四川省南充市2025_2026学年高二数学上学期第二次考试10月试题含解析

这是一份四川省南充市2025_2026学年高二数学上学期第二次考试10月试题含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．
1. 2020 年 3 月疫情期间，某市质检部门为了检查某批 个）口罩的质量，决定抽查其中的 ．在这个
问题中下列说法正确的个数是（ ）
①总体是指这 1000 个口罩； ②个体是每个口罩；
③样本是按 的比例抽取的 20 个口罩；④样本容量为 20
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的概念判断.
【详解】总体是研究对象的全体.这里是“1000 个口罩的质量”，而非“1000 个口罩”，所以①错误；
个体是总体中的单个单位.即“每个口罩的质量”，而非“每个口罩”，所以②错误；
样本是从总体中抽取的部分个体，即“按 2%比例抽取的 20 个口罩的质量”，而非“20 个口罩”，所以③
错误；
样本容量是样本中个体的数量，抽取了 1000×2%=20，所以样本容量为 20，④正确.
故选：A.
2. 袋内装有大小、形状完全相同的 3 个白球和 2 个黑球，从中不放回地摸球，设事件 A=“第一次摸到白球”，
事件 B=“第二次摸到白球”，事件 C=“第一次摸到黑球”，则下列说法中正确的是（ ）
A. A 与 B 是互斥事件 B. A 与 B 不是相互独立事件
C. B 与 C 是对立事件 D. A 与 C 是相互独立事件
【答案】B
【解析】
【分析】根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义判断即可.
【详解】根据题意可知，事件 和事件 可以同时发生，不是互斥事件，故 A 错；
不放回摸球，第一次摸球对第二次摸球有影响，所以事件 和事件 不相互独立，故 B 正确；
事件 的对立事件为“第二次摸到黑球”，故 C 错；
事件 与事件 为对立事件，故 D 错.
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故选：B.
3. 已知某班共有学生 46 人，该班语文老师为了了解学生每天阅读课外书籍的时长情况，决定利用随机数表
法从全班学生中抽取 10 人进行调查．将 46 名学生按 01，02，…，46 进行编号．现提供随机数表的第 7 行
至第 9 行：
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 56 57 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
若从表中第 7 行第 41 列开始向右依次读取 2 个数据，每行结束后，下一行依然向右读数，则得到的第 8 个
样本编号是（ ）
A. 07 B. 12 C. 39 D. 44
【答案】D
【解析】
【分析】根据读数要求，利用随机数依次读数即可得出结果.
【详解】由题意可知得到的样本编号依次为 12，06，01，16，19，10，07，44，39，38，则得到的第 8 个
样本编号是 44．
故选：D.
4. 下列说法正确的是（ ）
①已知 ， ，那么事件“ ”有可能不发生；
②随机试验的频率与概率相等；
③如果一个事件发生的概率为 ，那么说明此事件必然发生；
④只有不确定事件有概率；
⑤若事件 发生的概率为 ，则 ．
A. ⑤ B. ③⑤ C. ③④⑤ D. ②③④⑤
【答案】A
【解析】
【分析】根据必然事件、可能事件、概率的概念进行判断即可.
【详解】对于①：
因为 ，所以事件“ ”必然发生，所以①错误；
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对于②：
频率是随机试验中事件发生的次数与试验总次数的比值，概率是事件发生的可能性的稳定值，频率会随着
试验次数的变化而变化，只有当试验次数很大时，频率才会接近概率，二者不相等，所以②错误；
对于③：
概率为 的事件不是必然事件，必然事件的概率是 ，所以③错误；
对于④：
确定事件（必然事件和不可能事件）也有概率，必然事件概率 1，不可能事件概率为 0，所以④错误；
对于⑤：
任何事件发生的概率都满足 ，所以⑤正确.
故选：A.
5. 在四面体 中，点 在 上，且 ， 为 中点，则 等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用空间向量的线性运算可得出 关于 、 、 的表达式.
【详解】连接 ，如下图所示：
因为 为 的中点，则 ，
因为点 在 上，且 ，则 ，
因为 ，
故选：B
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6. 已知随机事件 和 互斥,且 , ,则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】因为 和 互斥,由 求出 ,再由
即可得到答案.
【详解】因为 和 互斥,
所以 ,
又 ,
所以 ,
因为 ,
所以 .
故选:B.
7. 为庆祝我国第 39 个教师节，某校举办教师联谊会，甲､乙两名数学老师组成“几何队”参加“成语猜猜猜”
比赛，每轮比赛由甲､乙两人各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为 ，乙每轮猜对的概率为 .在每轮
比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，则“几何队”在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用事件的相互独立性求解.法一，所求事件转化为互斥事件的和事件，利用概率加法公式求解即
可；法二，利用对立事件的概率和为 ，间接法可得.
【详解】设事件 “甲猜对”， “乙猜对”， “几何队至少猜对一个成语”，
所以 ，则 .
由题意知，事件 相互独立，则 与 ， 与 ， 与 也相互独立，
法一： ，且 两两互互斥，
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则
.
法二：事件 的对立事件 “几何队一个成语也没有猜对”，即 ，
则 .
故选：B.
8. 已知 ，若 三个向量不能构成空间的一个基底，则实数λ的
值为（ ）
A. 0 B. 5 C. 9 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，得到存在实数 使得 ，列出方程组，即可求解.
【详解】由向量 ，
若向量 不能构成空间的一个基底，则 为共面向量，
所以存在实数 使得 ，
即 ，
可得 ，解得 .
故选：D.
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．
9. 为了庆祝国庆节我校组织三个年级的学生进行党史知识竞赛．经统计，得到前 200 名学生分布的扇形图
（如图）和前 200 名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题正确的是（ ）
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A. 成绩前 200 名的学生中，高一人数比高二人数多 30 人
B. 成绩前 100 名的学生中，高一人数不超过 50 人
C. 成绩前 50 名的学生中，高三人数不超过 32 人
D. 成绩第 51 名到第 100 名的学生中，高二人数比高一人数多
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据扇形图和条形图，数据分析，对四个选项一一判断，得到答案.
【详解】A 选项，由扇形图可知，成绩前 200 名的学生中，高一人数比高二人数多
人，A 正确；
B 选项，由条形图可知，高一学生 前 200 名总，前 100 名和后 100 名学生人数相同，
故成绩前 100 名的学生中，高一人数为 ，B 正确；
C 选项，成绩前 50 名的学生中，高一人数为 ，
故高三人数不超过 人，C 正确；
D 选项，成绩第 51 名到第 100 名的学生中，高一人数为 ，
故高二最多有 人，因此高二人数比高一少，D 错误
故选：ABC
10. 设 ， ， 是空间一个基底，则（ ）
A. 若 ， ，则
B. 则 ， ， 两两共面，但 ， ， 不可能共面
C. 对空间任一向量 ，总存在有序实数组 ，使
D. 则 ， ， 一定能构成空间的一个基底
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【答案】BCD
【解析】
【分析】根据构成空间基底向量的特征逐一判断选项正误即可
【详解】由 ， ， 是空间一个基底，知：
在 A 中，若 ， ，则 与 不平行，但夹角不一定为 90°，故 A 错误；
在 B 中， ， ， 两两共面，因为三个向量是基底，必须是不共面的向量，
所以 ， ， 不可能共面，故 B 正确；
在 C 中，对空间任一向量 ，总存在有序实数组 ，使 ，故 C 正确；
在 D 中，假设 ， ， 共面，设 ，
化简得： ，即： ，所以 ， ， 共面与已知矛盾.
∴ ， ， 一定能构成空间 一个基底，故 D 正确.
故选：BCD.
11. （多选）若长方体 的底面是边长为 2 的正方形，高为 4， 是 的中点，则（
）
A.
B. 平面 平面
C. 三棱锥 的体积为
D. 三棱锥 的外接球的表面积为
【答案】CD
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【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法判断 AB，利用等体积法求体积判断 C，再由三棱锥外接球即为
长方体外接球求出半径判断 D.
【详解】长方体 的底面是边长为 2 的正方形，高为 4， 是 的中点，
在 A 中，以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
， ，
∵ ，∴ 与 不垂直，故 A 错误；
在 B 中， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ，
设平面 的法向量 ，
则 ，取 ，得 ，
设平面 的法向量 ，
则 ，取 ，得 ，
∵ ， 不共线，∴平面 与平面 相交，故 B 错误；
在 C 中，三棱锥 的体积为：
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，故 C 正确；
在 D 中，三棱锥 的外接球就是长方体 的外接球，
∴三棱锥 的外接球半径 ，
∴三棱锥 的外接球的表面积为 ，故 D 正确.
故选：CD.
二、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为 40%，现部门通过设计模拟实验的方法研究三天
中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数，用 1，2，3，4 表示下雨，其余
6 个数字表示不下雨：产生了 20 组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
则这三天中恰有两天降雨的概率约为__________．
【答案】
【解析】
【详解】分析：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下 20 组随机数，在 20 组
随机数中表示三天中恰有两天下雨的共有 5 组随机数，根据概率计算公式，得到结果.
详解：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下 20 组随机数，
在 20 组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191、271、932、812、393，共有 5 组随机数，
,所求概率为 .
故答案为 .
点睛：本题考查模拟方法估计概率，解题主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用.
13. 若 , , ,则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】先求出向量的和,再利用数量积的坐标形式可求数量积.
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【详解】 ,
故 ,
所以 .
故答案为: .
14. 如图，棱长为 3 的正方体的顶点 在平面 上，三条棱 都在平面 的同侧，若顶点
到平面 的距离分别为 ， ，则顶点 到平面 的距离是______.
【答案】
【解析】
【分析】求点到平面的距离，建立空间直角坐标系，由顶点 到平面 的距离分别为 ， ，利用
空间点到平面距离公式，求出平面 的法向量，即可求出结论.
【详解】如图，以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则 ，
所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则点 到平面 距离为 ，①
点 到平面 距离为 ，②
由①②可得 ，
所以 到平面 的距离为 .
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故答案为: .
【点睛】本题考查点到平面的距离，利用空间直角坐标系解题时，正确建立空间坐标系是关键，属于较难
题.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （1）已知 ， ．
①当 时，求实数 的值；②当 时，求实数 的值．
（2）已知 ， ，求 的最小值
【答案】（1）① ，② ；（2） .
【解析】
【分析】（1）①先计算出 ，再根据平行得到方程，求出 ；②根据垂直得到方程，求出
；
（2）利用模长公式得到 ，利用单调性求出最小值.
【详解】（1）① ，
，
，设 ，
故 ，
所以 ，解得 ，故 ；
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②
，
解得 ；
（2）已知 ，
所以 ，
故当 时， 取得最小值，最小值为 .
16. 某校对 名高一学生的某次数学测试成绩进行统计，分成 ， ， ， ，
五组，得到如图所示频率分布直方图．
（1）求图中 的值；
（2）估计该校学生数学成绩的平均数；
（3）估计该校学生数学成绩的第 百分位数．
【答案】（1） ；（2） 分；（3） 分．
【解析】
【分析】（1）利用各组频率和为 1，列方程可求出 的值；
（2）直接计算平均数即可；
（3）由于 50 到 80 的频率和为 ，50 到 90 的频率和为 ，从而可知第 百分位数在 80 到 90 之间，
从而可计算得到
【详解】解：（1）由于组距为 10，所以有 ，
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从而 ．
（2）平均数 分．
（3）因为 50 到 80 的频率和为 ，50 到 90 的频率和为 ，
所以第 75 百分位数为
分．
17. 2019 年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息
或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有 人，现采用分层
抽样的方法，从该单位上述员工中抽取 人调查专项附加扣除的享受情况.
（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
（Ⅱ）抽取的 25 人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有 6 人，分别记为 .享受情况如
下表，其中“ ”表示享受，“×”表示不享受.现从这 6 人中随机抽取 2 人接受采访.
员工
A B C D E F 项目
子女教育 ○ ○ × ○ × ○
继续教育 × × ○ × ○ ○
大病医疗 × × × ○ × ×
住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○
住房租金 × × ○ × × ×
赡养老人 ○ ○ × × × ○
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设 为事件“抽取的 2 人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件 发生的概率.
【答案】（I）6 人，9 人，10 人；
（II）（i）见解析；（ii） .
【解析】
【分析】（I）根据题中所给的老、中、青员工人数，求得人数比，利用分层抽样要求每个个体被抽到的概率
是相等的，结合样本容量求得结果；
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（II）（I）根据 6 人中随机抽取 2 人，将所有的结果一一列出；
（ii）根据题意，找出满足条件的基本事件，利用公式求得概率.
【详解】（I）由已知，老、中、青员工人数之比为 ，
由于采取分层抽样的方法从中抽取 25 位员工，
因此应从老、中、青员工中分别抽取 6 人，9 人，10 人.
（II）（i）从已知的 6 人中随机抽取 2 人的所有可能结果为
, , ,
,共 15 种；
（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为 , ,
, ,共 11 种，
所以，事件 M 发生的概率 .
【点睛】本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型即其概率计算公
式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.
18. 如图，已知三棱柱 ，平面 平面 , ，
分别是 的中点.
（1）证明： ；
（2）求直线 与平面 所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
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【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义即可证得线线垂直；
(2)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后结合线面角的正弦值和同角三角
函数基本关系可得线面角的余弦值.
【详解】(1)如图所示，连结 ，
等边 中， ，则 ，
平面 ABC⊥平面 ，且平面 ABC∩平面 ，
由面面垂直的性质定理可得： 平面 ，故 ，
由三棱柱的性质可知 ，而 ，故 ，且 ，
由线面垂直的判定定理可得： 平面 ，
结合 ⊆平面 ，故 .
(2)在底面 ABC 内作 EH⊥AC，以点 E 为坐标原点，EH,EC, 方向分别为 x,y,z 轴正方向建立空间直角坐标
系 .
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设 ，则 ， , ，
据此可得： ，
由 可得点 的坐标为 ，
利用中点坐标公式可得： ，由于 ，
故直线 EF 的方向向量为：
设平面 的法向量为 ，则：
，
据此可得平面 的一个法向量为 ，
此时 ，
设直线 EF 与平面 所成角为 ，则 .
【点睛】本题考查了立体几何中的线线垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和
逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严
密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向
量的夹角公式求解.
19. 如图，已知梯形 中， ， ， ，四边形 为矩
形， ，平面 平面 ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成二面角的正弦值；
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（3）若点 在线段 上，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求线段 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3）
【解析】
【分析】（1）由四边形 为矩形，可得 ，由面面垂直的性质可得 平面 ．取
为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量
，证明 ，再由线面平行的判定可得 平面 ；
（2）求出平面 的法向量 ，求出 ，可得 ，则平面 与平
面 所成二面角的正弦值可求；
（3）点 在线段 上，设 ， ， ，可得 ， ， ，由直线
与平面 所成角的正弦值列式求得 ，得到 ， ， ，则 的长可求．
【详解】（1）证明： 四边形 为矩形， ，
又平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ．
取 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，
如图，则 ，0， ， ，2， ， ，2， ， ，0， ， ，2， ，
设平面 的法向量 ，
， ，
由 ，取 ，得 ，
又 ， ，则 ，
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又 平面 ， 平面 ；
（2）解：设平面 的法向量 ，
， ，
由 ，取 ，可得 ，
，
，
即平面 与平面 所成二面角的正弦值为 ；
（3）解： 点 在线段 上，设 ， ， ，
，0， ，2， ， ， ，
又 平面 的法向量 ，设直线 与平面 所成角为 ，
，
，即 ，
， ， ．
， ， ，则 ，
的长为 ．
【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间
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角，是中档题．
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