广东省多校2025-2026学年高二上学期12月联考数学试题（Word版附解析）

这是一份广东省多校2025-2026学年高二上学期12月联考数学试题（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．若的三个顶点坐标分别为，，，则外接圆的圆心坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．已知直线：，：，则条件“”是“”的（ ）
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不必要也不充分条件
4．为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识竞赛，得分（10分制）的频数分布表如表：
设得分的中位数为，众数为，平均数为，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知某圆柱和某圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为2，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
6．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在直三棱柱中，已知，D为的中点，，则，所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
8．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的外接圆的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．设函数，则下列结论错误的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．的一个零点为
D．的最大值为1
10．已知三棱锥，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，下列说法正确的是（ ）
A．E，F，G，H四点共面
B．平面EFGH
C．设M是EG和FH的交点，O是空间任意一点，则
D．若，则
11．如图，已知过原点的直线与函数的图象交于两点，设的横坐标分别为，分别过作轴的平行线与函数的图象交于两点.若轴，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
12．如图是一个古典概型的样本空间和事件和其中，则 ； .

13．过点有一条直线，它夹在两条直线与之间的线段恰被点平分，则直线的方程为 ．
14．已知，点在直线上，点在圆上，则的最小值是 .
四、解答题
15．某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李明答对每道题的概率都是0.6，若每位面试者都有三次机会，一旦答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第三次为止.用Y表示答对题目，用N表示没有答对的题目，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，那么：
(1)在图的树状图中填写样本点，并写出样本空间；
(2)求李明最终通过面试的概率.
16．为检验甲、乙两家企业生产的产品质量，现从两家企业生产的产品中分别随机抽取100件，并分析其质量指标值.经检测，甲企业生成的产品质量指标值的频数分布表如下表所示，乙企业生成的产品质量指标值的频率分布直方图如下图所示.
(1)求频率分布直方图中的值，并比较甲、乙两家企业生产的产品质量指标值的平均数大小（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）；
(2)现采用样本量比例分配的分层随机抽样，从乙企业生产的产品质量指标值在和两组中抽取5件产品，再从中随机抽取2件进行分析，求这2件产品均来自同一组的概率.
17．已知圆过圆：与圆；的交点，且圆的圆心在直线：上.
(1)求圆的方程；
(2)过圆外一点向圆引两条切线切点为、，求经过两切点的直线方程；
(3)求直线：被圆截得的弦长最小时的方程.
18．如图，正四棱柱中，，点在上且．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
19．已知函数为R上的奇函数.当时，（a，c为常数），.
(1)当时，求函数的值域；
(2)若函数的图象关于点中心对称，设函数，，
（ⅰ）求证：函数为周期函数；
（ⅱ）求的值域.
1．D
根据题意，将直线方程化为斜截式，求出直线的斜率，由斜率与倾斜角的关系，可求解．
【详解】直线，即，直线的斜率为，
则直线的倾斜角为.
故选：D.
2．A
是直角三角形,故线段的中点即为外接圆的圆心，利用中点坐标公式求解.
【详解】由题得是直角三角形，且 .
所以的外接圆的圆心就是线段的中点，
由中点坐标公式得.
故选：A
3．B
根据两直线垂直的性质，可得，求出的值，即可判断.
【详解】若，则，
解得或.
故是的充分不必要条件.
故选：B
4．D
【解析】由频率分步表求出众数、中位数和平均数，比较即可．
【详解】由图知，众数是；
中位数是第15个数与第16个数的平均值，
由图知将数据从大到小排第15 个数是5，第16个数是6，
所以中位数是；
平均数是；
∴．
故选：D．
5．C
由圆锥、圆柱的侧面积公式列方程求底面半径，再由圆锥的体积公式求体积.
【详解】设圆柱、圆锥的底面半径为，高为2，则，
所以，故圆锥的体积为.
故选：C
6．C
由函数的奇偶性、基本初等函数的性质再结合复合函数的单调性逐一判断即可.
【详解】对于A，由在上递增，在定义域上递增，故在上递增，故A不满足题意；
对于B，由在上递增，在定义域上递增，故在 上单调递增函数，故B不满足题意；
对于C，为偶函数，由幂函数的性质知在上递减，故C满足题意；
对于D，为偶函数，在上为周期函数，故D不满足题意.
故选：C.
7．C
建立空间直角坐标系，计算，，根据向量的夹角公式计算得到答案.
【详解】以A为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，
所以，，设，所成的角为，
则．
故选：C
8．B
根据题意，由余弦的和差角公式代入计算，可得，然后结合正弦定理代入计算，即可得到外接圆的半径，从而得到结果.
【详解】由，
得，所以．
又因为，结合正弦定理（其中为的外接圆的半径），
所以，解得，
则的外接圆的面积为．
故选：B
9．BD
利用周期公式可判断A；代入验证可判断BC；由正弦函数值域可判断D.
【详解】由周期公式知，A正确；
因为不是最值，所以直线不是函数的对称轴，B错误；
因为，所以是函数的零点，C正确；
由正弦函数的值域可知，的最大值为2，D错误.
故选：BD
10．ABD
根据空间向量的运算及共面定理，利用线面平行的判定定理及向量的垂直的条件即可求解.
【详解】由题意可知，如图所示

对于A，，
同理，所以，
所以,
所以四边形是平行四边形，
故E，F，G，H四点共面，故A正确；
对于B，由A知，，则，即
又平面，平面，
所以平面，故B正确；
对于C，因为为的中点，分别为的中点，
所以故C错误；
对于D，由A知，四边形是平行四边形，
因为，
所以四边形是矩形，
所以,
所以，
，即；
；即；
所以，
所以，即，故D正确.
故选：ABD.
11．ACD
利用指数函数的图象与性质结合对数运算计算即可得解.
【详解】设，，
由题意可知：，，
则有，A正确；B错误；
，C正确；
，D正确；
故选：ACD.
12．
根据古典概型的概率公式可得.
【详解】，
.
故答案为：；.
13．
设两交点坐标，由线段被平分，得到两点坐标的关系，由直线方程得到方程组，解得点坐标，由点斜式写出直线方程.
【详解】设，
∵为中点，∴，
∴，∴，
解得，
∴，即.
故答案为：
14．
求出点A关于直线的对称点B的坐标，可得的最小值.
【详解】可转化为：，则圆心为C(2,1)，半径为.
设A关于直线的对称点B的坐标为(a,b)，则：
的最小值是，
故答案为：
15．(1)
(2)
【详解】（1）由题意，样本空间为.
样本点的填写如图所示，
（2）可知李明未通过面试的概率为，
所以李明通过面试的概率为
16．(1)答案见解析
(2)0.4
（1）根据面积之和为1，求得，根据平均数的计算公式进行计算并比较大小即可得解；
（2）应在中抽取件，记这三件产品为，在中抽取件，记这两件产品为，结合古典概型概率计算公式即可求解.
【详解】（1）由题意，解得，
甲企业生产的产品质量指标值的平均数为：，
乙企业生产的产品质量指标值的平均数为：，
所以甲企业生产的产品质量指标值的平均数要比乙企业生产的产品质量指标值的平均数小；
（2）从乙企业生产的产品质量指标值在和两组中抽取5件产品，
则应在中抽取件，记这三件产品为，
在中抽取件，记这两件产品为，
则再这5件产品中随机抽取2件进行分析，
抽到的组合可能为：，共10种可能，
这2件产品均来自同一组的可能情况为：，共4种可能，
故所求为.
17．(1)
(2)
(3)
（1）由题可设圆的方程为：，求出圆心坐标，代入直线方程，即可求得圆的方程；
（2）分析可得是以为直径的圆与圆的交点，则经过两切点的直线方程即为这两个圆的公共弦方程，求出以为直径的圆的方程，与圆的方程联立即可求解；
（3）求出直线的恒过点，则当时，直线：被圆截得的弦长最小，从而即可求解.
【详解】（1）由题可设圆的方程为：，
整理得，其圆心，
因为圆心在直线上，所以，解得：，
所以圆的方程为：.
（2）由于过圆外一点向圆引两条切线切点为、，则是以为直径的圆与圆的交点，则经过两切点的直线方程即为这两个圆的公共弦方程；
由于，，所以以为直径的圆的方程为：，
整理得：，即以为直径的圆的方程为，
联立，则，
所以经过两切点的直线方程为.
（3）由直线：可得：，
令，解得，则直线过定点，
则当时，直线：被圆截得的弦长最小，
由于，所以，即，
则直线的方程为：.

18．(1)证明见解析
(2)
（1）以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，利用向量法通过证明从而证明；
（2）求出平面的一个法向量和，再利用向量法即可求直线与平面所成角的正弦值.
【详解】（1）如图，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
则，，
所以，
所以，即.
（2）由可得，
，，
设平面的法向量为，
则，取，解得，，
则，
又，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
19．(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）.
（1）先根据奇函数的性质和题设条件求出当时，的解析式，再由二次函数的性质求出当时，函数的值域，进而利用奇函数的对称性求出函数在时的值域，最后利用复合函数的单调性即可求出的值域.
（2）（ⅰ）由函数的奇偶性和关于点中心对称的特征，可推得，结合和函数的周期性定义即可证明；（ⅱ）根据函数在时的解析式求得解析式，进而求得值域；利用函数的奇偶性求得在时的解析式，进而求出解析式及值域，最后利用函数的周期性，即可求得其在R上的值域.
【详解】（1）因函数为R上的奇函数，则，
当时，，，可得，解得，
，，
故当时，，
则当时，函数为单调增函数，则，
即，又是增函数，故；
因是奇函数，故当时，函数为单调增函数，
则，故.
综上，当时，函数的值域为.
（2）（ⅰ）因函数为R上的奇函数，则，
又函数的图象关于点中心对称，则，
故得，
由可得，
即2是函数的一个周期，故函数为周期函数；
（ⅱ）由（1）已得当时，，
此时，
当时，，则，
是奇函数，故，
此时，
因为2是函数的一个周期，故当时，；
当时，，得分
3
4
5
6
7
8
9
10
频数
2
3
10
6
3
2
2
2
质量指标值
频数
20
30
30
10
10