上海市民办迅行中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题-自定义类型

这是一份上海市民办迅行中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题-自定义类型，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如果，且b是a、c的比例中项，那么等于（ ）
A. B. C. D.
2.已知中，，，，那么下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
3.已知二次函数（其中、、为常数，且）的自变量与函数的对应值如下表，根据表中的数据，下列说法正确的是（ ）
A. 函数图像开口向下；B. 对称轴是直线
C. D.
4.已知，求作，那么下列作图正确的是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
5.将两个完全相同的等腰直角三角形△ABC与△AFG摆成如图的样子，两个三角形的重叠部分为△ADE，那么图中一定相似的三角形是（ ）
A. △ABC与△ADE
B. △ABD与△AEC
C. △ABE与△ACD
D. △AEC与△ADC
6.关于直角三角形有如下两个命题:
如果两个直角三角形相似,那么它们的斜边之比等于斜边上的高之比;
如果两个直角三角形的斜边之比等于斜边上的高之比,那么这两个直角三角形相似.
下列说法正确的是( )
A. 是真命题,是真命题B. 是真命题,是假命题
C. 是假命题,是假命题D. 是假命题,是真命题
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
7.已知，则的值为 ．
8.化简：3＝ ．
9.已知点是线段上一点，并且，如果，那么的长为 ．
10.如图，，，，，那么的长为 ．
11.二次函数，如果，则该图像一定不经过第 象限．
12.如图，斜坡长为100米，坡角，现因“改小坡度”工程的需要，将斜坡改造成坡度的斜坡（、、三点在地面的同一条垂线上），那么由点到点下降了 米（结果保留根号）
13.如图，点A、B都在格点上（网格小正方形的边长为1），点C是线段AB与网格线的交点，则AC的长为 .
14.给定，现进行如下操作：
①如图（1）所示，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，连结两弧两个交点的线段交于点，连接；
②如图（2）所示，取上一点，连结交于，并使得能平分；
③过点作的平行线交于点，作交于点， ．
15.新定义：将一个凸四边形分成一个等腰三角形和一个等腰直角三角形的对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”．已知一个直角梯形的“等腰直角线”等于4，它的面积是 ．
16.如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且．线段交反比例函数的图象于另一点，连接 OC，若点为的中点，则的值为 ．
17.如图，在中，，，，点分别是边的中点，联接．将绕点B顺时针方向旋转，点的对应点分别是点．如果点落在线段上，那么线段 ．
18.如图，等腰中，，，为的中点，将一块三角板的角顶点放在点处，让三角板的两边分别交两腰于点，，那么 ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
19.计算：．
四、解答题：本题共6小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题6分)
如图，在梯形中，点、分别在边、上，，与交于点，，，．
(1) 直接写出的长；
(2) 设，，在图中画出在和方向上的分向量，并直接用和的线性组合表示．
(3) （用向量、表示）．
21.(本小题9分)
如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺画图，按要求保留作图痕迹．
(1) 在图1中作出边上的高；
(2) 在图2中作出的重心；
(3) 在图3中作出边上的点，使得
22.(本小题7分)
根据以下素材，探索完成任务．
23.(本小题6分)
已知：如图，在中，点、分别在边、上，，平分．
(1) 求证：；
(2) 如果，求证：．
24.(本小题6分)
如图所示，二次函数y＝k（x﹣1）2+2的图象与一次函数y＝kx﹣k+2的图象交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0．
(1) 求A、B两点的横坐标；
(2) 若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；
(3) 二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
25.(本小题6分)
如图，已知在等腰中，，，，垂足为 F，点D是边AB上一点（不与A，B重合）
(1) 求边BC的长；
(2) 如图2，延长DF交BC的延长线于点G，如果，求线段 AD的长；
(3) 过点D作，垂足为 E，DE交BF于点Q，连接DF，如果和相似，求线段 BD的长．
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】/
10.【答案】
11.【答案】三
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】或12
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】
19.【答案】
解：
．

20.【答案】【小题1】
解：，
，，
，
，
，
，，，，
，，
，，
，，
，，
，，
；
【小题2】
解：作交于点H，在和方向上的分向量如下图所示：
​​​​​​​，，
四边形是平行四边形，
，
，
；
【小题3】

21.【答案】【小题1】
解：如图，高即为所求；
理由：如图，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是边上的高；
【小题2】
解：如图2，重心即为所求；
理由：由图可知、分别为、中点，
则、为中线，
∴、的交点为的重心；
【小题3】
解：如图，点即为所求，连接．
理由：∵，
∴，，
∴．
由图可知，
∴，
∴．

22.【答案】解：任务1：①如图，作于，作于，
，
∵米，米，伞面直径是的4倍，
∴米，米，
∴（米），
∴；
②∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴米，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴米，
∴米；
任务2：如图，作交于，
，
由（1）得：，米，
∵，
∴在中，米，，则米，
∴米，
∴米，
在中，米，
在中，米，
在中，当时，米，
∴小明刚好被照射到时离的距离为，
∴小明会被照到；
任务3：由任务2得：当时，米，
当时，，米，
∴在中，米，，则米，
∴米，
∴米，
在中，米，
在中，米，
在中，当时，米，
此时，米，
∴．

23.【答案】【小题1】
证明：∵，
∴，，，
又∵平分，
∴，
∴，
则，
∴，
故．
【小题2】
∵，
∴，，
又∵，
∴，
则，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，

24.【答案】【小题1】
将二次函数与一次函数联立得：k（x﹣1）2+2＝kx﹣k+2，
解得：x＝1或2，
故点A、B的坐标横坐标分别为1和2；
【小题2】
OA＝，
①当OA＝AB时，
即：1+k2＝5，解得：k＝±2（舍去2）；
②当OA＝OB时，
4+（k+2）2＝5，解得：k＝﹣1或﹣3；
故k的值为：﹣1或﹣2或﹣3；
【小题3】
存在，理由：
①当点B在x轴上方时，
过点B作BH⊥AE于点H，将△AHB的图形放大见右侧图形，
过点A作∠HAB的角平分线交BH于点M，过点M作MN⊥AB于点N，过点B作BK⊥x轴于点K，
图中：点A（1，2）、点B（2，k+2），则AH＝﹣k，HB＝1，
设： HM＝m＝MN，则BM＝1﹣m，
则AN＝AH＝﹣k，AB＝， NB＝AB﹣AN，
由勾股定理得：MB2＝NB2+MN2，
即：（1﹣m）2＝m2+（+ k）2，
解得：m＝﹣k2﹣k，
在△AHM中，tanα＝＝＝ k+＝ tan∠BEC＝＝ k+2，
解得：k＝，
此时k+2＞0，则﹣2＜k＜0，故：舍去正值，
故k＝﹣；
②当点B在x轴下方时，
同理可得：tanα＝＝＝ k+＝ tan∠BEC＝＝＝-（k+2），
解得：k＝或，
此时k+2＜0，k＜﹣2，故舍去，
故k的值为：﹣或．

25.【答案】【小题1】
如图作交BC于点H，设BH=x，
根据题意，，
∴AH=2x，
在中，，
∴
解得x=5．
∴BH= 5．
又∵是等腰三角形，即H点为BC中点，
∴BC=2BH=10．
【小题2】
根据题意可知，即，
∴，
∴，．
作交AC于点E，
∴，得到：，即．
，得到：．
又∵
∴，
由，
解得，．
∵，是等腰三角形，
∴也是等腰三角形，
∴．
【小题3】
∵，，
∴，
又∵，
∴
当DQ=DF时，如图，作交BF于点P，
设，
∵,
∴，
∴，
∴，
∵，
∵,
∴，
∴，
∵，即
解得x=，经检验是原方程的解，即．
∴．
当DF=QF时，如图，作交DQ于点O，
设，
同理，，，
∵,
∴，
∴，
∴，
同理∵，即
解得，经检验是原方程的解，．
∴．
．．．
1
2
3
．．．
．．．
0
0
．．．
探究遮阳伞下的影子长度
素材1
（1）图3是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图4是其侧面示意图．
（2）已知支架AB长为2.5米，且垂直于地面BC，悬托架AE＝DE＝0.5米，点E固定在伞面上，且伞面直径DF是DE的4倍．当伞面完全张开时，点D，E，F始终共线．
（3）为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄D沿着AB移动，以保证太阳光线与DF始终垂直．
图3 图4
素材2
某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表：
时刻
12点
13点
14点
15点
16点
17点
太阳高度角（度）
90
75
60
45
30
15
素材3
小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面的距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点Q．
问题解决
任务1
确定影子长度
某一时刻测得AD＝0.8米，
①DF＝______；______②请求出此时影子GH的长度；
任务2
判断是否照射到
这天14点，小明坐在离支架3米处的Q点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由；
任务3
探究合理范围
小明打算在这天14：00—15：00露营休息，为保证小明全程不被太阳光照射到，请你通过计算后直接写出BQ的取值范围：______