2022-2023学年北京市东城区景山学校七年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年北京市东城区景山学校七年级（上）期末数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）若一个三角形的一个角等于其它两个角的差，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．以上都有可能
2．（2分）下列运算中，正确的是（ ）
A．3x2+2x3＝5x5B．a•a2＝a3
C．3a6÷a3＝3a2D．（ab）3＝a3b
3．（2分）如图，红旗中学七年级（6）班就上学方式作出调查后绘制了条形图，那么乘车上学的同学人数占全班人数的（ ）
A．B．C．D．
4．（2分）如图，已知△ABC，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与△ABC全等的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
5．（2分）已知am＝2，an＝3，则am+2n的值是（ ）
A．6B．18C．36D．72
6．（2分）线段CD是由线段AB平移得到的，若点A（﹣1，4）的对应点为C（4，7），则点B（﹣4，﹣1）的对应点D的坐标为（ ）
A．（1，2）B．（5，3）C．（2，9）D．（﹣9，﹣4）
7．（2分）若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（ ）
A．6B．7C．8D．9
8．（2分）（a+b）n（n为非负整数）当n＝0，1，2，3，…时的展开情况如下所示：
（a+b）0＝1
（a+b）1＝a+b
（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
观察上面式子的等号右边各项的系数，我们得到了如图所示：
这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了（a+b）n展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．根据图，你认为（a+b）9展开式中所有项系数的和应该是（ ）
A．128B．256C．512D．1024
二、填空题（每小题2分，共16分）
9．（2分）已知点P的坐标是（﹣2，3），则点P到x轴的距离是 ．
10．（2分）如图，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，则DE的长为 ．
11．（2分）若（x+y2）（x﹣y2）（x2+y4）＝xm﹣yn，则m＝ ，n＝ ．
12．（2分）如果x2+mx+16是完全平方式，则实数m的值是 ．
13．（2分）如图，在△ABC中，CD是它的角平分线，DE⊥AC于点 E．若BC＝6cm，DE＝2cm，则△BCD的面积为 cm2．
14．（2分）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是 ．
15．（2分）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是 ．
16．（2分）如图1，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，若AB＝AC+CD，那么∠ACB与∠ABC有怎样的数量关系？小明通过观察分析，形成了如下解题思路：
如图2，延长AC到E，使CE＝CD，连接DE．由AB＝AC+CD，可得AE＝AB．又因为AD是∠BAC的平分线，可得△ABD≌△AED，进一步分析就可以得到∠ACB与∠ABC的数量关系．
（1）判定△ABD与△AED全等的依据是 ；
（2）∠ACB与∠ABC的数量关系为： ．
三、解答题（本题共68分，第17题6分，第18题-20题每题5分，第21题6分，第22-24题，每题5分，第25-26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（6分）计算：
（1）（12a3﹣6a2+3a）÷3a；
（2）（x+2y）2﹣2x（3x+2y）+（x+y）（x﹣y）．
18．（5分）已知（a+b）2＝10，（a﹣b）2＝2，求a2+b2，ab的值．
19．（5分）如图，AB，CD交于点O，AD∥BC．请你添加一个条件 ，
使得△AOD≌△BOC，并加以证明．
20．（5分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC．若∠B＝70°，∠C＝40°，求∠DAE的度数．
21．（6分）已知点P（2a﹣7，3﹣a）．
（1）若点P在第三象限，求a的取值范围；
（2）点P到y轴的距离为11，求点P的坐标．
22．（5分）已知a，b，c是△ABC的三边，且满足关系式a2+c2＝2ab+2bc﹣2b2，试判断△ABC的形状．
23．（5分）如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，请利用尺规作图法在线段BC上作一点D，使点D到边AB的距离等于CD．（不写作法，保留作图痕迹）
24．（5分）某校为了解落实“双减”政策后学生每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）的情况，在全校随机抽取部分小学生进行调查，按四个组别进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题：
抽取的学生作业时间统计表
（1）这次调查抽取学生的总人数是 ，B组的学生人数a＝ ；
（2）该校共有学生1500人，请估算该校每日书面作业时间不少于90分钟的学生人数；
（3）请结合数据对该校“双减”工作提出一条合理性建议．
25．（6分）如图，△ACB中，点D是AB边上一点，点E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△FCE；
（2）若CD＝CF，∠DCF＝120°，求∠ACD的度数．
26．（6分）如图，已知BE、CF是△ABC的边AC、AB上的高，P是BE上的一点，且BP＝AC，Q是CF的延长线上的一点，且CQ＝AB，求证：AQ＝AP且AQ⊥AP．
27．（7分）如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，2），且|a+2|+（b﹣3）2＝0．
（1）求a，b的值；
（2）在y轴的上存在一点M，使S△COM＝S△ABC，求点M的坐标；
（3）如图2，过点C作CD⊥y轴交y轴于点D，点P为线段CD延长线上一动点，连接OP，OE平分∠AOP，OF⊥OE．当点P运动时的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由．
28．（7分）对于代数式，不同的表达形式能表现出它的不同性质．例如代数式A＝x2﹣4x+5，若将其写成A＝（x﹣2）2+1的形式，就能看出不论字母x取何值，它都表示正数；若将它写成A＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+2的形式，就能与代数式B＝x2﹣2x+2建立联系．下面我们改变x的值，研究一下A，B两个代数式取值的规律：
（1）表中p的值是 ；
（2）观察表格可以发现：
若x＝m时，B＝x2﹣2x+2＝n，则x＝m+1时，A＝x2﹣4x+5＝n．我们把这种现象称为代数式A参照代数式B取值延后，此时延后值为1．
①若代数式D参照代数式B取值延后，相应的延后值为2，求代数式D；
②已知代数式3x2﹣10x+b参照代数式3x2﹣4x+c取值延后，请直接写出b﹣c的值．
2022-2023学年北京市东城区景山学校七年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题只有一个选项符合题意，每小题2分，共16分）
1．（2分）若一个三角形的一个角等于其它两个角的差，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．以上都有可能
【分析】设△ABC中，∠A＝∠C﹣∠B，可以推出∠C＝90°，即可判断三角形的形状．
【解答】解：设△ABC中，∠A＝∠C﹣∠B，则∠C＝∠A+∠B，
∴∠C＝180°﹣∠C，
∴∠C＝90°，
∵这个三角形是直角三角形，
故选：B．
【点评】本题考查三角形的内角和定理，直角三角形的判定，关键是掌握三角形的内角和定理．
2．（2分）下列运算中，正确的是（ ）
A．3x2+2x3＝5x5B．a•a2＝a3
C．3a6÷a3＝3a2D．（ab）3＝a3b
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、3x2+2x3，无法计算，故此选项错误；
B、a•a2＝a3，正确；
C、3a6÷a3＝3a3，故此选项错误；
D、（ab）3＝a3b3，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．（2分）如图，红旗中学七年级（6）班就上学方式作出调查后绘制了条形图，那么乘车上学的同学人数占全班人数的（ ）
A．B．C．D．
【分析】由图中得乘车上学的人数是8人，用乘车上学的人数除以全班人数即可．
【解答】解：由图中得乘车上学的人数是8人，全班人数为24+8+16＝48（人），
∴乘车上学的同学人数占全班人数的＝，
故选：B．
【点评】本题考查的是条形统计图的运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
4．（2分）如图，已知△ABC，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与△ABC全等的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】利用全等三角形的判定方法，即可解答．
【解答】解：如图，已知△ABC，上面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与△ABC全等的是乙，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
5．（2分）已知am＝2，an＝3，则am+2n的值是（ ）
A．6B．18C．36D．72
【分析】利用同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则进行运算即可．
【解答】解：当am＝2，an＝3时，
am+2n
＝am×a2n
＝am×（an）2
＝2×32
＝2×9
＝18．
故选：B．
【点评】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
6．（2分）线段CD是由线段AB平移得到的，若点A（﹣1，4）的对应点为C（4，7），则点B（﹣4，﹣1）的对应点D的坐标为（ ）
A．（1，2）B．（5，3）C．（2，9）D．（﹣9，﹣4）
【分析】由于线段CD是由线段AB平移得到的，而点A（﹣1，4）的对应点为C（4，7），比较它们的坐标发现横坐标增加5，纵坐标增加3，利用此规律即可求出点B（﹣4，﹣1）的对应点D的坐标．
【解答】解：∵线段CD是由线段AB平移得到的，
而点A（﹣1，4）的对应点为C（4，7），
∴由A平移到C点的横坐标增加5，纵坐标增加3，
则点B（﹣4，﹣1）的对应点D的坐标为（1，2）．
故选：A．
【点评】本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
7．（2分）若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【分析】首先设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180°（n﹣2），即可得方程180°（n﹣2）＝1080°，解此方程即可求得答案．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
根据题意得：180°（n﹣2）＝1080°，
解得：n＝8．
故选：C．
【点评】此题考查了多边形的内角和公式．此题比较简单，注意熟记公式是准确求解此题的关键，注意方程思想的应用．
8．（2分）（a+b）n（n为非负整数）当n＝0，1，2，3，…时的展开情况如下所示：
（a+b）0＝1
（a+b）1＝a+b
（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
观察上面式子的等号右边各项的系数，我们得到了如图所示：
这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了（a+b）n展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．根据图，你认为（a+b）9展开式中所有项系数的和应该是（ ）
A．128B．256C．512D．1024
【分析】由特殊情况，可以总结出一般规律．
【解答】解：当n＝0时展开式所有系数的和为1＝20．
当n＝1时展开式所有系数的和为2＝21．
当n＝2时展开式所有系数的和为22．
当n＝3时展开式所有系数的和为8＝23．
当n＝4时展开式所有系数的和为16＝24．
当n＝5时展开式所有系数的和为32＝25．
……
∴当n＝9时展开式所有系数的和为29＝512．
故选：C．
【点评】本题考查杨辉三角的有关知识，关键是由特殊情况观察规律．
二、填空题（每小题2分，共16分）
9．（2分）已知点P的坐标是（﹣2，3），则点P到x轴的距离是 3 ．
【分析】根据点到x轴的距离是点的纵坐标的绝对值，可得答案．
【解答】解：因为点P的坐标是（﹣2，3），
所以点P到x轴的距离是3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了点的坐标，解题的关键是掌握点到x轴的距离是点的纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是点的横坐标的绝对值．
10．（2分）如图，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，则DE的长为 2 ．
【分析】根据全等三角形的性质得到DB＝AC＝7，结合图形计算即可．
【解答】解：∵△ABC≌△DCB，
∴DB＝AC＝7，
∴DE＝BD﹣BE＝7﹣5＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．
11．（2分）若（x+y2）（x﹣y2）（x2+y4）＝xm﹣yn，则m＝ 4 ，n＝ 8 ．
【分析】因式分解后根据等号左右两边指数相等解答．
【解答】解：∵（x+y2）（x﹣y2）（x2+y4）
＝（x2﹣y4）（x2+y4）
＝x4﹣y8
∴xm﹣yn＝x4﹣y8，
∴m＝4，n＝8，
故答案为：m＝4，n＝8．
【点评】本题考查了平方差公式，熟悉平方差公式的不同形式是解题的关键．
12．（2分）如果x2+mx+16是完全平方式，则实数m的值是 ±8 ．
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
【解答】解：∵x2+mx+16是一个完全平方式，x2+mx+16＝x2+mx+42，
∴mx＝±2x•4，
解得m＝±8．
故答案为：±8．
【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
13．（2分）如图，在△ABC中，CD是它的角平分线，DE⊥AC于点 E．若BC＝6cm，DE＝2cm，则△BCD的面积为 6 cm2．
【分析】作DF⊥BC于F，根据角平分线的性质求出DF，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：作DF⊥BC于F，
∵CD是它的角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DF＝DE＝2，
∴△BCD的面积＝×BC×DF＝6（cm2），
故答案为：6．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
14．（2分）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是 1＜AD＜4 ．
【分析】延长AD到E，使DE＝AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得CE＝AB，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围，然后即可得解．
【解答】解：如图，延长AD到E，使DE＝AD，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE＝AB，
∵AB＝5，AC＝3，
∴5﹣3＜AE＜5+3，
即2＜AE＜8，
1＜AD＜4．
故答案为：1＜AD＜4．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，遇中点加倍延，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
15．（2分）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是 在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上 ．
【分析】过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，根据题意可得PE＝PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，可得OP平分∠AOB．
【解答】解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE＝PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故答案为：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．
16．（2分）如图1，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，若AB＝AC+CD，那么∠ACB与∠ABC有怎样的数量关系？小明通过观察分析，形成了如下解题思路：
如图2，延长AC到E，使CE＝CD，连接DE．由AB＝AC+CD，可得AE＝AB．又因为AD是∠BAC的平分线，可得△ABD≌△AED，进一步分析就可以得到∠ACB与∠ABC的数量关系．
（1）判定△ABD与△AED全等的依据是 SAS ；
（2）∠ACB与∠ABC的数量关系为： ∠ACB＝2∠ABC ．
【分析】（1）根据已知条件即可得到结论．
（2）根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1））∵AB＝AE，∠BAD＝∠EAD，AD＝AD，所以判定△ABD与△AED全等的依据是SAS．
故答案为：SAS．
（2）∵△ABD≌△AED，
∴∠B＝∠E，
∵CD＝CE，
∴∠CDE＝∠E，
∴∠ACB＝2∠E，
∴∠ACB＝2∠ABC．
故答案为：SAS，∠ACB＝2∠ABC．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
三、解答题（本题共68分，第17题6分，第18题-20题每题5分，第21题6分，第22-24题，每题5分，第25-26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（6分）计算：
（1）（12a3﹣6a2+3a）÷3a；
（2）（x+2y）2﹣2x（3x+2y）+（x+y）（x﹣y）．
【分析】（1）直接利用整式的除法运算法则计算得出答案；
（2）直接利用乘法公式以及单项式乘多项式运算法则化简，进而得出答案．
【解答】解：（1）原式＝12a3÷3a﹣6a2÷3a+3a÷3a
＝4a2﹣2a+1；
（2）原式＝x2+4y2+4xy﹣6x2﹣4xy+x2﹣y2
＝﹣4x2+3y2．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
18．（5分）已知（a+b）2＝10，（a﹣b）2＝2，求a2+b2，ab的值．
【分析】利用完全平方公式求解即可．
【解答】解：∵（a+b）2＝10，（a﹣b）2＝2，
∴a2+b2＝[（a+b）2+（a﹣b）2]＝×（10+2）＝6，
ab＝×[（a+b）2﹣（a﹣b）2]＝×（10﹣2）＝2．
【点评】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键是熟记完全平方公式．
19．（5分）如图，AB，CD交于点O，AD∥BC．请你添加一个条件 OA＝OB或OD＝OC或AD＝BC ，
使得△AOD≌△BOC，并加以证明．
【分析】根据全等三角形的判定方法即可判断．
【解答】解：添加条件：OA＝OB或OD＝OC或AD＝BC．
理由：当添加OA＝OB时，
∵AD∥BC，
∴∠A＝∠B，
在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（ASA）．
添加OD＝OC或AD＝BC同法可证．
故答案为OA＝OB或OD＝OC或AD＝BC．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20．（5分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC．若∠B＝70°，∠C＝40°，求∠DAE的度数．
【分析】根据垂直定义由AD⊥BC得∠ADC＝90°，再利用角平分线定义得∠EAC＝∠BAE＝∠BAC，然后根据三角形内角和定理得∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，∠DAB＝90°﹣∠B，则∠DAE＝（∠B﹣∠C），代入计算即可．
【解答】解：∵AD⊥BC于D，
∴∠ADC＝90°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC＝∠BAE＝∠BAC，
而∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，
∴∠EAC＝∠BAE＝90°﹣∠B﹣∠C，
∵∠DAB＝90°﹣∠B，
∴∠DAE＝∠EAB﹣DAB，
＝90°﹣∠B﹣∠C﹣（90°﹣∠B）
＝（∠B﹣∠C），
∵∠B＝70°，∠C＝40°，
∴∠DAE＝×（70°﹣40°）＝15°．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．
21．（6分）已知点P（2a﹣7，3﹣a）．
（1）若点P在第三象限，求a的取值范围；
（2）点P到y轴的距离为11，求点P的坐标．
【分析】（1）根据题意列出不等式即可解决问题；
（2）根据题意列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）∵点P（2a﹣7，3﹣a）在第三象限，
∴，
解得3＜a＜3.5；
（2）∵点P到y轴的距离为11，
∴|2a﹣7|＝11，
∴2a﹣7＝﹣11或2a﹣7＝11，
解得a＝﹣2或a＝9，
∴3﹣a＝3+2＝5或3﹣a＝3﹣9＝﹣6，
∴点P的坐标为（﹣11，5）或（11，﹣6）．
【点评】本题考查坐标与图形的变化，一元一次方程．不等式组等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
22．（5分）已知a，b，c是△ABC的三边，且满足关系式a2+c2＝2ab+2bc﹣2b2，试判断△ABC的形状．
【分析】先把原式化为完全平方的形式，再利用非负数的性质求解．
【解答】解：∵a2+c2＝2ab+2bc﹣2b2，
∴a2+c2﹣2ab﹣2bc+2b2＝0，
a2+b2﹣2ab+c2﹣2bc+b2＝0，
即（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，
∴a﹣b＝0且b﹣c＝0，即a＝b且b＝c，
∴a＝b＝c．
故△ABC是等边三角形．
【点评】此题考查因式分解的实际运用以及非负数的性质，利用完全平方公式因式分解是解决问题的关键．
23．（5分）如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，请利用尺规作图法在线段BC上作一点D，使点D到边AB的距离等于CD．（不写作法，保留作图痕迹）
【分析】作出∠CAB的角平分线即可．
【解答】解：如图，点D即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的性质定理，解题的关键熟练角平分线的性质定理，属于中考常考题型．
24．（5分）某校为了解落实“双减”政策后学生每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）的情况，在全校随机抽取部分小学生进行调查，按四个组别进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题：
抽取的学生作业时间统计表
（1）这次调查抽取学生的总人数是 600人 ，B组的学生人数a＝ 210 ；
（2）该校共有学生1500人，请估算该校每日书面作业时间不少于90分钟的学生人数；
（3）请结合数据对该校“双减”工作提出一条合理性建议．
【分析】（1）由A组的人数及其所占百分比可得总人数，再用总人数乘以B组的百分比求a即可；
（2）用总人数乘以不少于90分钟的百分比即可；
（3）答案不唯一，合理即可．
【解答】解：（1）这次调查抽取学生的总人数是120÷20%＝600（人），
a＝600×35%＝210（人），
故答案为：600人，210；
（2）1500×＝675（人），
答：估算该校每日书面作业时间不少于90分钟的学生有675人；
（3）建议减少作业量，根据学生的能力分层布置作业（答案不唯一，合理即可）．
【点评】本题考查的是频数（率）分布表和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
25．（6分）如图，△ACB中，点D是AB边上一点，点E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△FCE；
（2）若CD＝CF，∠DCF＝120°，求∠ACD的度数．
【分析】（1）由AAS证明△ADE≌△FCE即可；
（2）由平行线的性质得∠BDC＝60°，再由全等三角形的性质得AD＝CF，然后证AD＝CD，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
∵CF∥AB，
∴∠ADE＝∠FCE，∠DAE＝∠CFE，
在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（AAS）；
（2）解：∵CF∥AB，∠DCF＝120°，
∴∠BDC+∠DCF＝180°，
∴∠BDC＝60°，
由（1）可知，△ADE≌△FCE，
∴AD＝CF，
∵CD＝CF，
∴AD＝CD，
∴∠ACD＝∠CAD＝∠BDC＝30°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握平行线的性质，证明三角形全等是解题的关键．
26．（6分）如图，已知BE、CF是△ABC的边AC、AB上的高，P是BE上的一点，且BP＝AC，Q是CF的延长线上的一点，且CQ＝AB，求证：AQ＝AP且AQ⊥AP．
【分析】先证明△APB≌△QAC，得AP＝AQ，∠BAP＝∠CQA，通过等量代换得∠BAP+∠QAF＝90°即可得AP⊥AQ．
【解答】证明：∵CF⊥AB，BE⊥AC，
∴∠AEB＝∠AFC＝90°，
∴∠ABE＝∠ACQ＝90°﹣∠BAC．
∵BP＝AC，CQ＝AB，
在△APB和△QAC中，
，
∴△APB≌△QAC（SAS）．
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CQA．
∵∠CQA+∠QAF＝90°，
∴∠BAP+∠QAF＝90°．
即AP⊥AQ．
【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质，要熟练利用三角形全等的性质来证明角相等．
27．（7分）如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，2），且|a+2|+（b﹣3）2＝0．
（1）求a，b的值；
（2）在y轴的上存在一点M，使S△COM＝S△ABC，求点M的坐标；
（3）如图2，过点C作CD⊥y轴交y轴于点D，点P为线段CD延长线上一动点，连接OP，OE平分∠AOP，OF⊥OE．当点P运动时的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由．
【分析】（1）根据非负数的性质即可解决问题．
（2）分两种情形讨论①当M在x轴上时，设M（m，0），由题意：•|m|•2＝••5•2．②当M在y轴上时，设M（0，m），由题意：•|m|•1＝••5•2，解方程即可解决问题．
（3）结论：的值是定值．只要证明∠DOE＝∠FOG，∠OPD＝2∠FOG即可．
【解答】解：（1）∵|a+2|+（b﹣3）2＝0，
|a+2|≥0，（b﹣3）2≥0，
∴a＝﹣2，b＝3；
（2）由（1）可知A（﹣2，0），B（3，0），
设M（0，m），
由题意：•|m|•1＝••5•2，
∴m＝±5，
∴M（0，5）或（0，﹣5），
综上所述，满足条件的点M坐标为（0，5）或（0，﹣5）；
（3）如图2中，结论：的值是定值，＝2．
理由：∵OE⊥OF，
∴∠EOF＝90°，
∴∠AOE+∠FOG＝90°，
∵∠AOE＝∠EOP，∠EOP+∠POF＝90°，
∴∠FOG＝∠POF，
∵∠DOE+∠AOE＝90°，∠AOE+∠FOG＝90°，
∴∠DOE＝∠FOG，
∵CP∥AG，
∴∠OPD＝∠POG＝2∠FOG，
∴∠OPD＝2∠FOG，
∴＝2．
【点评】本题考查三角形综合题、非负数的性质、三角形的面积、平行线的性质、等角的余角相等等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
28．（7分）对于代数式，不同的表达形式能表现出它的不同性质．例如代数式A＝x2﹣4x+5，若将其写成A＝（x﹣2）2+1的形式，就能看出不论字母x取何值，它都表示正数；若将它写成A＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+2的形式，就能与代数式B＝x2﹣2x+2建立联系．下面我们改变x的值，研究一下A，B两个代数式取值的规律：
（1）表中p的值是 10 ；
（2）观察表格可以发现：
若x＝m时，B＝x2﹣2x+2＝n，则x＝m+1时，A＝x2﹣4x+5＝n．我们把这种现象称为代数式A参照代数式B取值延后，此时延后值为1．
①若代数式D参照代数式B取值延后，相应的延后值为2，求代数式D；
②已知代数式3x2﹣10x+b参照代数式3x2﹣4x+c取值延后，请直接写出b﹣c的值．
【分析】（1）把x＝﹣1代入即可求得；
（2）①D＝（x﹣2）2﹣2（x﹣2）+2＝x2﹣6x+10；
②由①可得a＝3，设延后值为k，3m2﹣4m+c＝3（m+k）2﹣10（m+k）+b，则可求b﹣c＝7．
【解答】解：（1）将x＝﹣1代入A＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+2得，A＝10，
故答案为：10；
（2）①∵代数式D参照代数式B取值延后，相应的延后值为2，
﹣6m﹣4＝﹣10，m＝1，b＝3m2+4m+c，b﹣c＝7，
∴D＝（x﹣2）2﹣2（x﹣2）+2＝x2﹣6x+10；
②由①可得a＝3，
∴ax2﹣10x+b＝3x2﹣10x+b，
∵代数式ax2﹣10x+b参照代数式3x2﹣4x+c取值延后，
设延后值为k，
∵x＝m时，3x2﹣4x+c＝3m2﹣4m+c，
x＝m+k时，ax2﹣10x+b＝3（m+k）2﹣10（m+k）+b，
∴3m2﹣4m+c＝3（m+k）2﹣10（m+k）+b，
∴6k﹣10＝﹣4，
∴k＝1，
∵c＝3k2﹣10k+b，
∴b﹣c＝7，
故b﹣c的值为7．
【点评】本题考查代数式求值和数字的变化规律；理解题意，能够准确地列出代数式，并进行求解即可．组别
调查结果
人数（人）
A
30≤t＜60
120
B
60≤t＜90
a
C
90≤t＜120
180
D
t≥120
90
x
﹣2
﹣1
0
1
2
3
B＝x2﹣2x+2
10
5
2
1
2
5
A＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+2
17
p
5
2
1
2
组别
调查结果
人数（人）
A
30≤t＜60
120
B
60≤t＜90
a
C
90≤t＜120
180
D
t≥120
90
x
﹣2
﹣1
0
1
2
3
B＝x2﹣2x+2
10
5
2
1
2
5
A＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+2
17
p
5
2
1
2