精品解析：四川省资阳市安岳县2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷+答案

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（本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，全卷满分150分，考试时间120分钟．）
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分．请在每小题给出的4个选项中，将唯一正确的答案序号填在题后括号里．）
1. 9的平方根是（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平方根“一个正数有两个平方根，它们互为相反数，记作”，熟练掌握平方根的性质是解题关键．根据即可得．
【详解】解：∵，
∴9的平方根是，
故选：A．
2. 下列各数中，无理数是（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了无理数“无限不循环小数是无理数”、算术平方根，熟练掌握无理数的定义是解题关键．根据无理数的定义、算术平方根的性质逐项判断即可得．
【详解】解：A、0是有理数，则此项不符合题意；
B、是有理数，则此项不符合题意；
C、是无理数，则此项符合题意；
D、，是有理数，则此项不符合题意；
故选：C．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法、除法运算，合并同类项及积的乘方，熟练掌握各个运算法则是解题的关键．
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加即可判断A选项；根据同底数幂相除，底数不变，指数相减即可判断B选项；根据合并同类项法则即可判断C选项；根据积的乘方，把积的每一项分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断D选项．
【详解】解：A.，该选项错误，不符合题意；
B.，该选项错误，不符合题意；
C.，该选项错误，不符合题意；
D.，该选项正确，符合题意；
故选：D．
4. 2024年8—12月，安岳某品牌手机的销售额如图所示，则相邻两个月销售额变化最大的是（ ）
A. 11—12月B. 10—11月C. 9—10月D. 8—9月
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查折线统计图运用，折线统计图表示的是事物的变化情况，根据图中信息求出相邻两个月的手机销售额变化量是解题的关键．根据折线图的数据，分别求出相邻两个月的手机销售额的变化值，比较即可得解．
【详解】解：8月至9月，万元；
9月至10月，万元；
10月至11月，万元；
11月至12月，万元，
∵，
∴相邻两个月中，销售额变化最大的是10月至11月．
故选：B．
5. 已知，则的值为（ ）
A. 1B. C. 5D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式、偶次方和算术平方根的非负性等知识，熟练掌握完全平方公式是解题关键．先根据完全平方公式可得，再根据偶次方和算术平方根的非负性可得，，从而可得，然后代入计算即可得．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故选：B．
6. 如图是一个长方体，其中棱，，，点是的中点．一只蚂蚁从点出发，沿长方体的表面按如图所示的路径到点处觅食，那么它爬行的最短路程为（ ）
A. B. C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用-最短距离问题，根据题意画出展开图是解题的关键．先根据题意画出平面展开图，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：将蚂蚁爬行的两个面展开，如图所示：
则，
∵，，，点是的中点，
∴，
∴，
∴它爬行的最短路程为，
故选：A．
7. 如图，在中，，分别以点，点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于，两点，作直线交于点，连接．若平分，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．由题意可得：直线垂直平分线段，得到，推出，结合平分，可得，最后结合，根据三角形的内角和定理即可求解．
【详解】解：由题意可得：直线垂直平分线段，
，
，
平分，
，
，
，
，
故选：D．
8. 如图是由个边长为的正方形拼成的图形，现将其按甲、乙两种方式沿虚线剪开，再各自分别拼接，若需拼接一个面积为的大正方形，则这两种剪法中（ ）
A. 只有甲行B. 只有乙行C. 甲、乙都行D. 甲、乙都不行
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了图形的剪拼以及勾股定理的应用，直接利用图形的剪拼方法结合勾股定理分析得出答案．
【详解】解：如图所示：
可得甲、乙都可以拼一个面积是的大正方形，
故选：C．
9. 若一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，则称这个正整数为“扬帆数”．则下列各数中是“扬帆数”的是（ ）
A. 224B. 220C. 198D. 154
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了新定义，整式的混合运算，以及一元一次方程的应用，解题的关键是表示出这两个数的平方差．
设两个连续偶数为和（k为正整数），表示出这两个数的平方差，然后逐项验证即可．
【详解】解：设两个连续偶数为和（k为正整数），
∴，
若，解得，
∵k为正整数，
∴A选项不合题意；
若，解得，
∵k为正整数，
∴B选项符合题意；
若，解得，
∵k为正整数，
∴C选项不合题意；
若，解得，
∵k为正整数，
∴D选项不合题意；
故选：B．
10. 如图，在中，，直线过的中点，过点作于点，过点作于点．若，，则的最大值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练知识点并添加适当的辅助线是解题的关键．过点B作，垂足为F，构造并证明，可得，当取最大值时，直线，即的最大值为，由勾股定理求出的长即可．
【详解】解：过点B作，垂足为F，
又∵，
∴，
∵，，，
∴，
∵直线过的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
当取最大值时，直线，如图，
此时，，
∴的最大值为5，
故选：C．
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分．请把答案直接填在题中的横线上．）
11. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据同底数幂乘法的逆用将改写成，再根据积的乘方的逆用计算即可得．
【详解】解：
，
故答案为：．
12. 初二一班有55名学生，其中已经学会炒菜的学生的频率是0.4，则该班会炒菜的学生有______人．
【答案】22
【解析】
【分析】本题主要考查了求频数，直接用班级人数乘以学会炒菜的学生频率即可得到答案．
【详解】解：由题意得，该班会炒菜的学生有（人），
故答案为：22．
13. 如图，点在同一直线上，且，．要使，则还需添加一个条件为______．（只填一个即可）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握各个判定定理是解题的关键．添加的条件为，再根据平行的性质得出，进而根据边角边证明全等即可．
【详解】解：添加的条件为：，证明如下：
∵，
∴，即，
∵，
∴,
又∵，
∴，
故答案为：．
14. 若，则的值为______．
【答案】81
【解析】
【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据已知等式可得，再根据幂的乘方、同底数幂的除法法则计算即可得．
【详解】解：由得：，
则
，
故答案为：81．
15. 如图，四边形，均为正方形，且，设大正方形的面积为，小正方形的面积为．若图中空白部分的面积为36，，则______．
【答案】84
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式及其变形，平方差公式的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，根据空白部分面积求出，再根据得出，然后根据完全平方公式的变形得出，最后根据平方差公式求解即可．
【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，
则空白部分的面积为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：84．
16. 如图，是平角内一射线，点是上一定点，点是直线上一动点，若是等腰三角形，则满足条件的点的个数为______．
【答案】4或2##2或4
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形定义，熟练掌握知识点并能够分类讨论是解题的关键．分与垂直和不垂直两种情况，再根据等腰三角形的定义画图求解即可．
【详解】解：当时，
若是等腰三角形，只有1种情况，如图：
此时，满足题意；
当与不垂直时，
若是等腰三角形，则有3种情况讨论如下：
当时，如图，以点O为圆心，以长为半径作圆，交直线于点，则满足题意；
当时，如图，以点A为圆心，以长为半径作圆，交直线于点，则满足题意；
当时，如图，作线段的垂直平分线，交直线于点，则满足题意；
综上，共有4个点或2个点，
故答案为：4或2．
三、解答题（本大题共8个小题，共86分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）
17. （1）计算：
（2）因式分解：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根与立方根、因式分解等知识，熟练掌握算术平方根与立方根和因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．
（1）先计算算术平方根、立方根、乘方，再计算除法，然后计算加减法即可得；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可得．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
18. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】12
【解析】
【分析】此题考查了整式的混合运算、化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【详解】
当，时，
原式．
19. 我县某校为了了解初二学生的体能水平，体育老师从刚结束的“男生1000米”，“女生800米”体能测试成绩中随机抽取了部分学生的成绩，将其分为A（优秀）；B（良好）：C（合格）；D（不合格）四个等级，并绘制了如图所示的不完整的统计图．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次共抽取了多少名学生的成绩？并补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中“D”等级部分的圆心角的度数；
（3）若该校初二共有学生1200人，请估计此次体能测试中达到“A”等级的学生人数．
【答案】（1）300名，见解析
（2）
（3）360人
【解析】
【分析】本题考查了由样本估计总体，条形统计图与扇形统计图，求圆心角度数等，熟练掌握知识点是解题关键．
（1）用C的人数除以其所占百分比即可求出总人数，再用总人数分别减去A、C、D的人数得出B的人数，再补全条形统计图即可；
（2）用D的百分比乘以360度即可；
（3）用1200乘以A所占百分比即可求解．
【小问1详解】
解：（名），
即本次共抽取300名学生；
（名），
补全条形统计图如下：
【小问2详解】
解：，
即其圆心角度数为；
【小问3详解】
解：（人），
即估计有360人．
20. 已知的算术平方根是2，的立方根是．
（1）求的平方根；
（2）若代数式中不含项和项，且，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根与平方根、立方根、多项式乘以多项式等知识，熟练掌握平方根与立方根的性质是解题关键．
（1）先根据算术平方根和立方根可求出的值，再根据平方根的性质求解即可得；
（2）先将，代入计算多项式乘以多项式，再根据不含项和项可得含项和项的系数等于0，据此求出的值，代入计算即可得．
【小问1详解】
解：∵的算术平方根是2，
∴，
∴，
∵的立方根是，
∴，即，
∴，
∴，
∴的平方根为．
小问2详解】
解：由（1）已得：，，
∴
，
∵代数式中不含项和项，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
21. 如图，在中，，点分别在边上，连结，且，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）2
【解析】
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．
（1）先证出，再根据定理即可得证；
（2）先根据全等三角形的性质可得，，再根据等腰三角形的判定可得，最后根据线段的和差求解即可得．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴．
【小问2详解】
解：由（1）已证：，
∴，，
∵在中，，
∴，
∴．
22. 荡秋千，是童年的甜蜜记忆！如图是某小区的一架秋千，当秋千静止时，底端到水平地面的距离，在秋千的后方有一斜拉线（点在地面上），测得，．
（1）求秋千的长；
（2）当秋千摆动到达处时，求秋千底端移动的距离的长．（注：）
【答案】（1）
（2）约
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用、等腰三角形的判定、二次根式的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．
（1）先利用勾股定理可得，再根据求解即可得；
（2）过点作于点，先根据等腰三角形的判定可得，利用勾股定理可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得．
【小问1详解】
解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
答：秋千的长为．
【小问2详解】
解：如图，过点作于点，
由题意得：，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
答：秋千底端移动的距离的长约为．
23. 约定：将关于的多项式表示为，当时，该多项式的值表示为．例如：当时，．同理，关于的多项式可表示为．
发现：当多项式除以时，所得的余数就等于．例如：当时，除以所得的余数为．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）已知多项式，求的值和除以时所得的余数；
（2）已知多项式，若除以时所得的余数为10，除以时所得的余数为4，求的值；
（3）已知多项式，求除以时所得的余数．
【答案】（1），除以时所得的余数为7
（2）2 （3）18
【解析】
【分析】本题考查了多项式求值、三元一次方程组，熟练掌握多项式的求值是解题关键．
（1）将和代入计算即可得；
（2）将和代入可得①，②，再计算①②即可得；
（3）令，则除以时所得的余数相当于除以时所得的余数，将代入计算即可得．
【小问1详解】
解：由题意得：，
除以时所得的余数为．
【小问2详解】
解：∵多项式，且除以时所得的余数为10，除以时所得的余数为4，
∴①，②，
由①②得：，
整理得：．
【小问3详解】
解：令，
∵，
∴，
∴除以时所得的余数相当于除以时所得的余数，即为，
即除以时所得的余数为18．
24. 已知，，，点是内部的一点，且，于点．
（1）如图1，求证：，；
（2）如图2，延长到点，使，连结交于点．若，，求的长；
（3）如图3，延长到点，使，连结．过点作交于点，过点作交的延长线于点，连结．试判断线段的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3），理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，较难的是题（3），通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
（1）先根据垂直的定义可得，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质即可得证；
（2）先求出，再证出，根据全等三角形的性质可得，，然后在中，利用勾股定理可得的长，由此即可得；
（3）作，且，连接，，先证出，根据全等三角形的性质可得，，再证出，根据全等三角形的性质可得，，从而可得，则点在同一条直线上，最后根据线段的和差、等量代换即可得．
【小问1详解】
证明：∵，
∴
∴
∵
∴
∴
在和中，
∴
∴，
【小问2详解】
解：由（1）已证：，
∵，，
∴，，
∴
∵，
∴
在和中，
∴
∴，
在中，
∴
【小问3详解】
解：，理由如下：
如图，作，且，连接，
设
∵，
∴
在和中，
∴
∴，
∵，
∴
∴，
∵
∴
∴
∵，
∴
在和中，
∴
∴，
∴
∴点在同一条直线上
∴
∴．