福建省厦门市、泉州市五校高一下学期4月期中联考数学试题（解析版）-A4

这是一份福建省厦门市、泉州市五校高一下学期4月期中联考数学试题（解析版）-A4，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：唐慧娥 审核人：晋江市英林中学）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量，，则（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据数量积的坐标运算求解.
【详解】因为，，
所以，
故选：C
2. （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】利用诱导公式计算可得.
【详解】.
故选：C
3. 已知复数在复平面内对应的点的坐标是，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出复数，再写出其共轭复数.
【详解】复数在复平面内对应的点的坐标是，则，故.
故选：B
4. 用斜二测画法画出水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知，则的面积为（ ）
A. B. C. 8D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直观图和原图面积关系，即可求解.
【详解】因为，
所以是直角三角形且，可得，
所以的面积，
则的面积．
故选：D
5. 若是三角形的一个内角，且，则等于（ ）
A. B. 或C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，结合三角形内角的范围，求出即可.
【详解】由是三角形的一个内角，得，而，
所以或.
故选：B
6. 在中，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由余弦定理求解.
详解】由余弦定理，,
故选：D
7. 已知夹角为，且，则等于（ ）
A. B. C. D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量数量积的运算律即可求解.
【详解】
故选：A
8. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知利用商数关系化弦为切求出，再根据两角和的正切公式即可得解.
【详解】由，得，
所以.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分.
9. 给出下列命题，不正确的有（ ）
A. 两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同B. 若为非零向量，则与同向
C. 若，则D. 已知λ，μ实数，若，则与共线
【答案】CD
【解析】
【分析】根据向量的相关概念即可判断选项.
【详解】由相等向量的概念可知A正确；
因为，所以与同向，B正确；
若，则不一定平行，C不正确；
若，则与不一定共线，D不正确.
故选：CD
10. 已知，则的可能取值为（ ）
A. B. 1C. 2D. 不存在
【答案】BD
【解析】
【分析】分类讨论，当存在时，利用二倍角公式化简可得解.
【详解】当时，成立，但，故不存在，
当时，
，
故选：BD
11. 已知函数在处取得最小值，与此最小值点最近的图象的一个对称中心为，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 将的图象向左平移个单位长度即可得到的图象
C. 在区间上单调递减D. 在区间上的值域为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用三角函数的图象性质以及图象的平移变换即可一一判断求解.
【详解】A选项：由题知，设的最小正周期为，
则，∴，∴.
∵，∴，则，
得，又，∴，
∴，故A正确；
B选项：因为，所以其图象可以由的图象向左平移个单位长度得到，故B正确；
C选项：由得，则在区间上不单调，故C错误；
D选项：∵，∴，∴，
∴，∴在区间上的值域为，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.
12. 已知，为虚数单位，若为实数，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据复数除法运算、复数为实数列方程求得.
【详解】依题意，为实数
所以.
故答案为：
13. 将边长为的正方形绕其一条边所在直线旋转一周，所形成的旋转体的体积为_________．
【答案】
【解析】
【分析】分析可知，旋转体为圆柱，确定该圆柱的底面半径和高，结合柱体的体积公式即可得解.
【详解】如下图所示，
由图可知，旋转体是底面半径为，高为的圆柱，
故该旋转体的体积为.
故答案为：.
14. 已知向量，满足，，则向量在向量上投影向量的坐标为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，利用向量的数量积的运算和投影向量的计算方法，求解即可.
【详解】因为，所以，又，
所以向量在向量上投影向量为，故所求坐标为.
故答案：.
四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设都是第二象限的角，已知 .
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先由同角三角函数的关系可得，再由余弦的和差角公式代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由条件可得，再由正切的和差角公式代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
因为都是第二象限的角，由可得，
由可得，
则.
【小问2详解】
因为，，
则.
16. 设，，，为平面内的四点，且，，.
（1）若，求点的坐标；
（2）设向量，若与平行，求实数的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】根据平面向量的坐标运算以及相等向量、共线向量的坐标运算即可得解.
【小问1详解】
设点，则,.
因为，
所以，即得.
所以点的坐标为.
【小问2详解】
由题意得，
所以，
因为，所以，
解得.
17. 已知函数.
（1）求的最小正周期及对称轴、对称中心；
（2）求单调递增区间；
（3）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1），对称轴为，对称中心为
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式及两角和的正弦公式化简，再由正弦函数的性质计算可得；
（2）结合正弦函数的性质计算可得；
（3）由的范围求出的范围，即可求出函数的值域，从而得解.
【小问1详解】
因为
，
即，所以的最小正周期，
令，解得，故对称轴为；
令，解得，故对称中心为.
【小问2详解】
令，
解得，所以单调递增区间为；
【小问3详解】
当时，，所以，
则在上的值域为，
因为不等式恒成立，所以，即实数的取值范围为.
18. 如图，在梯形中，，，，为线段上的点，满足，记，．
（1）用，表示向量；
（2）求的值；
（3）设交于，求．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用向量加减法的三角形法则，结合向量的线性运算得到结果即可.
（2）由向量的数量积定义和向量模的求法求解即可.
（3）由向量的数量积和向量的夹角公式求出，即可得解.
【小问1详解】
如图，连接，
因为，，
所以，
因为，所以，
又，
所以，
所以.
【小问2详解】
由于，可得，又，
所以，
所以；
【小问3详解】
因为，
所以，故，
又，
又，故，
所以；
19. 的内角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）已知，①为的外心，求的值；
②若为锐角三角形，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由三角变换公式可得，从而可求的值；
（2）①利用向量在上的投影数量的几何意义，即可求出，从而求出.
②利用正弦定理及三角变换公式可得，结合的范围可求其取值范围，从而可求的取值范围.
【小问1详解】
因为，由正弦定理得，
故
在中，，，所以，，则，
可得，所以，所以
【小问2详解】
如图，设是的中点，则，
①.
②由正弦定理可得（为外接圆的半径）
所以，，
因为，则，，
所以
因为为锐角三角形，则，解得
则，，故.