甘肃省武威市凉州区金山镇九年制学校2025-2026学年上册期末考试九年级数学试卷（含答案）

这是一份甘肃省武威市凉州区金山镇九年制学校2025-2026学年上册期末考试九年级数学试卷（含答案），共23页。试卷主要包含了对称轴为直线的抛物线等内容，欢迎下载使用。
1．我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．若一元二次方程的解为，，在函数上有两点，，则（ ）
A．B．C．D．无法确定
3．将抛物线向右平移3个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，四边形是的内接四边形，点是的中点，点是上的一点，若，则（ ）
A．B．C．D．
5．某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆160人次，第三个月进馆450人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（ ）
A．B．
C．D．
6．如图所示的电路图中，当随机闭合，，，中的两个开关时，能够让灯泡发光的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，若，，则正方形的边长为（ ）
A．4B．C．6D．
8．某服装品牌生产T恤衫，每件的成本是10元，根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示每件降价0.1元，愿意多经销500件．设厂家批发单价是元/件，下列说法错误是（ ）
A．销售量可以表示为
B．销售额可以表示为
C．所获利润可以表示为
D．当批发价为12元时，所获利润有最大值20000元
9．已知等腰直角的斜边，正方形的边长为，把和正方形如图放置，点与点重合，边与在同一条直线上，将沿方向以每秒个单位的速度匀速平行移动，当点与点重合时停止移动．在移动过程中，与正方形重叠部分的面积与移动时间的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
10．对称轴为直线的抛物线（，，为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（为任意实数），⑥当时，随的增大而减小．其中结论正确的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
二．填空题（共8小题）
11．若点与关于原点中心对称，则的值为 ．
12．若m、n是一元二次方程的两个实数根，则 ．
13．如果是二次函数，则的值为 ．
14．若圆锥的底面半径是，母线长，则圆锥的侧面积是 ．
15．已知抛物线如图1所示，现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图2．当直线与新图象有四个交点时，m的取值范围是 ．
16．在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，把点旋转，得到点，则点的坐标是 ．
17．如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；…按照此规律作下去．若矩形的面积记作，矩形的面积记，矩形的面积记作，…，则的值为 ．
18．如图，正方形的边长为2，E是边上一个动点，F是边上一个动点，且，过点B作于点G，连接，则长的最小值是 ．
三．解答题（共7小题）
19．用适当的方法解下列方程：
(1)
(2)
20．如图，在中，点B的坐标是，点A的坐标是．
(1)画出将向下平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度后的；
(2)画出将绕点O逆时针旋转后的；
(3)求的面积．
21．某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据统计图中的信息解答以下问题；
(1)本次抽取的学生共有_______人，扇形统计图中A所对应扇形的圆心角是______°，并把条形统计图补充完整；
(2)依次将优秀、良好、及格、不及格记为90分、80分、70分、50分，则抽取的这部分学生书写成绩的众数是_______分，中位数是_______分，平均数是_______分；
(3)若该校共有学生2800人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有_____人：
(4)A等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率．
22．如图，是的弦，切于点， 垂足为，是的半径，且，
(1)求证：平分；
(2)若点是弦所对的优弧上一点，且，求图中阴影部分面积（计算结果保留）．
23．根据对某市相关的市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的甲种蔬菜的销售利润（千元）与进货量（吨）之间的函数的图象如图①所示，乙种蔬菜的销售利润（千元）与进货量（吨）之间的函数的图象如图②所示．
（1）分别求出、与之间的函数关系式；
（2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共吨，设乙种蔬菜的进货量为吨．
①写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和（千元）与（吨）之间的函数关系式．并求当这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少元？
②为了获得两种蔬菜的利润之和不少于元，则乙种蔬菜进货量应在什么范围内合适？
24．数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片和完全重合放置，固定一个顶点，然后将三角形纸片绕点顺时针旋转，进一步探究图形旋转的性质．
【初步感知】
（1）如图1，将当点恰好落在线段上时，，则的度数_____；
【特例探究】
（2）如图2，三角形纸片是等腰三角形，，在三角形纸片绕点顺时针旋转过程中，当点恰好落在线段上时，连接，求证：四边形是平行四边形；
【拓展延伸】
（3）如图，三角形纸片是直角三角形，，在三角形纸片绕点顺时针旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，连接交延长线于点．
①小舞同学通过连接发现四边形是矩形，小矢同学发现点M是的中点…请你选择一个同学发现的结论进行证明；
②如图4，小怡同学延长交于点，若，，直接写出的长．
25．如图，抛物线交轴于，两点（点在点的左侧），交轴于点，为抛物线上一点．
(1)求抛物线的解析式及的值．
(2)过点作轴，垂足为，点在直线下方的抛物线上运动，过点作，，垂足在线段上．
①求面积的最小值；
②求的最大值．
(3)将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，平移后的抛物线上有一点在第三象限内，使得，请直接写出符合条件的点的横坐标．
参考答案
1．B
解：A中、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B中、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
C中、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D中、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
2．C
解：∵一元二次方程的解为，，
∴，开口向上，对称轴为，
∴距离对称轴越远函数值越大；
∵，，距离对称轴的距离依次为2和4，
∴．
故选：C．
3．A
解：抛物线的顶点坐标为，向右平移3个单位，再向下平移1个单位，
∴平移后的顶点坐标为，
∴平移后的抛物线解析式为．
故选：A．
4．B
解：∵，点是的中点，
，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
故选：B．
5．A
解：设进馆人次的月增长率为，
由题意得，．
故选：A．
6．D
解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，能让灯泡发光的有6种情况，
∴能让灯泡发光的概率为．
故选：D．
7．D
解：如图，作于
由正方形的性质可得，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
8．B
解：根据题意：
A、销售量可以表示为：，故选项A正确，不符合题意；
B、销售额可以表示为：，故选项B错误，符合题意；
C、所获利润可以表示为：，故选项C正确，不符合题意；
D、所获利润可以表示为：，则当批发价为12元时，所获利润有最大值20000元，故选项D正确，不符合题意；
故选：B．
9．C
解：①当时，，
函数图像为开口方向向上的抛物线；
②当时，如图，
设交于，则，
则，
，
函数图像为开口方向向下的抛物线；
③当时，；
④当时，同理可得，
函数图像为开口方向向下的抛物线；
故只有选项C符合题意．
故选：C．
10．C
解：由图象可得，抛物线开口向上，与轴交于负半轴，
∴，，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵抛物线图象与轴有两个交点，
∴，
∴，故②正确；
由图象可得，时，，故，故③错误；
由图象可得，当时，，故，故④正确；
由图象可得，当时，二次函数有最小值为，
∴为任意实数，，即，故⑤正确；
由图象可得，当时，随的增大而减小，故⑥正确；
综上所述，正确的有①②④⑤⑥，共个，
故选：C．
11．
解：点与关于原点中心对称，
∴，
解得，，
∴，
故答案为： ．
12．
解：∵m，n是一元二次方程的两根，
∴，，
∴．
故答案为：．
13．
解：函数是二次函数，
，，
解得：或，
解得：，
，
故答案为：．
14．
解：圆锥侧面积为：，
故答案为：．
15．
解：∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为，
令，则，
解得：，，
∴，，
根据翻折变换，关于x轴的对称点为，
∴曲线所对应的函数解析式为，
当直线与图象2恰有四个公共点时，如图所示：
①当直线与x轴重合，即时与图象②有两个公共点，
所以当时与图象②有四个公共点；
②当时，直线与有三个公共点，
所以当时，直线与新图象有四个交点．
故答案为：．
16．或
以原点为旋转中心，把点逆时针旋转，得到点，可知，，
如图，作轴交轴于D，作轴交轴于C，
∴，，
∴
∵，
∴
∴
∴，
∴，，
∴；
以原点为旋转中心，把点顺时针旋转，得到点，
同理可得；
故答案为：或
17．
∵四边形是矩形，
，
，
∵按逆时针方向作矩形的相似矩形，
∴矩形的边长和矩形的边长的比为，
∴矩形的面积和矩形的面积的比,


故答案为：.
18．
解：连接与交于点，
在正方形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即经过点，点是正方形中心．
则，
取中点，连接，
∵，
∴，
则为定长，
过点作于．
∵，
∴，
∴，
则，
由勾股定理可得，
，
当三点共线时，最小，
故答案为：．
19．(1)
(2)
（1）解：
∴，

即
∴

（2）解：∵，
∴，
，
，
∴或，

20．(1)图见解析
(2)图见解析
(3)6
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
；
（3）解：由图可知，
∴．
21．(1)40；36；见解析
(2)70；70；66.5
(3)280
(4)
（1）本次抽取的学生人数是（人），
扇形统计图中A所对应扇形圆心角的度数是，
故答案为40人、36°；
B等级人数为（人），
补全条形图如下：
（2）由条形统计图可知众数为：70
由A、B、C的人数相加得：4+6+16=26>20，所以中位数为：70
平均数为：
（3）等级达到优秀的人数大约有（人）；
（4）画树状图为：
∵共有12种等可能情况，1男1女有6种情况，
∴被选中的2人恰好是1男1女的概率为．
22．(1)见解析；
(2)．
（1）证明：连结，如图所示，
切与点，
，
，
，
，
，
平分．
（2）如图，过作与点
点是弦所对的优弧上一点，且，
,
，
，
，
，
，
阴影部分面积等于扇形的面积与三角形的差，即为：．
23．（1），；（2）①，当乙种蔬菜进货4吨，甲种蔬菜进货6吨，利润之和最大，最大9200元；②乙种蔬菜进货量为吨到吨范围内
（1）由题意得，设
，
根据题意得，设，由图知，抛物线经过点，代入得，
；
（2）①设乙种蔬菜的进货量为吨，
当，利润之和最大
（元）
答：当乙种蔬菜进货4吨，甲种蔬菜进货6吨，利润之和最大，最大9200元．
②
当时，即，
令
解得，，
因为抛物线开口向下，所以，
答：乙种蔬菜进货量为吨到吨范围内．
24．（1）；（2）见详解；（3）①选择小舞或小矢，证明见详解；②
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由旋转的性质可知：；
（2）证明：由旋转的性质可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（3）解：①若选择小舞同学的结论，证明如下：
连接，如图所示：
由旋转的性质可知：，
∴，
∵，
∴，
∵是的中线，且，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；
若选择小矢同学，证明如下：
由小舞同学可得四边形是矩形，
∴，即，
∵，
∴，
即点M是的中点；
②由①可知：，，
由旋转的性质可知：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则有，
在中，由勾股定理可得：，
即，
解得：，
∴．
25．(1)，
(2)①；②
(3)
（1）将点和点代入中，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为
将代入中，得；
（2）①解：∵，为定值，
∴当最小时，的面积最小，此时点与点重合，
∵，，
∴点的纵坐标为
将代入中，得，
解得，，
∴，
∴；
②解：如图1，过点作轴交于点，
设直线的解析式为：，代入，可得：，
解得：，
∴直线的解析式为：，
又∵，
∴，，
∴，
∴
∵轴，
∴轴
∴，
∴，则，
∴，
设点，则点，
∴．
∵，
∴当时，有最大值，
把代入可得：
∴的最大值为；
（3）原抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于将抛物线向左平移个单位长度，向上平移个单位长度，如图2，则新抛物线的表达式为①，
设直线交轴于点，过点作延长线于点，
∵，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
设，则，即，则，
∴，则，
∴点，
设直线的解析式为，代入，可得：，
解得：，
∴直线的表达式为②，
联立①②得，
解得（不合题意的值已舍去）．