福建省厦门、泉州五校2024-2025学年高一上学期期中联考.数学试卷（解析版）

这是一份福建省厦门、泉州五校2024-2025学年高一上学期期中联考.数学试卷（解析版），共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由集合或，
所以，可得.
故选：.
2. 三星堆博物馆位于全国重点文物保护单位三星堆遗址东北角，是中国一座现代化的专题性遗址博物馆.该馆常设“世纪逐梦”、“巍然王都”、“天地人神”个展厅，则甲在三星堆博物馆是甲在“世纪逐梦”展厅的（ ）
A. 充分不必要条件B. 充要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为三星堆博物馆常设“世纪逐梦”、“巍然王都”、“天地人神”个展厅，
若甲在三星堆博物馆，则甲在“世纪逐梦”、“巍然王都”、“天地人神”个展厅中的某一个，
即“甲在三星堆博物馆”“甲在“世纪逐梦”展厅”，
若甲在“世纪逐梦”展厅，则甲必在三星堆博物馆，
即“甲在三星堆博物馆”“甲在“世纪逐梦”展厅”，
所以，甲在三星堆博物馆是甲在“世纪逐梦”展厅的必要不充分条件.故选：C.
3. 已知函数在区间上单调递减，则实数取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由于二次函数的二次项系数为正数，对称轴为直线，其对称轴左侧的图象是下降的，∴，故，
因此，实数的取值范围是.
故选：A.
4. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】函数的定义域为，且，
所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B；
当时，所以，故排除C.
故选：D.
5. 下列说法中错误的是（ ）
A. 函数是奇函数
B. 函数是偶函数
C. 函数，是偶函数
D. 函数既不是奇函数，也不是偶函数
【答案】C
【解析】对于A，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
又，，则，所以函数是奇函数；
对于B，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
又，，则，所以函数是偶函数；
对于C，函数的定义域为，定义域不关于原点对称，
所以函数，既不是奇函数，也不是偶函数；
对于D，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
又，，则且，
因此函数既不是奇函数，也不是偶函数.
所以选项中C说法不正确，
故选：C.
6. 已知函数，则函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题可知的定义域为，
则为使有意义必须且只需，
解得，
所以的定义域为.
故选：D
7. 已知奇函数满足 ，且在上单调递减，则解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】为奇函数，故，
，
又，在上单调递减，
故当时，，此时，不合要求，
当时，，此时，满足要求，
由对称性可知，在上单调递减，
故当时，，此时，满足要求，
当时，，此时，不合要求，
综上，的解集为.
故选：B.
8. 设正数，满足，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为正数，满足，
则，因为，
所以，则，当且仅当即时等号成立.
因为不等式对任意实数恒成立，
即恒成立.
，所以，即对任意实数恒成立.
令，因为，所以.
所以.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分、4分，有选错的得0分．
9. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】BCD
【解析】对于A，若，则，故A错误；
对于B，可知，不等式两侧同乘以，有，故B正确；
对于C，利用作差法知，
由，，知，
即，故C正确；
对于D，由，知，由不等式同向可加性的性质知D正确.
故选：BCD
10. 下列关于幂函数的描述中，正确的是（ ）
A. 幂函数的图象经过第一象限
B. 幂函数的图象都经过点
C. 当时，幂函数在上单调递增
D. 幂函数的定义域为
【答案】AB
【解析】当时，幂函数对任意都有意义，且，故经过第一象限，选项A正确；
因为，所以幂函数的图象都经过点，选项正确；
当时，函数定义域为，选项C、D错误；
故选：AB．
11. 已知a>0，b>0，且3a+b=2，则（ ）
A. ab的最大值为B. 的最大值是2
C. 的最小值是18D. 的最小值是
【答案】AC
【解析】因为，且，所以，所以，当且仅当时，等号成立，则正确；
由题意可得，当且仅当=1时，等号成立，则错误；
因为，所以，当且仅当时，等号成立，则C正确；
由，得，
对于，由，得，
，
当且仅当，当时，，矛盾，故等号取不到，故D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 命题“，”的否定是___________．
【答案】
【解析】根据特称量词命题的否定为全称量词命题得
命题“”的否定为“”.故答案为：.
13. 函数是上的减函数，则的取值范围是_____________.
【答案】
【解析】是上的减函数，
，解得，
故的取值范围是.
故答案为：.
14. 设是定义域为，满足，若对任意的，都有不等式成立，且，则不等式解集是_____．
【答案】
【解析】是定义域为，关于原点对称,
又，所以是奇函数，
因为，，
设，则，
所以，
所以，
令，则在上单调递增，
又，
所以在上为偶函数，
所以在上单调递减， ，
所以当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
所以解集是.
故答案：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知非空集合，.
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围.
解：（1）已知集合，.
当时，，或，
又，
.
（2）因为“”是“”充分不必要条件，所以P是Q的真子集，
又，，所以，解得，
当时，是Q的真子集；
当时，也满足是Q的真子集，
综上所述：实数的取值范围为.
16. 已知函数，不等式的解集为，且.
（1）求函数的解析式；
（2）设函数在上的最小值为，求的表达式.
解：（1）因为函数，不等式的解集为，
所以且0和2为方程的两个根，
则有，解得，，
又因为，则，可得，，
所以
（2）因为，图象开口向上，对称轴为，
①当时，函数在上单调递增，
所以；
②当，即时，函数的对称轴在区间内，
故；
③当，即时，函数在上单调递减，
所以；
综上所述：.
17. （1）函数是定义域为R的奇函数，当时，，求的解析式；
（2）设是偶函数，是奇函数，且，求函数的解析式．
解：（1）设，则，
∴，
又∵函数是定义域为R的奇函数，
∴，
∴当时，.
又时，，
所以；
（2）∵是偶函数，是奇函数，，
∴．
则
即，解之得.
18. 某运输公司今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输.若该公司预计从第1年到第年花在该台运输车上的维护费用总计为万元，该车每年运输收入为25万元.
（1）该车运输几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）
（2）若该车运输若干年后，处理方案有两种：
①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出；
②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.
哪一种方案较为合算？请说明理由.
解：（1）由题意可得，即，
解得，，
该车运输3年开始盈利.；
（2）该车运输若干年后，处理方案有两种：
①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出，，
当且仅当时，取等号，
方案①最后的利润为：（万；
②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出，
，
时，利润最大，方案②的利润为（万，
两个方案的利润都是59万，按照时间成本来看，第一个方案更好，因为用时更短，
方案①较为合算.
19. 若定义在R上的函数对任意实数x，y恒有，当时，，且．
（1）求证:为奇函数；
（2）求在上的最小值；
（3）若不等式:恒成立，求a的取值范围；
（1）证明：函数的定义域为R，
令，则，解得.
令，则，得，
所以函数为奇函数.
（2）解：任取，则，因为当时，，则，
由（1）知，，即，
所以为R上的减函数，可知在上的最小值为，
因为，，，
所以，即在上的最小值为.
（3）证明：由（2）可求，
所以，
由（2）可知为减函数，所以时，即恒成立，
时，，不等式恒成立；
时，有恒成立，由函数在上单调递增，
则有，所以a的取值范围为.