吉林省长春市二道区长春五十二中赫行实验学校2025-2026学年九年级上册1月期末数学试题（含答案）

这是一份吉林省长春市二道区长春五十二中赫行实验学校2025-2026学年九年级上册1月期末数学试题（含答案），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．已知关于x的一元二次方程的一个根为，则k的值为（ ）
A．8B．C．9D．
3．用配方法将方程变形为，则的值是（ ）．
A．B．C．D．
4．若，则下列等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，和是以点为位似中心的位似图形，点A在线段上．若，且的面积为1，则的面积为（ ）
A．2B．4C．6D．9
6．如图，为测量池塘两端、的距离，小明在池塘外选取了一个点，使得点可以直接到达、，他分别找到、的中点、，并且测得的长为米，则池塘两端、的距离为（ ）
A．8米B．20米C．25米D．32米
7．如图，在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为6米，那么相邻两树在坡面上的距离AB为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，在长为32m，宽为20m的矩形空地上修建同样宽的道路（图中阴影部分），剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为540m2．设道路的宽为xm，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．32x+20x﹣2x2＝540
B．32x+20x＝32×20﹣540
C．（32﹣x）（20﹣x）＝540
D．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣540
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
9．计算： ．
10．已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则 ．
11．若一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是 ．
12．下表是一位同学篮球罚球的实验结果，根据表中数据回答问题：
根据表中的数据，估计这位同学下一次投篮投中的概率为 ．（结果保留两位小数）
13．如图，，直线，与这三条平行线分别交于点、、，和点、、．已知，，，则的长为 ．
14．如图，在中，，平分交边于点D，交边于点E，M为线段的中点，连接．给出下面四个结论：
①；②；
③；④当，时，．
上述结论中，正确结论的序号有 ．
三、解答题：本题共10小题，共78分．
15．计算：．
16．解方程：．
17．“石头、剪刀、布”是一个广为流传的游戏，游戏时，甲乙双方每次做“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中的一种，规定：“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，同种手势不分胜负．假设甲乙两人每次都等可能地做这三种手势．用画树状图或列表的方法，求乙获胜的概率．
18．学校图书馆去年年底有图书万册，预计到明年年底增加到万册．求这两年的年平均增长率．
19．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并保留适当的作图痕迹．

(1)在图①中的边上确定一点D，连结，使得；
(2)在图②中的边上确定一点E，连结，使得；
(3)在图③中的边上确定一点M，边上确定一点N，连结，使得．
20．如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为的正方形，且每一个侧面与底面成角，这座金字塔原来有多高（结果取整数）？
21．【学科融合】如图①，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧：反射角等于入射角．这就是光的反射定律．由反射定律可得：反射光线与反射面的夹角等于入射光线与反射面的夹角．
【问题解决】如图②，为测量信号塔的高度，小明同学在脚下点M处水平放置了一面镜子，然后向后退一段距离，直到他恰好在镜子中看到信号塔顶点A的像．已知小明同学身高为米，其眼睛到地面的距离为米，同时测得小明到镜子的水平距离米，信号塔到镜子的水平距离米．请根据以上数据，求信号塔的高度．
22．【知识储备】如图①，在中，点D是的中点，，则与的数量关系为______；
【类比探究】小明同学在学习时遇到这样一个问题：
如图②，在中，点D是边的中点，点E是边上一点，且，、相交于点．求证：．
小明同学发现：如图③，可以过点D作，交边于点F，从而可以得到，再利用线段间的数量关系推出结论．下面是小明同学的部分证明过程：
证明：如图③，过点D作，交于点F．
∵，点D是边的中点，
∴点F是的中点，
∴．
请你补全余下的证明过程．
【拓展迁移】如图④，在中，点D是边的中点，点E是边延长线上一点，且，射线DA与射线相交于点O，则线段和线段的数量关系是_____．
23．如图，用总长米的篱笆靠墙围成如图所示的①②③三块矩形区域（墙足够长），且三块区域面积相等，设长为米．
(1)求证：；
(2)的长为_____米，的长为______米；（用含的代数式表示）
(3)当矩形的面积为平方米时，求的长．
24．如图，在平行四边形中，，，．点O是边上一点，．动点P从点O出发，沿折线运动至点C停止，当点P不与点O重合时，连结，将线段绕点O顺时针旋转，得到线段，连结．
(1)点B到直线的距离为_________；
(2)当时，求的长度；
(3)当点Q到的距离为3时，求此时点P运动过的路径长；
(4)连结，当时，直接写出的长．
参考答案
1．C
解：∵有意义，
∴，
∴．
故选：C．
2．B
解：∵ 是方程的根，
∴，
即，
∴．
故选：B．
3．B
解：，
移项得：，
配方：，即：，
与比较可得：．
故选 B．
4．A
A、由可得：，符合题意；
B、由可得：，不符合题意；
C、由可得：，不符合题意；
D、由可得：，不符合题意；
故选：A．
5．B
解：∵和是位似图形，
，，
，
，
，
，
的面积为1，
，
故选：B．
6．D
解：、分别为、的中点，
是的中位线，
，
米，
（米）．
故选：．
7．B
解：在Rt△ABC中，米，，
∵，
∴，
故选：B．
8．C
解：把道路进行平移，可得草坪面积为一个矩形，长为32﹣x，宽为20﹣x，
∴可列方程为：（32﹣x）（20﹣x）＝540．故选C．
9．2
解：．
故答案为：2．
10．
解：∵最简二次根式与二次根式是同类二次根式，且，
∴，
解得：，
故答案为：．
11．
解：∵一元二次方程有两个相等实数根，其中，，，
∴，
解得．
故答案为：．
12．
解：由表中数据可知，随着试验次数增加，频率逐渐稳定：1500次时频率为，2000次时为，3000次时为，这些值均接近，
因此估计投中的概率为（保留两位小数）．
故答案为：．
13．
解：∵，
，
已知，设，则，再由，，可得：
，
化简后交叉相乘：
，
，
解得，
故．
答：．
14．①②④
解：①∵，，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，故①正确；
②∵，点M为线段的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，故②正确；
③∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故③错误；
④由③可知，，
∵，，
∴，
设，则，
∴，，
∴，
∴，
∴，故④正确；
综上，正确结论的序号有①②④．
故答案为：①②④．
15．
解：原式．
16．，
解：，
配方得，即，
开方得，
解得，．
17．
解：根据题意，树状图如下：
由图可知，两人做出手势的所有等可能结果共有9种，乙获胜的结果共有3种，
故乙获胜的概率，
答：乙获胜的概率为．
18．这两年的年平均增长率为
解：设这两年的年平均增长率为，
根据题意列方程得，
即，
解得，（负值舍去），
即：．
答：这两年的年平均增长率为．
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
（1）如图①，点D即为所求．
；
（2）如图②，点E即为所求．
；
（3）如图③，点M，N即为所求．
；
20．
解：如图所示
∵底部是边长为130m的正方形，
∴BC=m，
∵AC⊥BC，∠ABC=65°，
∴AC=BC•tan65°≈139m．
答：这个金字塔原来有139米高．
21．信号塔的高度为20米．
解：∵，，
∴，
∴，
即，
∴（米）．
答：信号塔的高度为20米．
22．（1）；（2）见解析；（3）
解：知识储备：∵点D是的中点，，
∴，
∴；
故答案为：；
类比探究：
证明：如图③，过点D作，交于点F．
∵，点D是边的中点，
∴点F是的中点，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
拓展迁移：
过点作，如图所示：
∵，点D是边的中点，
∴点是的中点，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
23．(1)见解析
(2)，
(3)米
（1）证明：矩形②与矩形③面积相同，且两矩形高相等，则底相等，
，
四边形是矩形，
，
，
，
矩形①与矩形②面积相同，
，
，
．
（2）解：由题意和（1）可知，米，，，
则米，米，
米．
故答案为：，．
（3）解：已知米，根据矩形性质可知米，
根据题意可得，
化简得，即，
解得，
故米．
答：米．
24．(1)8
(2)
(3)点运动过的路径长为5或13
(4)或
（1）解：如图，过点作延长线交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴点到直线的距离为8；
故答案为：8；
（2）解：如图，点在线段上，当时，，
过点作交于点，过点作交于点，
∵，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
整理得，
，
∴（负值舍去），
∴；
（3）解：①当点在上时，如图，过点作交于，则，
由题意知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点运动过的路径长为5；
②当点在上时，如图，过点作交于，交于，则，
∵，
又∵，
∴，
在和中，
∴≌，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，，
∴；
∴点运动过的路径长为；
综上所述，点运动过的路径长为5或13；
（4）解：①如图，当点与点重合时，有，
又∵点到直线的距离为8，，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
此时；
②如图，当点在线段上时，过点作交于点，过点作延长线交于点，
∵，，
∴点在线段上，
∵，
∴，
∵，
∴∽，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴；
综上所述，当时，或．
实验总次数
100
200
300
500
1500
2000
3000
投中的次数
61
93
165
246
753
996
1503
投中的频率
0.610
0.465
0.550
0.492
0.502
0.498
0.501