辽宁省铁岭市西丰县2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷（含解析）

这是一份辽宁省铁岭市西丰县2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第一部分 选择题
一、选择题（共10题，每题3分，共30分）下列各题的备选答案中，只有一项是正确的．请将正确答案的选项填入下表中相应题号下的空格内．
1．在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．图1是一个球形烧瓶，图2是这个球形烧瓶下半部分的平面示意图，若为的中点，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．已知反比例函数，则下列描述不正确的是（ ）
A．图象必经过点B．图象位于第一、第三象限
C．当时，随的增大而减小D．当时，
5．某校九年级数学兴趣小组做摸球试验，在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的黑球、白球共20个．将球搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色后再放入袋中，不断重复，下表是试验中的一组数据，由此可以估计袋中白球的个数为（ ）
A．7B．8C．10D．12
6．已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A．且B．
C．且D．且
7．如图，内接于是的直径，若，则的度数是（）
A．B．C．D．
8．二次函数的图象如右图所示，反比例函数与正比例函数在同一坐标系内的大致图象是( )
A．B．
C．D．
9．如图，在中，，，，将绕点旋转得到，当点恰好落在直线上时，的长为（ ）
A．B．C．D．6
10．如图，以正六边形的顶点为圆心，的长为半径画弧，得到，连接AC，AE，若的长为，则正六边形的边长为（ ）
A．2B．C．D．
第二部分 非选择题
二、填空题（共6题，每题3分，共15分）
11．如果m是方程的一个根，则 ．
12．当时，二次函数的最小值为，则的值为 ．
13．如图，是的直径，过点D的切线与的延长线相交于点，且，则的度数为 ．
14．如图，的顶点在量角器的外周边上，射线与量角器的交点和对应的刻度分别是和，则的度数为 ．
15．如图，矩形的边与y轴平行，顶点B的坐标为，，反比例函数的图象同时经过点A与点C，则k的值为 ．
三、解答题（共8题，共75分）
16．解方程．
(1)；
(2)．
17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，且点的纵坐标为．过点作轴交反比例函数的图象于点，连接．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求的面积．
18．瓷板画（图1）最早可追溯到秦汉时期，是我国非物质文化遗产，可装裱或嵌入屏风中，作观赏用．图2为其平面示意图，A，C为上的两点，连接，（桌面），的半径，，分别与直线垂直于B，D两点，，，过点O作于点E，交于点F，求圆心O到桌面的距离．
19．某小区物业为了解本小区居民免费乘车情况和满意度，设计了一份调查问卷，并在该小区随机调查了50人，并将部分调查数据制成如下两个统计图．请根据统计图回答问题：
(1)①调查的50人中，55岁以上的有________人，的值为________，
②物业人员准备从已经筛选出的经常乘坐免费公交车的调查问卷中，随机抽取一份问卷，则恰好抽到乘车体验为“满意”的概率为________；
(2)本次活动结束后，物业人员从经常乘车但不太满意的几位居民中，随机抽取两位到物业公司座谈并提出合理有效的解决乘坐免费公交车的方案．求恰好抽到20岁岁这个范围内的居民的概率．
20．为了方便居民收取快递，某小区计划在小区内每个街区的空地搭建一个面积为平方米的快递投放点．如图是其中一个街区的快递投放点的设计图，该快递投放点为矩形且一边靠墙，这堵墙长米，在垂直于墙的两边分别开设“进口”和“出口”两道米宽的门．准备施工时，王师傅却忘记了该快递投放点的具体长宽，只记得围建投放点的三边（不含靠墙的一边和两道门）共需高度适当的板材米．请你帮助王师傅求出这个快递投放点的边和的长．
21．如图，在中，为弦，为直径，且于点，连接，过点作于点与相交于点，连接．
(1)求证：是线段的中点．
(2)若，求的半径．
22．在中，，为的中点．将以点为中心顺时针方向旋转，点，的对应点分别为点，，与的交点为．
(1)如图1，当时，判断四边形的形状，并说明理由；
(2)如图2，当点恰好落在边上时，
①猜想线段，的数量关系，并说明理由；
②若，，请直接写出线段的长度．
23．（1）如图1，点是线段上的一点，，，，垂足分别为，，；．求证：；
（2）如图2，点在反比例函数图像上，连接，将绕点逆时针旋转到，若反比例函数经过点．
①求点的坐标，
②求反比例函数的解析式；
（3）如图3，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，已知点，连接，抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的横坐标．
参考答案
1．B
解：∵点与点关于原点成中心对称，
∴点B的坐标为．
故选：B．
2．C
解：∵方程,
∴配方需加于两边,
得,
即.
∴变形后结果为．
故选：C.
3．A
解：D为的中点，
，
．
故选：A．
4．D
解：A、∵，，
∴当时，，图象经过点，
∴A正确；
B、，
∴图象位于第一、第三象限，
∴B正确；
C、∴在每个象限内，随增大而减小，
当时（第三象限），随增大而减小，
∴C正确；
D、当时，例如，，故，
∴D错误．
故选：D．
5．B
解：由表中数据可知，摸到黑球的概率为0.6，
袋中白球的个数为（个），
故选：B．
6．C
解：∵方程有两个实数根，
∴，且，
即，解得，
∴且．
故选：C．
7．A
解：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
在中，
∵，
∴，
故选：．
8．B
解：∵的图象开口向下，
∴，
对称轴在轴的左侧，
∴，
∴，
∴反比例函数在第二、四象限，正比例函数在第二、四象限，
故选：B．
9．D
解：绕点旋转得到，
，
， ，
,
又，
在中，
，
，
，
，
．
故选：D．
10．D
解：设正六边形的边长为x，
∴，，
∵，
∴，
过B作于H，
∴，，
在中，，
∴，
同理可证，，
∴，
∵的长为，
∴，
解得，
正六边形的边长为．
故选：D．
11．4
解：m是方程的一个根，
当时，有，
．
故答案为：4．
12．
可知二次函数开口向上，当时，取得最小值为．
令，得方程，解得或．
由于当时最小值为，因此．
故答案为：
13．
解：如图，连接，
∵为的切线，
∴，
∴，
∵所对的圆心角为，圆周角为，
∴，
∵，在中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14．
解：连接点、与量角器圆心，如下图所示：
∴，
∵点、、三点共圆，
优弧所对圆心角为，
故优弧所对圆周角，
故答案为：．
15．
解：∵矩形的边与y轴平行，顶点B的坐标为，，
∴，，
∵反比例函数的图象同时经过点A与点C，
∴，
解得，
∴．
故答案为：．
16．(1)，
(2)，
（1）解：
∴或，
解得，；
（2）解：
∴或，
解得，．
17．(1)
(2)
（1）解：把代入，得，
，
把代入，得，
所以反比例函数的表达式为；
（2）解：一次函数的图象与轴交于点
当时，，
点的坐标为，
轴，
点的纵坐标与点的纵坐标相同，是，
点在反比例函数的图象上，
当时，解得，
，
如图，过作于，则，
．
18．27cm
∵，，分别垂直于点B，D，
∴，.
∵，
∴．
在中，根据勾股定理得，
∴．
19．(1)①30，10；②
(2)
（1）解：①55岁以上的有（人），
，
，
故答案为：30，10；
②恰好抽到乘车体验为“满意”的概率为，
故答案为：；
（2）解：不满意的人有（人），
设20岁岁这个范围内居民为A，55岁以上的三位居民分别为，，，
根据题意，列表格如下∶
或画树状图如下：
由表格可知：随机选居民去参加座谈，共有12种等可能的情况，
其中恰好选20岁岁这个范围内居民的有6种情况，即，，，，，，
∴恰好抽到20岁岁这个范围内的居民的概率．
20．长米，长米．
解：设长为米，则米，
根据题意得：，
解得：，，
当时，（不符合题意，舍掉），
当时，，
答：这个快递投放点的边长米，长米．
21．(1)见解析
(2)的半径为
（1）证明：，
．
，
．
∵，
∴，
．
∵，
，
，
是线段的中点．
（2）解：如图，连接．
设，则．
由（1），知，
．
，
，即，
解得（负值已舍去），
∴的半径为．
22．(1)四边形是菱形，理由见解析
(2)①，理由见解析；②
（1）解：四边形为菱形，理由如下：
，
，
根据旋转的性质可得，，
，
，
，
，
∴四边形为平行四边形，
为的中点，
，
∴平行四边形为菱形；
（2）解：①，理由如下：
如图，连接，
根据旋转可得，，
，为的中点，
，
，即
根据（1）中可得，
，
，，
，为的中点，
，
，即，
，
，
；
②如图，过点作于点，
，
，
根据三角形面积公式可得，
，
根据勾股定理可得，
，
．
23．（1）证明见解析；（2）①，②；（3）存在，或
（1）证明：∵，，
∴，
∵,
.
∴，
又∵，，
∴．
（2）解：①∵点在反比例函数上，
∴，
∴点坐标为，
过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点，如下图所示：
∴，
∵,
.
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∵点坐标为，
∴，，
∴，，
又∵点在第四象限
∴点坐标为；
②∵点在反比例函数上，
∴，
解得，
∴反比例函数的解析式为．
（3）解：抛物线，
当时，得，
解得或，
∴点的坐标为，
∴，，
分类讨论：①将绕点逆时针旋转得，连接并延长，交抛物线于点,如下图所示：
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
由（2）中，同理可得点坐标为，
令直线解析式为，
将点，代入，
得，解得，
∴，
∵点为与的交点，
∴，
解得或，
故点的横坐标为；
分类讨论：②将绕点顺时针旋转得，连接并延长，交抛物线于点,如下图所示：
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
由（2）中，同理可得点坐标为，
令直线解析式为，
将点，代入，
得，解得，
∴，
∵点为与的交点，
∴，
解得或，
故点的横坐标为；
综上，点的横坐标为或．
摸球次数
摸到黑球的次数
摸到黑球的频率
50
28
0.56
100
61
0.61
150
93
0.62
200
124
0.62
250
145
0.58
300
189
0.63
500
300
0.60
调查问卷
年龄________岁；具体地址：________
问题1：您乘坐免费公交车吗（ ）
A．从不坐 B．偶尔坐 C．经常坐
问题2：若您乘坐免费公交车，请对乘车体验作出评价（ ）
A．满意 B．不太满意
A
A