四川省绵阳市2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试卷+解析

这是一份四川省绵阳市2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试卷+解析，共17页。试卷主要包含了考试结束后将答题卡收回， 函数的大致图象为， 设函数则等内容，欢迎下载使用。
数学
本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）
组成，共4页；答题卡共6页.满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的学校､班级､姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“准考证号”栏目内.
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试题卷上答题无效.
3.考试结束后将答题卡收回.
第I卷（选择题，共58分）
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解法，结合交集的定义进行求解即可.
【详解】因为，
所以，
故选：D
2. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】通过举反例可判断A、B、D是假命题；利用作差法比较大小可判断C正确.
【详解】对于A，当时，不成立，故A是假命题；
对于B，当时，不成立，故B是假命题；
对于C，因为，则，所以，故C是真命题；
对于D，当时，不成立，故D是假命题；
故选：D
3. 设有意义，，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式的性质，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.
【详解】由有意义，可得，此时显然成立，
若，显然成立，但是没有意义，
故选：A
4. 下列函数，满足“对任意，且，都有”的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，即函数在上单调递减，逐个选项判断即可.
【详解】由对任意的，且，都有，
即函数在上单调递减.
对于A，，而函数在上单调递增，故A错误；
对于B，由余弦函数在上单调递减，所以在上单调递减，故B正确；
对于C，在上单调递增，故C错误；
对于D，在R上单调递增，故D错误.
故选：B.
5. 函数的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求函数的定义域，排除BD，再判断奇偶性，排除C，最后得出答案.
【详解】因为，所以，
所以函数的定义域，排除B,D,
定义域关于原点对称，因为，
所以函数是偶函数，排除C，
所以函数的图象大致为A.
故选：A
6. 设函数则（ ）
A. B. 1C. D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】根据特殊角的余弦值和诱导公式，结合代入法进行求解即可.
【详解】，
故选：D
7. 将甲桶中的溶液缓慢注入空桶乙中，经过后甲桶中剩余的溶液量符合指数衰减曲线.假设经过甲桶和乙桶中的溶液量一样，则乙桶中的溶液达到共需要注入的时间约为（ ）（参考数据：）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，利用代入法求出的值，再根据所求问题列出方程，通过对数的运算法则和换底公式进行求解即可.
【详解】因为经过甲桶和乙桶中的溶液量一样，
所以，即
设乙桶中的溶液达到共需要注入的时间为，
则有
，
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用对数的运算性质和换底公式.
8. 已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令，则转化为，函数有三个不同的零点，转化为有两个根，一个根在另一根在，根据二次方程根的分布即可求解.
【详解】令，则，由函数有三个不同的零点，
转化为有两个零点，一个零点或另一个零点，则，
则一元二次方程两根为，即的一个根在另一根在，
令，则有，
即实数的取值范围为，
故选：B.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若，函数的值域是，且，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. 若，则D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据二次函数的值域性质，结合基本不等式逐一判断即可.
【详解】当时，，显然此时函数的值域不是，不符合题意；
当时，，对称轴为，
因为二次函数的值域是，且，
所以有，因此选项AB正确，
若且，所以由二次函数的对称性可得，
因此选项C不正确；
由，因为，当且仅当时取等号，
所以选项D正确，
故选：ABD
10. 若函数是定义在上的奇函数，，当时，，则（ ）
A.
B. 函数图象关于直线对称
C. 函数图象关于点中心对称
D. 当时，
【答案】AC
【解析】
【分析】根据奇函数的性质得到且，即可判断A，由可得的对称轴，即可判断B，再推导出，即可判断C，最后根据奇偶性求出函数在时的解析式，即可判断D .
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以且，
又，所以，故A正确；
因为，所以关于对称，故B错误；
由，，
所以，即，所以，
则，即，
所以函数的图象关于点中心对称，故C正确；
因为当时，，
设，则，所以，
当时也成立，
所以当时，，故D错误.
故选：AC.
11. 已知函数（e为自然对数的底数），则（ ）
A. 函数的定义域为B. 函数是增函数
C. 函数是奇函数D. 若，则
【答案】AB
【解析】
【分析】根据对数的定义，结合奇函数的定义、函数单调性的性质逐一判断即可.
【详解】由，因此选项A正确；
，
当时，函数，单调递增，
所以也单调递增，因此选项B正确；
因为，所以函数是不是奇函数，选项C不正确；
由上可得，因为函数是增函数，
所以有且，因此选项D不正确，
故选：AB
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用函数单调性的性质进行求解.
第II卷（非选择题，共92分）
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填写在答题卡的横线上.
12. 函数的定义域为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由函数定义域的概念列出不等式求解即可；
【详解】由题意可得：，
解得：且，
所以函数的定义域为，
故答案为：
13. 某扇形的圆心角为2弧度，半径为，则该扇形的面积为___________
【答案】16
【解析】
【分析】利用扇形的面积S，即可求得结论．
【详解】∵扇形的半径为4cm，圆心角为2弧度，
∴扇形的面积S16cm2，
故答案为：16.
14. 已知函数，当时，，且函数在上的最大值与最小值之差为2，则的值为__________.
【答案】8
【解析】
【分析】根据对数型函数的图象，结合函数的单调性进行求解即可.
【详解】函数的图象如下图所示：
当时，，因此有，
由，
于是当，即当时，因为，
所以，由函数图象可知，
，，
因为，
所以，所以，
因为函数在上的最大值与最小值之差为2，
所以，
因此，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用数形结合思想得到，再根据函数的单调性进行求解.
四､解答题：共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点.
（1）求；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据任意角三角函数定义分别法求解即可；
（2）先应用诱导公式化简，再代入三角函数值计算求解.
【15题详解】
角的终边经过点，
.
.
【16题详解】
16. 已知关于的不等式的解集为.
（1）求的值；
（2）若函数，当时，求函数的最小值（用表示）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由不等式的解集为，得是方程的两根，根据根与系数的关系即可得解；
（2）函数的图象的对称轴为，根据对称轴分布的情况分类讨论，即可求出函数的最小值.
【小问1详解】
关于的不等式的解集为，
是方程的两根.
由根与系数的关系，得，解得，
.
【小问2详解】
由（1）知，所以函数图象的对称轴为，
当时，函数在上递减，
则；
当时，函数在上递减，在上递增，
；
当时，函数在上递增，
.
综上，.
17. 某工厂生产两种产品，产品的利润（单位：万元）与投入金额（单位：万元）的关系式为产品的利润（单位：万元）与投入金额（单位：万元）的关系式为.已知投入3万元生产产品可获利润为7万元，投入32万元生产产品可获利润为65万元.
（1）求实数的值；
（2）该企业现有47万元资金全部投入两种产品中，探究：怎样分配资金，才能使企业获得最大利润？并求出最大利润.
【答案】（1），
（2）A生产线投资15万元，B生产线投资32万元时，企业获得利润最大，利润的最大值为97万元.
【解析】
【分析】（1）运用代入法，结合对数的运算性质进行求解即可；
（2）根据（1）的结论，结合对数的性质、对数型函数的单调性、基本不等式进行求解即可.
小问1详解】
，
，
解得.
，
，
解得.
【小问2详解】
设A生产线投入万元，则B生产线投入万元，企业获得利润为.
由（1），得，
，
，
整理，得，
变形得，，
即.
，当且仅当时等号成立.
.
，
当且仅当时等号成立.
当A生产线投资15万元，B生产线投资32万元时，企业获得利润最大，利润的最大值为97万元.
18. 函数的最小正周期为，且.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在上的单调递减区间；
（3）若函数在有三个不同的零点从小到大依次为，求实数的取值范围及的值.
【答案】（1）
（2）
（3），
【解析】
【分析】（1）由题意函数的最小正周期为即可求出，由即可求出；
（2）由求出，令由函数的单调递减区间即可求解；
（3）函数的零点得，得或，分类讨论即可得解.
【小问1详解】
函数的最小正周期为，
.
，
，
.又，
.
.
【小问2详解】
令，则.
函数的单调递减区间是，
，
解得.
函数在上的单调递减区间是.
【小问3详解】
，
或
或，
，
由，
有两个不同的解，，
，
此时，
，
.
19. 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼兹等得出了“悬链线”的一般方程，最特别的悬链线是双曲余弦函数.类似的有双曲正弦函数，我们也可以定义双曲正切函数.已知函数和具有如下性质：①定义域都为，且是增函数；②是奇函数，是偶函数；③.（常数e是自然对数的底数，）
（1）求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式；
（2）求证：；
（3）函数在区间上的值域是，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】(1)根据，函数为上的奇函数，为上的偶函数得联立方程组即可求解；
（2）由（1）得函数和的解析式代入即可得证；
（3）由（1）知，函数为上的单调增函数， 函数在区间上的值域是，得关于的方程有两个互异实根，令，方程有两个互异正根，根据一元二次方程根的分布即可求解.
【小问1详解】
函数为上的奇函数，为上的偶函数，且，
即
解得.
函数均为上的增函数，
函数为上的增函数，合乎题意.
【小问2详解】
.
【小问3详解】
，
.
又，则.
由（1）知，函数为上的单调增函数.
函数在区间上的值域是，
即
关于的方程有两个互异实根.
令方程有两个互异正根.
解得.
【点睛】方法点睛：函数新定义问题，解题方法是抓住新定义，把新定义转化为已知函数的表达式，需要用换元法等进行化简转化，如本题转化为一元二次方程，根据一元二次方程根的分布求解．