四川省内江市资中县2025_2026学年高一数学上学期12月月考试卷含解析

这是一份四川省内江市资中县2025_2026学年高一数学上学期12月月考试卷含解析，共15页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回．， 设集合 ， ，则 ．， 对于函数 ，说法正确的有等内容，欢迎下载使用。
本试卷共 4 页，19 题，全卷满分 150 分．考试用时 120 分钟．
注意事项：
1 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上．
2.选择题作答时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需
改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其他答案标号．
3.非选择题作答时，用黑色签字笔将答案书写在答题卡上对应的答题区域内．
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题或超出答题区域书写无效．
5.考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）．
一、单选题：本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1. 设集合 ， ，则 （ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次不等式解得集合元素，利用交集，可得答案.
【详解】因为 ，所以 ．
故选：A.
2. 在下列区间中，函数 的零点所在的区间为（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
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【分析】
根据零点存在定理即可判断零点所在的区间，进而可得正确答案.
【详解】因为 ，
所以 ，
，
，
因为 ，
由零点存在定理可知： 的零点所在的区间为 ，
故选：B
3. 函数 的图像大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析： 为奇函数且 时，函数无意义，可排除 ，又在
是减函数，故选 .
考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性；3.函数的图象.
4. 若 ，则 是 的（ ）条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分
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C. 充要条件 D. 既不充分也不必要
【答案】A
【解析】
【分析】根据指、对数函数单调性解不等式，再根据包含关系分析充分、必要条件.
【详解】对于 ，则 ，解得 ；
对于 ，则 ，解得 ；
因为 是 的真子集，
所以 是 的充分不必要条件.
故选：A.
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数 与 为同一函数
B. 函数 （ ，且 ）的图象恒过点
C. 函数 的单调递减区间为
D. 函数 （ ，且 ）的图象恒过点
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的定义域及函数性质分别判断各选项.
【详解】对于 A：函数 定义域为 ， 的定义域为 ，定义域不同，A 选项错误；
对于 B：函数 （ 且 ）的图象恒过定点 ，
又函数 （ 且 ）的图象由函数
向右平移 个单位，再向下平移 个单位，
所以函数 恒过点 ，B 选项正确；
对于 C：函数 的单调递减区间为 和 ，C 选项错误；
对于 D：函数 （ 且 ）的图象恒过点 ，
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函数 （ ，且 ）的图象由函数
向右平移 个单位，再向下平移 个单位，
所以函数恒过点 ，D 选项错误.
故选：B.
6. 生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中 ， 分别表示河流中的生物种类数与生物
个体总数.已知某河流治理前后的生物种类数 没有变化，生物个体总数由 变为 ，若治理前的生物丰
富度指数为 4，则治理后的生物丰富度指数为（ ）
A. B. 3 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用给定函数模型，结合对数的运算性质求解即可.
【详解】设治理前的生物丰富度指数为 ，
则治理后的生物丰富度指数为 .
故选：C.
7. 若 ， ， ，则 ， ， 之间的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用对数函数性质和指数函数性质，借助中间量进行比大小.
【详解】因为 ，即 ；
，即 ；
，即 ，
所以 .
故选：D
8. 已知函数 ， 的定义域为 ， 是奇函数，函数 的图像关于直线 对称，且
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函 数 ， 对 任 意 ， ， 且 ， 都 有 ， 则
的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【 分 析 】 根 据 题 意 可 得 为 偶 函 数 ， 从 而 可 得 为 偶 函 数 ， 然 后 根 据 偶 函 数 的 性 质
，结合单调性即可解得不等式.
【详解】因为 的定义域为 ，
所以 的定义域为 ，关于原定对称，
因为函数 的图像关于直线 对称，
所以 的图像关于 轴对称，为偶函数，
又因为 为奇函数，
所以 ，
所以 为偶函数，图像关于 轴对称，
又因为对任意 ， ，且 ，都有 ，
所以 在 单调递增，
由 可得
平方整理可得 ，解得 或 ，
所以 的解集为
故选:C.
二、多项选择题：本大题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，
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有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 下列关于函数的说法中，正确的有（ ）
A. 与 是同一个函数
B. 的定义域为
C. 若 ，则
D. 的最小值为 2
【答案】BC
【解析】
【分析】逐个分析每个选项，通过定义域判断、换元法、函数单调性等方法分别验证对错.
【详解】选项 A， 定义域为 ， 定义域为 ，
定义域不同，不是同一函数，A 错误.
选项 B，由 ，解得 ，B 正确.
选项 C，令 ，则 ， ，
即 ，C 正确.
选项 D，令 ，则 ，在 单调递增，
所以 ，D 错误.
故选：BC
10. 对于函数 ，说法正确的有（ ）
A. 对 ，都有
B. 函数 有两个零点，且互为倒数
C. ，使得
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D. 对 ， ，都有
【答案】BD
【解析】
【分析】由对数运算性质判断 A 错，B 对，结合对数图像判断 C 错，D 对
【详解】 ， ，由对数运算法则知，选项 A
错误；
选项 B 中， ，即 或 ，互为倒数，故选项 B 正确；
由 的图像特征知，当 时， ，则 ，同理可证当
时， ，当 时， ，故选项 C 错误；
如图，由于 是上凸函数，故 应为 点对应纵坐标， 应为
点对应纵坐标，故 ，故选项 D 正确
故选:BD
【点睛】本题考查对数的基本运算和对数函数的特征，属于基础题
11. 已知函数 ，且 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由题意，作出函数 的图象，结合图形和二次函数的性质，依次判断选项即可.
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【详解】结合函数 的图象可知， ，故 A 错误；
由 ，可得 ，故 B 正确；
因为 ，所以 ，所以 ，则 ，
又 ，所以 ，
由二次函数性质得 在 上单调递增，
故 ，故 C 正确；
因 ，所以 ，故 D 正确．
故选：BCD
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知常数 ，若函数 反函数的图象经过点 ，则 ________
【答案】0
【解析】
【分析】根据题中条件，得到 的图象经过点 ，进而可求出结果.
【详解】因为函数 反函数的图象经过点 ，
所以 的图象经过点 ，则 ，所以 .
故答案为： .
13. 函数 的单调递减区间为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用对数型复合函数单调性的判断原则即可求解.
【详解】由 得 ，解得： 或 ，
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故函数 的定义域是 ；
令 ，
则 是减函数.
根据复合函数“同增异减”的原则，求 的单调递减区间即求 在定义域
内的单调递增区间，
因为 的单调递增区间为 ，
故函数 的单调递减区间为 .
故答案为： .
14. 已知函数 ，若正实数 满足 ，则 的最小值为
__________.
【答案】
【解析】
【分析】先判断 的单调性和奇偶性，由此求得 ，再利用基本不等式求得 的最小值.
【详解】由于 ，所以 的定义域为 ，
在 上单调递增，
因为 ，
所以 是 上的奇函数，且 在 上单调递增，又已知 ，
所以 ，即 1，
所以 ，
当且仅当 时取等号.
故答案为：
四、解答题：本题共 5 个小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 求下列各式的值：
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（1） ；
（2） ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据幂的运算法则求值.
（2）根据对数的运算法则求值.
【小问 1 详解】
原式
.
【小问 2 详解】
原式
.
16. 已知幂函数 在 上单调递增.
（1）求 的值；
（2）当 时，记 的值域为集合 ，若集合 ，且 ，求实数 的取
值范围.
【答案】（1） ；（2） 或 .
【解析】
【分析】
（1）由幂函数的定义可得；
（2）求出 的值域，再由集合交为空集的含义可得 .
【详解】（1）∵ 为幂函数，∴ ，∴ 或 2.
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当 时， 在 上单调递增，满足题意.
当 时， 在 上单调递减，不满足题意，舍去.
∴ .
（2）由（1）知， .∵ 在 上单调递增，∴
由于此题中 ，要满足 ，只需 ， .
【点睛】此题考查幂函数概念、空集概念、集合交运算，属于基础题.
17. 为提高水果销售量，助力乡村振兴，某镇欲建立一个水果箱加工厂，每年需投入固定成本 万元，当年
产量 （单位：万件）低于 万件时，流动成本 （万元），当年产量 （单位：万件）不
低于 时， （万元）.经调研，每件水果箱售价为 元，每年加工的水果箱能全部售
完.
（1）求年利润 关于年产量 （单位：万件）的函数关系式；（注：年利润 年销售额 固定成本 流
动成本）
（2）求年产量 （单位：万件）为多少时，年利润 取得最大值，并求出 的最大值.
【答案】（1）
（2）年产量为 万件时，年利润 取得最大值 万元
【解析】
【分析】(1)根据年利润 年销售额 固定成本 流动成本，分 和 两种情况得到 的解
析式即可；
(2)当 时，根据二次函数求最大值的方法来求最大值，当 时，利用基本不等式求最大值，
最后综合即可．
【小问 1 详解】
当 时， ，
当 时， ，
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所以 ；
【小问 2 详解】
当 时， ，
此时 ， ；
当 时， ，
当且仅当 ，即 时，取得等号．
因为 ，所以年产量为 万件时，年利润 取得最大值 万元．
18 已知函数 .
(1)判断函数 的奇偶性,并给出证明;
(2)判断函数 在 上的单调性;
(3)解不等式: .
【答案】(1) 为奇函数,证明见解析;(2) 在区间 单调递减;(3) .
【解析】
【分析】（1）由奇偶性定义判断并证明；
（2）由单调性定义证明；
（3）由奇函数性质化不等式为 ，再由单调性转化求解．
【详解】(1)函数 奇函数.
证明如下:由 ,解得 或 ,
所以函数的定义域为 .
对任意的 ,有 ,
所以函数 为奇函数.
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(2)令 ,易知 在区间 单调递减,
由复合函数的单调性可得 在区间 单调递减;
(3)由 ;
所以 ,
等价于 , ， ．
∴ .
【点睛】本题考查对数型复合函数的奇偶性和单调性，属于中档题．
19. 已知函数 ， ，且函数 是偶函数．
（1）求 的解析式；
（2）若不等式 在 上恒成立，求 的取值范围；
（3）若函数 恰好有三个零点，求 的值及该函数的零点
【答案】（1） ；（2） ；（3） ，零点为 0， ，2．
【解析】
【分析】(1)根据 是偶函数求得表达式算出 的值,进而求得 的解析式即可.
(2)换元令 ,再求解 的最小值,化简利用二次不等式进行范围运算即可.
(3)换元令 ,结合复合函数的零点问题,分析即可.
详解】解：（1）∵ ，∴
．
∵ 是偶函数，∴ ，∴ ．
∴ ，∴ ．
（2）令 ，∵ ，∴ ，
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不等式 在 上恒成立，等价于 在 上恒成立，
∴ ．
令 ， ，则 ， ，∴ ．
（3）令 ，则 ，
方程 可化为 ，
即 ，也即 ．
又∵偶函数 恰好有三个零点，所以必有一个零点为 0，
∴ 有一个根为 2，∴ ．∴ ，解得 或 ．
由 ，得 ，由 ，得 ，∴零点为 0， ，2．
【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求解方法以及换元法求复合函数的应用,包括二次函数的范围
问题等与函数零点的问题.属于难题.
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