四川省眉山市仁寿县2025_2026学年高一数学上学期12月月考试题含解析

这是一份四川省眉山市仁寿县2025_2026学年高一数学上学期12月月考试题含解析，共14页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置．
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】确定集合 ，再由交集运算即可求解.
【详解】 ，
所以 ，
故选：A
2. 命题“ ”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据全称命题的否定为存在量词命题写出即可.
【详解】全称量词命题的否定为存在量词命题，
命题“ ”的否定是“ ”．
故选：B
3. 设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
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【分析】先求解一元二次不等式，再应用充分必要条件定义判断.
【详解】“ ”化简得 ，
所以“ ”可以推出“ ”，
“ ”不可以推出“ ”，
所以“ ”是“ ” 充分不必要条件.
故选：A.
4. 不等式 的解集为 ,则函数 的图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，可得方程 的两个根为 和 ，且 ，结合二次方程根与系
数的关系得到 、 、 的关系，再结合二次函数的性质判断即可．
【详解】根据题意， 的解集为 ，则方程 的两个根为
和 ，且 .
则有 ，变形可得 ，
故函数 是开口向下的二次函数，且与 轴的交点坐标为
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和 .
对照四个选项，只有 C 符合.
故选：C．
5. 若 ， ， ，则 a、b、c 的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用幂函数 在第一象限内是增函数，即可判断 的大小.
【详解】因为 ， ， ，
又 在第一象限内是增函数， ，
所以 ，即 .
故选：D.
6. 已知函数 在 上的最大值为 ，最小值为 ，则 为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设 ，而函数 在 为奇函数，则 ，进
行求解即可．
【详解】设 ，则 ，
而函数 在 为奇函数，则 ，
故 ，
故选：C
7. 若函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是（ ）
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A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一次函数以及二次函数的性质，结合端点处的函数值，由已知列出不等式组，求解即可得出
答案.
【详解】因为 在 上单调递减，
根据一次函数以及二次函数的性质，结合端点处的函数值，
可得 ，
解得 .
故选：C.
8. 若函数 在定义域 上的值域为 ，则称 为“ 函数”．已知函数
是“ 函数”，则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】根据“ 函数”的定义确定 的值域为 ，结合每段上的函数的取值范围列出相应不等式，
即可求得答案.
【分析】由题意可知 的定义域为 ，又因为函数 是“ 函数”，
故其值域为 ，而 ，则值域为 ；
当 时， ，
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当 时， ，对称轴 且开口向上，
则 上单调递增，则 ，
故由函数 是“ 函数”可得 ，
解得 ，即实数 的取值范围是 ，
故选：C.
二、多选题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分．有选错的得 0 分．
9. 下列命题中，正确的有（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则
【答案】BD
【解析】
【分析】举例说明判断 AC；利用不等式的性质判断 B；利用作差法判断 D.
【详解】对于 A，取 ，满足 ，而 ，A 错误；
对于 B，由 ，得 ，则 ，B 正确；
对于 C，由 ，满足 ，但是 ，C 错误；
对于 D，由 ，得 ，D 正确.
故选：BD
10. 下列函数中，既是偶函数，又在 上单调递增的是（ ）
A. B.
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C D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据给定条件，利用偶函数定义及函数单调性逐项判断即得.
【详解】对于 A，函数 定义域为 ，不是偶函数，A 错误；
对于 B，函数 定义域为 R， ，是偶函数，且在 上单调递增，B 正确；
对于 C，函数 定义域为 R， ，是偶函数，
且当 时， ，则其在 上单调递增，C 正确；
对于 D，因为 ， ，则 ，不是偶函数，D 错误.
故选：BC
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值为 2 B. 的最小值为 1
C. 的最大值为 2 D. 最小值为
【答案】BD
【解析】
【分析】A 选项，举出反例；B 选项，利用 得到 ；
C 选项，配方法得到 ，从而求出最大值为 1；
D 选项，变形后利用基本不等式求出最小值.
【详解】当 时， 无最小值，故 A 错误；
因为 ，所以 ，故 B 正确；
，所以 的最大值为 1，C 错误；
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，D 正确.
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故选：BD
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．请将答案填在答题卷的相应位置．
12. 已知幂函数 的图象过点 ，则 ___________.
【答案】
【解析】
【分析】设出函数的解析式，将点的坐标代入，即可求解.
【详解】设幂函数 ，
由幂函数 图象过点 得： ，
即 ，
所以 ，
故答案为： .
13. 已知函数 满足 ，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】通过换元求得函数解析式，进而可求解.
【详解】令 ，则 ，
所以 ，
所以 ，
，
所以 ，
故答案为：
14. 已知函数 ，若 为偶函数，则实数 的值为__________________．
【答案】
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【解析】
【分析】由题可得 解析式，然后由偶函数性质可得答案.
【详解】 ，
因 为偶函数，则 .
故答案为：
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 计算下列各式：
（1） ；
（2）已知 ，求 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用根式的运算性质、指数的运算性质化简可得所求代数式的值；
（2）利用平方关系可求出 的值.
【小问 1 详解】
原式 .
【小问 2 详解】
因为 ，故 ，所以 ，
因为 ，故 .
16. 已知集合 ．
（1）若 时，求 和 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
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【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）先给出集合 ，再由集合间的运算求解；
（2）由 得 ，即可求解．
【小问 1 详解】
当 时，则 ，
而 ，得
，
得 ，
.
【小问 2 详解】
由 得 ，
因为 ，所以 ，而 ，
可得
得 ，
故实数 的取值范围为 .
17. 如图所示，学校要围建一个面积为 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙时需
要维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为 的出入口，已知旧墙的维修费用
为 56ꢀ元 ，新墙的造价为 200 元 ，设利用旧墙的长度为 （单位： ），修建此矩形场地的总费用为
（单位：元）.
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（1）求 关于 的函数表达式；
（2）当 时，求总费用 ；
（3）试确定 的值，使修建此矩形场地的总费用最小，并求出最小总费用.
【答案】（1）
（2）
（3） ，最小总费用是 12200 元
【解析】
【分析】（1）总费用包括维修费用和新墙费用，旧墙长度为 ，新墙长度为 ，乘单价后
相加得到总费用 ；
（2）将 代入，得到 的值；
（3）由基本不等式求得最值.
【小问 1 详解】
设利用旧墙的长度为 ，则另一边长为 ，
所以新墙总长度为 ，
则
，
故 .
【小问 2 详解】
由（1）知， ，
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所以当 时， .
【小问 3 详解】
因为 ，所以 ，由基本不等式有 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故当利用旧墙的长度为 时，修建此矩形场地的总费用最小，最小总费用是 12200 元.
18. 已知定义在 上的函数 在区间 上单调递减，且 ，
.
（1）证明： ；
（2）判断函数 的奇偶性，并给予证明；
（3）当 时，求不等式 .
【答案】（1）证明见解析；
（2）函数 为偶函数，证明见解析；
（3）
【解析】
【分析】（1）令 ， 得 ，结合已知得 ，即可证；
（2）取 ，观察等式 与奇偶性的自变量互为相反数，即可证；
（3）用赋值法，将 转化为 ，从而把不等式转化为关于 的一元二次不等式，利用
的单调性和奇偶性可可解不等式．
【小问 1 详解】
令 ， ，则 ，即 ，
因 ，所以 ；
【小问 2 详解】
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函数 为偶函数，证明如下：
由（1）知， ，令 ，则 ，
所以 ，所以 ，
所以函数 为偶函数；
【小问 3 详解】
令 ，则 ，
所以 ，所以 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，即 ，
又 ， ，所以 ．
当 时， 在区间 上单调递减，
由（2）知函数 为偶函数，所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，解得 ．
所以当 时，不等式 的解集为 .
19. 我们知道，函数 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数，
有同学发现可以将其推广为：函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数
为奇函数．给定函数 ．
（1）写出函数 图象的对称中心（只写出结论即可，不需证明）；
（2）试解决以下问题：
（i）判断函数 在区间 上的单调性，并用定义证明；
（ii）已知函数 是奇函数，且当 时， ，若对任意 ，
总存在 ，使得 ，求实数 的取值范围．
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【答案】（1）
（2）（i）函数 在区间 上单调递增，证明见解析；（ii）
【解析】
【分析】（1）利用分离常数化简函数解析式，根据奇函数的性质以及函数的图像变换，可得答案.
（2）（i）根据单调性的定义，利用作差法，可得答案；（ii）根据题意分别求得函数在其给定区间上的最值，
分情况建立不等式，可得答案.
【小问 1 详解】
函数 图象的对称中心为 .
由 ，
令 ，显然函数 的定义域为 ，
且 ，则函数 为奇函数.
所以函数 图象的对称中心为 .
【小问 2 详解】
（i）函数 在区间 上单调递增.
设 ，则
.
因为 ，所以 ， ， ，
即 .
因此 ，即 ，故函数 在区间 上单调递增.
（ii）由（i）可知 在 上单调递增，
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则函数 在 上的最大值为 .
令 ，由题意可得函数 为奇函数，
令 ，即 ，则 ；
令 ，即 ，则 .
由函数 为奇函数，即 ，则 ，
当 ，即 ，则 ，
令 ，则 ，
即 .
综上可得 ，
当 时， ，易知函数 在 上单调递减，则 ，
由题意可得 ，解得 ，故 ；
当 时， ，
易知函数 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，
则 ，由题意可得 ，解得 ，故
；
当 时， ，易知函数 在 上单调递增，则 ，
由题意可得 ，解得 ，故 .
综上可得 .
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