明理由；
若点 E 恰好运动到ACB 的角平分线上，连接CE 并延长，交O 于点 F ，交 AD 于
点 P ，连接 AF ， CP  3 ， EF  4 ，求 AF 的长．
2021-2022 学年广东省广州市花都区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。）
1．（3 分）下列新能源汽车标识属于中心对称图形的是()
B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转 180 度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点， 就叫做中心对称点．
【解答】解：选项 A 、 B 、 D 均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 180 度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项C 能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 180 度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选： C ．
【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180
度后与原图重合．
2．（3 分）下列事件属于不可能事件的是() A．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 B．任意画一个三角形，其内角和等于180 C．连续掷两次骰子，向上一面的点数都是 6 D．明天太阳从西边升起
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解： A 、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；
B 、任意画一个三角形，其内角和等于180 ，是必然事件，不符合题意； C 、连续掷两次骰子，向上一面的点数都是 6，是随机事件，不符合题意； D 、明天太阳从西边升起，是不可能事件，符合题意；
故选： D ．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下， 一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事
件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．（3 分）如图，将含 45 的三角板 ABC 绕点 B 顺时针旋转，使得点C ， B ， A 在同一直线上，则旋转角的度数为()
A． 45B． 90C．135D．180
【分析】由旋转的性质可得旋转角为ABA ，即可求解．
【解答】解：点C ， B ， A 在同一直线上，
CBA  180 ，
将含 45 的三角板 ABC 绕点 B 顺时针旋转，
旋转角为ABA ，
ABC  45 ，
ABA  135 ， 故选： C ．
【点评】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
4．（3 分）将抛物线 y  3x2 向上平移 2 个单位长度，所得抛物线的解析式为()
A． y  3x2  2
B． y  3x2  2
C． y  3(x  2)2
D． y  3(x  2)2
【分析】平移前函数的顶点坐标(0, 0) ，向上平移 2 个单位长度后顶点坐标为(0, 2) ，由此可得平移后函数解析式．
【解答】解： y  3x2 向上平移 2 个单位长度，
 y  3x2  2 ，
故选： A ．
【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，熟练掌握二次函数的平移变换特点是解题的关 键．
5．（3 分）如图， O 是ABC 的外接圆， A  50 ，则BOC 的度数为()
A． 40B． 50C． 80D．100
【分析】由O 是ABC 的外接圆，A  50 ，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得BOC 的度数．
【解答】解：O 是ABC 的外接圆， A  50 ，
BOC  2A  100 ． 故选： D ．
【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
6．（3 分）关于 x 的一元二次方程 x2  mx  1  0 的根的情况是()
A．没有实数根B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根D．无法确定
【分析】先求出根的判别式△的值，再判断出其符号即可得到结论．
【解答】解：△  m2  4 1 (1)  m2  4 ，
 m20 ，
 m2  4  0 ，
方程有两个不相等的实数根． 故选： B ．
【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程 ax2  bx  c  0(a  0) 的根与△
 b2  4ac 的关系是解答此题的关键．
7．（3 分）如图， D ， E 分别是ABC 的边 AB ， AC 上的点，连接 DE ，下列条件不能判定ADE 与ABC 相似的是()
ADE  B
AED  C
AD  AE
ABAC
AD  DE
ABBC
【分析】由相似三角形的判定方法可求解．
【解答】解：由题意可得： ADE 和ABC 中， A  A ，
当ADE  B 或AED  C 或 AD  AE 时， ADE∽ABC ，
ABAC
故选： D ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 8．（3 分）如图，分别以等边ABC 的三个顶点为圆心，边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形．若 AB  2 ，则此莱洛三角形的周长为()
A． 2B． 4C．6D． 2 3
【分析】连接OB 、OC ，作OD  BC 于 D ，根据正三角形的性质求出弧的半径和圆心角， 根据弧长的计算公式求解即可．
【解答】解：ABC 是正三角形，
BAC  60 ，
 BC 的长为： 60  2  2，
1803
 “莱洛三角形”的周长 2 3  2．
3
故选： A ．
【点评】本题考查的是正多边形和圆的知识，理解“莱洛三角形”的概念、掌握弧长公式是 解题的关键．
9．（3 分）如图，点 M 是反比例函数 y  4 (x  0) 图象上一点，MN  y 轴于点 N ．若 P 为 x
x
轴上的一个动点，则MNP 的面积为()
A．2B．4C．6D．无法确定
【分析】根据 S
MNP
 1 MN  ( y 2
P  yM
) 求解．
【解答】解：设点 M 坐标为(a,b) ，
点 M 在反比例函数图象上，
 ab  4 ，
 SMNP
 1 MN  ( y 2
P  yM
)  1  (a)(b)  1 ab  2 ．
22
故选： A ．
【点评】本题考查反比例函数系数 k 的几何意义，解题关键是掌握 xy  k ，掌握坐标系内求图形面积的方法．
10．（3 分）定义 min{a ， b ， c} 为 a ， b ， c 中的最小值，例如： min{5 ，3，1}  1 ， min{8 ，
5， 5}  5 ．如果 min{4 ， x2  4x ， 3}  3 ，那么 x 的取值范围是()
A．1x3
B． x1 或 x3
C．1  x  3
D． x  1 或 x  3
【分析】由 4， x2  4x ， 3 中最小值为3 可得 x2  4x  3 ，进而求解．
【解答】解：由题意得 4， x2  4x ， 3 中最小值为3 ，
 x2  4x  3 ，
即 x2  4x  30 ， 解得 x1 或 x3， 故选： B ．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
三、填空题（本大题共 6 小题，共小题 3 分，满分 18 分.）
11．（3 分）抛物线 y  (x  3)2  4 的对称轴是 直线 x  3 ．
【分析】根据抛物线的顶点式，可以直接写出该抛物线的对称轴，本题得以解决．
【解答】解：抛物线 y  (x  3)2  4 ，
该抛物线的对称轴是直线 x  3 ， 故答案为：直线 x  3 ．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 12．（3 分）某同学在同一条件下练习投篮共 500 次，其中 300 次投中，由此可以估计，该同学投篮一次能投中的概率约是 0.6．
【分析】根据概率公式直接进行解答即可．
【解答】解：某同学在同一条件下练习投篮共 500 次，其中 300 次投中，
该同学投篮一次能投中的概率约是 300  0.6 ；
500
故答案为：0.6．
【点评】本题考查了概率公式．用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比．
13．（3 分）长方形的面积为 20，长与宽分别为 x ，y ，则 y 与 x 的函数关系式为
【分析】根据矩形的面积公式可得 y 与 x 的函数关系式．
y  20．
x
【解答】解：由矩形的面积公式可得，
xy  20 ，
即 y  20 ，
x
故答案为： y  20 ．
x
【点评】本题考查函数关系式，掌握矩形的面积的计算方法是得出正确答案的前提．
14．（3 分）已知 x  2 是一元二次方程 x2  mx  n  0 的一个解，则4m  2n 的值是 8 ．
【分析】由 x  2 是一元二次方程 x2  mx  n  0 的一个解，将 x  2 代入原方程，即可求得
2m  n 的值，从而得解．
【解答】解： x  2 是一元二次方程 x2  mx  n  0 的一个根，
 4  2m  n  0 ，
 2m  n  4 ．
 4m  2n  8 ． 故答案为： 8 ．
【点评】本题主要考查了方程解的定义．解题的关键是将 x  2 代入原方程，利用整体思想求解．
15．（3 分）如图，以点O 为位似中心，把AOB 缩小后得到COD ，使COD∽AOB ，且
1
相似比为
，已知点 A(3, 6) ，则点C 的坐标为(1, 2) 或(1, 2) ．
3
【分析】根据位似变换的性质计算即可．
【解答】解：由题意得，点 A 与点C 是对应点，
AOB 与COD 的相似比是 3，
点C 的坐标为(3  1 ， 6  1) ，即(1, 2) ，
33
当点C 值第三象限时， C(1, 2) 故答案为： (1, 2) 或(1, 2) ．
【点评】本题考查的是位似变换的性质，掌握在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或k 是解题的关键． 16．（3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 2， AC ， BD 交于点O ，点 E 为OAB 内的一点，连接 AE ， BE ， CE ， OE ，若BEC  90 ，给出下列四个结论：① OEC  45 ；②线段
5
AE 的最小值是
 1 ；③ OBE∽ECO ；④ 2OE  BE  CE ．其中正确的结论有 ①
②④ ．（填写所有正确结论的序号）
5
【分析】通过证明点 E ，点 B ，点C ，点O 四点共圆，可得OEC  OBC  45 ，故①正确；由题意可得点 E 在直径为 BC 的圆上，当点 E 在 AF 上时， AE 有最小值，由勾股定理
可得 AE 的最小值为
 1 ， 故② 正确； 由圆周角定理可得 BOE  OEC ， 则
COE  BEO ，即OBE 与ECO 不相似，故③错误；由“ SAS ”可证COH  BOE ，
可得 BE  CH ，由线段的和差关系 EC  BE 
2OE ，故④正确，即可求解．
【解答】解：四边形 ABCD 是正方形，
BOC  90 ， ACB  DBC  45 ，
BEC  90 ，
CEB  BOC ，
点 E ，点 B ，点C ，点O 四点共圆，
OEC  OBC  45 ，故①正确；
BEC  90 ，
点 E 在直径为 BC 的圆上，
如图，取 BC 的中点 F ，连接 AF ， EF ，
 EF  BF  FC  1 ，
在AFE 中， AE  AF  EF ，
当点 E 在 AF 上时， AE 有最小值，
AB2  BF 2
4  1
5
此时： AF ，
5
 AE 的最小值为 1 ，故②正确；
点 E ，点 B ，点C ，点O 四点共圆，
BOE  BCE  BCO  45 ， OEC  CBO  45 ，
BOE  OEC ，
COE  BEO ，
OBE 与ECO 不相似，故③错误；
如图，过点O 作OH  OE ，交CE 于 H ，
OH  OE ， OEC  45 ，
OEC  OHE  45 ，
OE  OH ，
 EH 
2OE ，
EOH  BOC  90 ，
BOE  COH ，
又OB  OC ，
COH  BOE (SAS ) ，
 BE  CH ，
 EC  BE  EH  BE 
2OE ，故④正确，
故答案为：①②④．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定，勾股定理，全等 三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（4 分）解方程： x2  4x  3  0 ．
【分析】将方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式，然后利用两数相乘积为 0，两因式
中至少有一个为 0 转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
【解答】解： x2  4x  3  0 ， 分解因式得： (x  1)(x  3)  0 ，
可得 x  1  0 或 x  3  0 ， 解得： x1  1 ， x2  3 ．
【点评】此题考查了解一元二次方程  因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为 0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为 0，两因式中至少有一个为 0 转化为两个一元一次方程来求解．
18．（4 分）如图，OC 为O 的半径，弦 AB  OC 于点 D ，OC  10 ，CD  4 ，求 AB 的长．
【分析】连接OA ，由垂径定理得 AD  BD  1 AB ，再由勾股定理求出 AD  8 ，即可得出
2
答案．
【解答】解：连接OA ，如图：
 AB  OC ，
 AD  BD  1 AB ，
2
 OA  OC  10 ， CD  4 ，
OD  OC  CD  6 ，
OA2  OD2
102  62
 AD 
 AB  2 AD  16 ．
 8 ，
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出 AD 的长是解题的关键．
月用水量
/ 立方米
频数/ 户
频率
0x  5
1
0.02
5x  10
4
0.08
10x  15
10
n
15x  20
15
0.3
20x  25
m
0.24
25x  30
5
0.1
30x  35
3
0.06
19．（6 分）某校数学社团活动小组进行“用数据谈生活节水”的项目研究，从该学校随机抽取部分学生所在的家庭进行月用水量 x （单位：立方米）调查，绘制如下不完整的统计图表：
请根据图表提供的信息，回答下列问题：
直接写出 m ， n 的值，并补全频数分布直方图；
数学社团活动小组从用水量为5x  10 立方米的甲，乙，丙，丁 4 户家庭中随机抽取
2 户进行采访，恰好选中甲和乙两户家庭的概率是多少？
【分析】（1）求出该学校随机抽取的学生所在的家庭户数，即可解决问题；
（2）画树状图，共有 12 种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙两户家庭的结果有 2 种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）该学校随机抽取的学生所在的家庭户数为： 15  0.3  50 （户) ，
 m  50  0.24  12 ， n  10  50  0.2 ， 补全频数分布直方图如下：
（2）画树状图如下：
共有 12 种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙两户家庭的结果有 2 种，
恰好选中甲和乙两户家庭的概率为 2  1 ．
126
【点评】本题考查的是树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果， 适用两步或两步以上完成的事件．注意：概率  所求情况数与总情况数之比．也考查了频数
分布表和频数分布直方图．
20．（6 分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为 1 个单位，点O ， A ， B 都在格点上， OAB 绕点O 顺时针旋转180 ，得到△ OA1B1 ．
画出△ OA1B1 ；
求出线段OA 旋转过程中扫过的面积．
【分析】（1）根据旋转的性质，可画出图形；
（2）根据旋转的性质可知：线段OA 旋转过程中扫过的图形即为以O 为圆心，OA 长为半径的半圆，从而解决问题．
【解答】解：（1）如图所示，△ OA1B1 即为所求；
（2）OAB 绕点O 顺时针旋转180 ，得到△ OA1B1 ，
线段OA 旋转过程中扫过的图形即为以O 为圆心， OA 长为半径的半圆，
32  42
由图形知， OA  5 ，
线段OA 旋转过程中扫过的面积 1 52  25．
22
【点评】本题主要考查了作图 旋转变换，扇形面积的计算等知识，明确线段旋转扫过的图
形是扇形是解题的关键．
21．（8 分）如图， A  D ， AC ， BD 相交于点 E ，过点C 作CF / / AB 交 BD 于点 F ．
求证： CEF∽DEC ；
若 EF  3 ， EC  5 ，求 DF 的长．
【分析】（1）根据平行线的性质可得A  FCE ，进而可以证明结论；
（2）结合（1），根据相似三角形的性质即可求解．
【解答】（1）证明：CF / / AB ，
A  FCE ，
A  D ，
FCE  D ，
CEF  DEC ，
CEF∽DEC ；
（2）解：CEF∽DEC ， EF  3 ， EC  5 ，
 EF  EC ，
ECDE
 3  5 ，
5DE
 DE  25 ，
3
 DF  DE  EF  25  3  16 ．
33
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，解决本题的关键是 掌握相似三角形的判定与性质．
22．（10 分）某商场一月份的销售额为 125 万元，二月份的销售额下降了 20% ，商场从三月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，四月份的销售额达到了 144 万元．
求二月份的销售额；
求三、四月份销售额的平均增长率．
【分析】（1）利用二月份的销售额  一月份的销售额(1  20%) ，即可求出结论；
（2）设三、四月份销售额的平均增长率为 x ，利用四月份的销售额 二月份的销售额(1  平均增长率） 2 ，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）125  (1  20%)  125  80%  100 （万元）．答：二月份的销售额为 100 万元．
（2）设三、四月份销售额的平均增长率为 x ， 依题意得：100(1  x)2  144 ，
解得： x1  0.2  20% ， x2  2.2 （不合题意，舍去）．
答：三、四月份销售额的平均增长率为 20% ．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的 关键．
23 ．（ 10 分） 如图， 在平面直角坐标系中， 一次函数 y  x  b 的图象与反比例函数
y  k (x  0) 的图象交于点 A(1, 6) ，与 x 轴交于点 B ．点C 是线段 AB 上一点，且OCB 与
x
OAB 的面积比为1: 2 ．
求 k 和b 的值；
将OBC 绕点O 逆时针旋转90 ，得到△ OBC ，判断点C 是否落在函数 y  k (k  0)
x
的图象上，并说明理由．
【分析】（1）将 A(1, 6) 代入 y  x  b 可求出b 的值；将 A(1, 6) 代入 y  k 可求出 k 的值；
x
（2）由一次函数的解析式求出 B 点坐标为(5, 0) ．根据OCB 与OAB 的面积比为1: 2 ，得
出C 为 AB 中点，利用中点坐标公式求出 C 点坐标为(2,3) ．过点C 作CD  x 轴，垂足为 D ， 过点 C  作 CE  x 轴，垂足为 E ．根据 AAS 证明△ COE  OCD ，得出 OE  CD  3 ，
CE  OD  2 ，又C 在第二象限，得出C(3, 2) ，进而判断点C 是落在函数 y   6 的图象
x
上．
【解答】解：（1）将 A(1, 6) 代入 y  x  b ，得， 6  1  b ，
b  5 ，
将 A(1, 6) 代入 y  k ，
x
得， 6  k ，
1
解得， k  6 ，
故所求 k 和b 的值分别为6 ，5；
（2）点C 是落在函数 y   6 的图象上．理由如下：
x
 y  x  5 ，
 y  0 时，  x  5  0 ，解得 x  5 ，
 B(5, 0) ．
OCB 与OAB 的面积比为1: 2 ，
 C 为 AB 中点，
 A(1, 6) ， B(5, 0) ，
C(2, 3) ．
如图，过点C 作CD  x 轴，垂足为 D ，过点C 作CE  x 轴，垂足为 E ．
将OBC 绕点O 逆时针旋转90 ，得到△ OBC ，
OC  OC ， OB  OB  5 ， COC  90 ．
COE  OCD  90  COD ． 在△ COE 与OCD 中，
COE  OCD

CEO  ODC ，

OC  OC
△ COE  OCD(AAS ) ，
OE  CD  3 ， CE  OD  2 ，
C 在第二象限，
C(3, 2) ，
点C 是落在函数 y   6 的图象上．
x
【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，线段中点坐标公式，全等 三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，都是基础知识，需熟练掌握．
24．（12 分）如图，抛物线 y  mx2  2mx  3m(m  0) 与 x 轴交于点 A ，点 B( A 在 B 的左侧），与 y 轴交于点C ，连接 AC ， BC ．
直接写出点C 的坐标（用含 m 的代数式表示）；
若ABC 的面积为 6，求 m 的值；
在（2）的条件下，将抛物线向右平移 h(h  0) 个单位，记平移后抛物线中 y 随 x 的增大而减小的部分为 H ．当直线 AC 与 H 总有两个公共点时，求 h 的取值范围．
【分析】（1）令 x  0 ，则 y  3m ，即可求C 点坐标；
（2）求出 A(3, 0) ， B(1, 0) ，再求面积即可；
（3）平移后的抛物线解析式为 y  (x  1  h)2  4 ，再求直线 AC 的解析式为 y  x  3 ，当
 y 2(x  1  h)  4
抛物线经过点(0, 3) 时， h  2 ，此时 H 与直线 AC 有两个交点，联立 y  x  3，

得到方程 x2  (3  2h)x  h2  2h  0 ，当△  0 时，此时 H 与直线 AC 有两个交点，即可求 h
的取值范围．
【解答】解：（1）令 x  0 ，则 y  3m ，
C(0, 3m) ；
（2） y  mx2  2mx  3m  m(x  3)(x 1) ， 令 y  0 ，则 x  3 或 x  1 ，
 A(3, 0) ， B(1, 0) ，
 AB  4 ，
 SABC
 1  4  3m  6 ，
2
 m  1 ；
（3） m  1 ，
 y  x2  2x  3  (x  1)2  4 ，
将抛物线向右平移 h(h  0) 个单位，
 y  (x  1  h)2  4 ，
对称轴为直线 x  h  1，
设直线 AC 的解析式为 y  kx  b ，
b  3
 3k  b  0 ，

b  3
 k  1 ，

 y  x  3 ，
当抛物线经过点(0, 3) 时， h  2 ，此时 H 与直线 AC 有两个交点，
 y 2(x  1  h)  4
联立 y  x  3，

 x2  (3  2h)x  h2  2h  0 ，
△  0 时， (3  2h)2  4(h2  2h)  0 ，
 h  9 ，
4
此时 H 与直线 AC 有两个交点，
 2h  9 时， H 与直线 AC 有两个交点．
4
【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，会求函数平移后的解 析式是解题的关键．
25．（12 分）如图， O 是ABC 的外接圆， AB 为直径，弦 AD 平分BAC ，过点 D 作射
线 AC 的垂线，垂足为 M ，点 E 为线段 AB 上的动点．
求证： MD 是O 的切线；
若B  30 ， AB  8 ，在点 E 运动过程中， EC  EM 是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，说明理由；
若点 E 恰好运动到ACB 的角平分线上，连接CE 并延长，交O 于点 F ，交 AD 于
点 P ，连接 AF ， CP  3 ， EF  4 ，求 AF 的长．
【分析】（1）连接OD ，交 BC 于点 N ，通过证明四边形CNDM 为矩形得出OD  MD ，利用切线的判定定理即可得出结论；
过点 C 作CF  AB ，并延长交O 于点 F ，连接 MF ，交 AB 于点 E ，连接 EC ，利
用将军饮马模型可知此时 EC  EM 的值最小；由题意可得 FD 为圆的直径，在RtFDM 中， 利用勾股定理即可求得结论；
利用角平分线的定义和三角形的外角的性质可以判定FAP 为等腰三角形，证明
FAE∽FCA ，利用相似三角形的性质得出比例式，解关于 AF 的方程即可得出结论．
【解答】证明：（1）连接OD ，交 BC 于点 N ，如图，
 AB 为直径，
ACB  90 ．
BCM  90 ．
 AD 平分BAC ，
 CD  BD ．
ON  BC ．
 DM  AC ，
四边形CNDM 为矩形．
OD  MD ．
 OD 为圆的半径，
 MD 是O 的切线；
在点 E 运动过程中， EC  EM 存在最小值．理由：
过点 C 作 CF  AB ，并延长交O 于点 F ，连接 MF ，交 AB 于点 E ，连接 EC ，则此时
EC  EM 的值最小，如图，
B  30 ， ACB  90 ，
CAB  60 ．
 AD 平分BAC ，
CAD  DAB  30 ．
 CD 与 BD 的度数为60 ．
 AB 是直径，
 AC 的度数为 60 ．
 AC  CD  BD ．
 AB  CF ， AB 是直径，
 AC  AF ．
 AF  AC  CD  180 ．
 FAD 为半圆．
 FD 为圆的直径．
由（1）知： MD 是O 的切线，
 FD  MD ．
由题意： AB 垂直平分 FC ，
 EC  EF ．
 EC  EM  EF  EM  FM ．
CFD  DAB ， DAB  30 ，
CFD  30 ．
 AB  8 ，
 FD  8 ．
由（1）知：四边形 MCND 为矩形，
 MD  NC ．
 ON  BC ，
CN  1 BC ．
2
在RtACB 中，
sin CAB  BC ，
AB
 BC  AB  sin 60  8
 MD  CN  1 BC  2
2
3  4．
3
2
3
．
在RtFDM 中，
DF 2  MD2
82  (2 3)2
19
MF  2．
 EC  EM 的最小值为 MF  2 19 ．
如图，
 FC 平分ACB ， ACB  90 ，
ACF  BCF  45 ．
BAF  BCF  45 ．
 AD 平分BAC ，
CAD  BAD ．
PAF  BAD  BAF ， APF  ACF  CAD ，
PAF  APF ，
 AF  FP ．
 FC  FP  CP  AF  3 ．
FAB  ACF  45 ， F  F ，
FAE∽FCA ．
 FA  FE ．
FCFA
 FA2  FE  FC  4( AF  3) ．
 AF 2  4AF  12  0 ．
解得： AF  6 或 AF  2 （不合题意，舍去），
 AF  6 ．
【点评】本题是一道圆的综合题，主要考查了圆的切线的判定与性质，圆周角定理及其推论， 轴对称的性质，角平分线的定义，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，特殊角的三角
函数值，连接半径OD 和利用轴对称中的将军饮马模型找出 EC  EM 存在最小值是解题的关键．