吉林省长春市二道区第五十二中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

这是一份吉林省长春市二道区第五十二中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

吉林省长春市二道区第五十二中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列二次根式中，是最简次根式的是（    ）
A． B． C． D．
2．将方程化成一般形式，其一次项系数是（    ）
A．5 B． C． D．3
3．下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是（    ）
A．一岁一枯荣 B．锄禾日当午 C．手可摘星辰 D．举头望明月
4．小明沿着坡比为的山坡向上走了300m，则他升高了（    ）
A．m B．150m C．m D．100m
5．如图，在中，，D是的中点，边D点作的垂线交于点E，，，则为（    ）

A． B．10 C． D．15
6．如图，是的直径，于E，，，则为（    ）

A．17 B．30 C．34 D．36
7．如图，在中，，平分交于点D，点F在上，且，连接，E为的中点，连接，则的长为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6
8．已知二次函数的图像如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像大致是（）

A． B．C． D．

二、填空题
9．计算＝_____．
10．若关于x的方程的判别式的值是______
11．一个扇形的弧长是3π，面积是12π，则此扇形的半径是___________．
12．如图，在4×4的正方形网络中，已将部分小正方形涂上阴影，有一个小虫落到网格中，那么小虫落到阴影部分的概率是____.

13．如图，在中，，，，若点P是边（不包含）上任意一点，则的长的可能是______.

14．定义：在平面直角坐标系中，若点的横、纵坐标都为整数，则把这样的点叫做“整点”．如：A(1，0)，B(﹣3，2)都是“整点”，抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）与x轴交于P，Q两点，若该抛物线在P，Q之间的部分与线段PQ所围的区域（不包括边界）恰有3个整点，则a的取值范围是_____．

三、解答题
15．计算：
(1)
(2)解方程：
16．有两个不透明的布袋A、B，分别装有3个小球，布袋A中的小球分别标有数字，0，2，布袋B中的小球分别标有数字，1，1，它们除数字不同外其他均相同．从布袋A、B中各随机摸出一个小球，用画树状图（或列表）的方法，求摸出的两个小球的数字之和是正数的概率．
17．如图，C是的直径BA延长线上一点，点D在上，．
求证：直线CD与相切．
若，求图中阴影部分的面积．

18．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的项点称为格点，小正方形边长为1，点、、、、、均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．

（1）在图①中以线段为边画个中心对称四边形．使其面积为9；
（2）在图②中以线段为边画一个轴对称四边形．使其面积为10；
（3）在图③中以线段为边一个四边形，使其满足仅有一对对角都为直角．
19．如图，依靠一面长18米的墙，用34米长的篱笆围成一个矩形场地花圃ABCD，AB边上留有2米宽的小门EF（用其他材料做，不用篱笆围）．
（1）设花圃的一边AD长为x米，请你用含x的代数式表示另一边CD的长为 　　米；
（2）当矩形场地面积为160平方米时，求AD的长．

20．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且，连接AF，CE，AC，EF，且AC与EF相交于点O．

(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；
(2)若AC平分，，求四边形AFCE的面积．
21．“足球运球”是中考体育必考项目之一．某校为了解今年九年级学生足球运球的掌握情况，随机抽取部分九年级学生足球运球的测试成绩作为一个样本，按A、B、C、D四个等级进行统计，制成了如下不完整的统计图．（说明：A级：80﹣100分，B级：70﹣79分，C级：60﹣69分，D级：10﹣59分），根据所给信息，解答以下问题：

(1)在扇形统计图中，D对应的扇形的圆心角是 度．
(2)补全条形统计图．
(3)所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在 级．
(4)该校九年级有450名学生，请估计足球运球测试成绩达到A级的学生有多少人？
22．【解决问题】如图①，在中，将沿着折叠得到，点B的对应点是点E，连接交于点H，连接，求证．
【问题应用】如图②，在矩形中，若，将沿着折叠得到，点B的对应点是点E，连接交于点H，连接，当时，则______．
【问题拓展】如图③，在矩形中，，点F为边上一动点，将沿着折叠得到，点B与点E是对应点，连接．

（1）若，时，则______．
（2）在点F的运动过程中，取的中点P，连接，若时，直接写出的最小值．
23．在中，，的面积为，点D为的中点，连接，动点P由点A以每秒5个单位的速度向点B运动，连接，以，为边作，设与的重叠部分面积为S，点P的运动时间为t．

(1)________；
(2)求点Q落在BC上时t的值，
(3)在点P运动的过程中，求S与t之间的函数关系式．
(4)若点A关于PD的对称点为，当点与点A或点C连线平分的面积时，直接写出t的值．
24．在平面直角坐标系中，抛物线（b、c是常数）的顶点坐标为．点A在抛物线上，且点A的横坐标为m，点B、C为抛物线与x轴的交点（点B在点C的左侧）．
(1)求b、c的值．
(2)当的面积为1时，求点A的坐标；
(3)当时，，则m的取值范围为______；
(4)过点B作x轴的垂线l，过点A作于点P，点Q在直线l上，且点Q的纵坐标为，以AP、PQ为边作矩形，当抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．

参考答案
1．B
【分析】根据最简二次根式的定义，对选项逐个判断即可．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，是最简二次根式，符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B
【点睛】此题考查了最简二次根式的定义，解题的关键是掌握最简二次根式的定义，被开方数不含有开方开得尽的因数或因式，被开方数不能含有分母．
2．C
【分析】通过移项，将一元二次方程化为一般形式，即可求解．
【详解】解：将化成一般形式为，
一次项为，系数为，
故选：C
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是正确将方程化为一般形式．
3．C
【分析】根据必然事件、随机事件、不可能事件的意义结合具体问题情境进行判断即可，必然事件是指在一定条件下，一定发生的事件，随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．
【详解】解：A、一岁一枯荣，为必然事件，不符合题意；
B、锄禾日当午是随机事件，不符合题意；
C、手可摘星辰为不可能事件，符合题意；
D、举头望明月是随机事件，不符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查了必然事件、随机事件、不可能事件，理解必然事件、随机事件、不可能事件的含义是解题的关键．
4．B
【分析】根据题意，画出图形，如下，根据坡比为，可设米，则米，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：根据题意，画出图形，如下：

由题意可得，，
设米，则米，
由勾股定理可得：，即
解得，
即米，他升高了150m，
故选：B
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是理解坡比的概念，根据题意，正确画出图形．
5．A
【分析】在中，由，求得，由题意可得垂直平分，，在中，求解即可．
【详解】解：在中，，
又∵，
∴，
由题意可得垂直平分，即，，
在中，，
，
由勾股定理可得：，
故选：A
【点睛】此题考查了解直角三角形，涉及了垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
6．C
【分析】连接，设半径为，则，由垂径定理可得，，由勾股定理求解即可．
【详解】解：连接，如下图：

设半径为，则，，
∵，是的直径，
∴，，
由勾股定理可得：，即
解得，
，
故选：C
【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
7．B
【分析】根据等腰三角形的性质可得，为的中点，通过中位线的性质可得，，求解即可．
【详解】解：由题意可得：，
∵，平分，
∴为中线，即为的中点，
又∵E为的中点，
∴为的中位线，
∴，
故选：B
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
8．B
【分析】根据二次函数的图像与系数的关系，判断的符号，根据一次函数和反比例函数的图像与系数的关系即可求出一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像.
【详解】解：根据图像可得：抛物线开口向上，则a>0，
抛物线与y交于正半轴，则
对称轴：
∴
把x=1代入由图像可得a+b+c<0，
一次函数的图像应该经过第一、二、四象限.
反比例函数的图像应该在第二、四象限.
故选B.
【点睛】考查二次函数与系数的关系.二次项系数决定抛物线的开口方向，共同决定了对称轴的位置，常数项决定了抛物线与轴的交点位置.
9．
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
【详解】解：＝．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次根式的乘法，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
10．
【分析】根据一元二次方程的判别式，求解即可．
【详解】解：，
，，，
则
故答案为：
【点睛】此题考查了一元二次方程的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的相关基础知识．
11．8
【分析】根据扇形的面积公式S扇形=lR即可得出答案．
【详解】解：∵S扇形=lR，
∴R==8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，比较简单，解答本题的关键是熟练掌握扇形面积的计算公式．
12．
【分析】本题应分别求出正方形的总面积和阴影部分的面积，用阴影部分的面积除以总面积即可得出概率．
【详解】解：小虫落到阴影部分的概率＝，
故答案为．
【点睛】本题考查的是概率的公式，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．
13．（答案不唯一）
【分析】根据含角直角三角形的性质，可得，即可求解．
【详解】解：在中，，，，
∴，
点P是边（不包含）上任意一点，则，即
则的长可能为，
故答案为：（答案不唯一）
【点睛】此题考查了含角直角三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形的相关性质．
14．
【分析】将函数解析式化为顶点式，确定图象的对称轴及顶点坐标，得到3个整点的位置，由此得到不等式组，求解即可．
【详解】解：∵y＝ax2﹣2ax+a+2=，
∴函数的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，2），
∴P，Q两点关于直线x=1对称，
根据题意，抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）与x轴交于P，Q两点（不包括边界）恰有3个整点，这些整点是（0，1），（1，1），（2，1），
∵当x=0时，y=a+2，
∴，
当x=-1时，y=4a+2，
∴,
∴，解得，
故答案为：．
．
【点睛】此题考查了将二次函数一般式化为顶点式，二次函数的性质，一元一次不等式组的应用，根据二次函数的对称轴及顶点确定3个点的位置，由此顶点不等式组是解题的关键．
15．(1)；
(2)，．

【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，二次根式以及负整数幂的运算求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：
，
；
（2）解：，
，
，
解得，，
【点睛】此题考查了一元二次方程的求解，实数的有关运算，涉及了特殊角的三角函数值，二次根式以及负整指数幂，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
16．
【分析】画出树状图，得出所有等可能的情况数以及两数的和为正数的情况数，再运用概率公式计算即可．
【详解】解：画树状图如下：

从图中可知：共有9种等可能结果数，其中和为正数的有4种，
∴摸出的两个小球的数字之和是正数的概率=．
【点睛】此题考查了列表法与树状图法求概率的知识．注意列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
17．（1）见解析；（2）
【分析】（1）CD所在的直线与圆O相切，理由为：连接OD，设，
再由OB=OD，得到，，再由，得到，得到即CD垂直于半径OD，可得出CD所在的直线为圆O的切线；
（2）由CD为圆O的切线，得到三角形CDO为直角三角形，根据AC及OA的长，利用勾股定理求出CD的长，进而由直角边CD与DO乘积的一半求出直角三角形CDO的面积，再由DO为CO的一半求出∠C=30°，进而得出∠COD=60°，利用扇形的面积公式求出扇形AOD的面积，由直角三角形CDO的面积-扇形AOD的面积，即可求出阴影部分的面积．
【详解】（1）连接，设，

∵，
∴，，
∵，
∴在中，，
∴，
∴，即与⊙相切．
（2）由（）证得，得∠CDO=90°，
在中，，则，，
∴易得，．
，
.
【点睛】考查切线的判定, 扇形面积的计算，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键.
18．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）由题意直接利用平行四边形的中心对称性质及其面积的计算方法得出符合题意的图形；
（2）根据题意直接利用正方形的轴对称性质以及面积求法得出答案；
（3）由题意以线段为边一个四边形，利用割补法进行分析进而得出答案．
【详解】解：（1）中心对称四边形如下图：
   
（2）轴对称四边形如下图：
  
（3）四边形如下图：

【点睛】本题主要考查作图-应用与设计，以及四边形面积求法，正确掌握四边形的性质和面积求法是解题的关键．
19．（1）（36﹣2x）；（2）AD＝10米
【分析】（1）设AD＝x米，则BC＝AD＝x米，利用CD的长＝篱笆的长＋门的宽﹣2AD，即可用含x的代数式表示出CD的长；
（2）利用矩形的面积计算公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙的长度为18米，即可确定AD的长．
【详解】（1）设AD＝x米，则BC＝AD＝x米，
∴CD＝34＋2﹣2AD＝34＋2﹣2x＝（36﹣2x）米．
故答案为：（36﹣2x）．
（2）依题意得：x（36﹣2x）＝160，
化简得：x2﹣18x＋80＝0，
解得：x1＝8，x2＝10．
当x＝8时，36﹣2x＝36﹣2×8﹣20＞18，不合题意，舍去；
当x＝10时，36﹣2x＝36﹣2×10＝16＜18，符合题意．
故AD的长为10米．
【点睛】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，注意：求得的两个解要检验是否符合题意．
20．(1)详见解析；
(2)24．

【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形解答；
（2）由平行线的性质可得，再根据角平分线的性质解得，继而证明，由此证明平行四边形AFCE是菱形，根据菱形的性质得到，结合正切函数的定义解得，最后根据三角形面积公式解答．
【详解】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形


，即．
四边形AFCE是平行四边形．
（2）解：，
．
平分，
．
．
，由（1）知四边形AFCE是平行四边形，
平行四边形AFCE是菱形．
，
在中，，
．

．
【点睛】本题考查平行四边形的判定、菱形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的性质、正切函数的定义等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
21．(1)86.4
(2)见解析
(3)C
(4)27人

【分析】（1）根据D级所占百分数及周角度数即可求得D级对应扇形的圆心角度数；
（2）由级D的人数及D级所占百分数可得出样本总人数，进一步可算出C级的人数，即可补全条形统计图；
（3）根据中位数的求法即可得到答案；
（4）根据样本里A级所占分率结合九年级人数，即可得到达到A级的人数．
【详解】（1）解：360°×24％＝86.4°，
故答案为：86.4．
（2）解：样本总人数＝12÷24％＝50（人），
C级人数＝50－3－15－12＝20（人），
∴统计图为：
（3）解：∵共有50个数据，其中第25、26个数据的平均数为中位数，而第25、26个数据均在C级，
∴所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在C级，
故答案为：C．
（4）解：（人），
∴估计足球运球测试成绩达到A级的学生有27人．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、中位数等，准确理解题意、读懂统计图是解题的关键．
22．[解决问题] 见解析；[问题应用]；[问题拓展]（1）；（2）最小值为
【分析】[解决问题] 先根据平行四边形的性质和平行线的性质得到，再根据折叠的性质得到，再根据全等三角形的判定和性质证出，根据等腰三角形的性质得到，进而根据三角形内角和得出，然后证明即可；
[问题应用] 先由[解决问题]得到，再根据折叠的性质得到，根据三角形内角和求出，进而得到，最后根据三角函数求解即可；
[问题拓展] （1）作交于M，连接，构造与图②中多边形相似的多边形，得到，，进而根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质得到，，最后相加即可；
（2）延长至点N，使，连接，，，先根据中位线定理得到，由折叠的性质可知，点E在以A为圆心，长为半径的圆上，此时与圆的交点为，然后根据勾股定理求解即可．
【详解】[解决问题]
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵将沿着折叠得到，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
[问题应用]
由[解决问题]可知，
∵将沿着折叠得到，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
故答案为；
[问题拓展]
（1）如图，作交于M，连接，

∵，
∴此时多边形与图②中多边形相似，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为；
（2）延长至点N，使，连接，，，

∵P为中点，C为中点，
∴，
∴最小时，最小，
由折叠的性质可知，点E在以A为圆心，长为半径的圆上，
∴此时与圆的交点为，
∴此时为最小值，
在中，，，
根据勾股定理得，
∴，
∴，
故最小值为．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和，三角函数，相似图形，三角形外角的性质，中位线定理和圆的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
23．(1)3
(2)
(3)
(4)、

【分析】（1）过B作交于E，根据，的面积为，求出，根据勾股定理求出，即可得到，根据正切定义即可得到答案；
（2）点Q落在上时，根据四边形是平行四边形，得到，，从而得到，，最后根据路程=速度时间即可得到答案；
（3）当P运动到中点之前重叠部分即为四边形的面积，过P作交于F，根据，，得到，即可得到，用t表示出即可得到答案，当P运动到中点之后如图所示，同理可用t表示出，再根据，即可得到，用t表示出即可得到答案；
（4）根据中线平分三角形面积，可得到两种情况①刚好在中点上，根据平行四边形性质即可得到答案，
②点在边中线的延长线上，根据垂直平分的性质即可得到答案．
【详解】（1）解：过B作交于E，
∵，的面积为，
∴，
在中根据勾股定理可得，
，
∴，
∴；

（2）解：由题意可得，
当点Q落在BC上时，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为；
（3）解：过P作交于F，

当P运动到中点之前，即，重叠部分即为四边形的面积，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，解得，
∴；
当P运动到中点之后，即，如图所示，
过P作交于F，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，解得，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
，
∴；
综上所述；

（4）解：①当刚好在中点上时，如图所示，
∵，是中点，
∴，，
∴四边形为菱形，
即与（2）问中Q为同一点
∴，
∴；

点在边中线的延长线上时，如图所示，
∵A关于PD的对称点为，
∴，
∵N为的中点，
∴，
∴，
综上所述，、时点与点A或点C连线平分的面积；

【点睛】本题考查相似三角形性质与判定，平行四边形的性质，三角形中线，解题的关键是根据平行四边形的性质得到相似及作辅助线．
24．(1)，；
(2)或或；
(3)；
(4)或

【分析】（1）根据顶点坐标公式，即可求解；
（2）先求出，再结合，即可得到答案；
（3）由图可知：时，，进而即可得到答案；
（4）分三种情况讨论，①当点A在对称轴右侧时，，②当点A在对称轴左侧时，，③时，，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线（b、c是常数）的顶点坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可知：抛物线，
令，解得：，
∴，
∴，
∴的面积=，
∴，
∴，解得：，
∴或或；
（3）解：令，
则，
∵，由图可知：，
∵当时，，
∴；
（4）解：①当点A在对称轴上或右侧时，，则，
此时点Q在x轴上或下方，抛物线在矩形内部，y随x得增大而增大，
当时，无重合；
②当点A在对称轴左侧时，，则，此时无重合，
③时，，y随x得增大而增大，
综上所述：或，

【点睛】本题主要考查二次函数得图形和性质，掌握待定系数法以及数形结合的思想方法是关键．