2022-2023学年北京市燕山区八年级（上）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年北京市燕山区八年级（上）期中数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）第24届冬奥会于2022年2月20日在世界首个“双奥之城”——北京圆满落下帷幕．下面是从历届冬奥会的会徽中选取的部分图形，其中是轴对称图形的是
A．B．C．D．
2．（3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是
A．1，2，3B．2，3，4C．2，3，6D．4，6，10
3．（3分）如图，已知在中，，于点，若，则的长为
A．2B．3C．4D．5
4．（3分）中，，，则
A．2B．3C．4D．5
5．（3分）下列多边形中，内角和为的是
A．B．C．D．
6．（3分）如图，，，，则的度数为
A．B．C．D．
7．（3分）如图所示在中，边上的高线画法正确的是
A．B．
C．D．
8．（3分）点在的角平分线上，点到边的距离为10，点是边上任意一点，则的最小值为
A．6B．8C．10D．12
9．（3分）如图，在中，，，，垂直平分边，交于点，于点，则的周长等于
A．12B．14C．16D．18
10．（3分）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做格点．如图，点的坐标为，点的坐标为，点为第一象限内的格点，若不共线的，，三点构成轴对称图形，则满足条件的点的个数为
A．2B．4C．6D．8
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
11．（3分）平面直角坐标系中点关于轴对称的点的坐标是 ．
12．（3分）如图，在中，点在的延长线上，若，，则的度数是 ．
13．（3分）已知直角三角形中角所对的直角边长是，则斜边的长是 ．
14．（3分）工人师傅做门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这种做法的根据是 ．
15．（3分）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角的过程中，依据全等三角形的性质可得，这里判断△的依据是 ．
16．（3分）等腰三角形的顶角是，则其底角是 ．
17．（3分）已知等腰三角形两边长分别为和，则等腰三角形的周长为 ．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，可以看作是经过若干次的图形变化（平移、轴对称）得到，请写出一种由得到的过程 ．
三、解答题（本题共46分，其中第19−21题，每题各5分；第22−25题，每题各6分；第26题7分）
19．（5分）如图，已知，，，求证：．
20．（5分）如图，中，的平分线交于点，过点作，交于点．若，，求．
21．（5分）如图，点，，，在同一直线上，，，请你再添加一个条件，使得，并证明．
22．（6分）如图，格点在网格中的位置如图所示．
（1）画出关于直线的对称△；
（2）若网格中每个小正方形的边长为1，则△的面积为 ；
（3）在直线上找一点，使最小（不写作法，保留作图痕迹）．
23．（6分）数学课上，王老师布置如下任务：如图，已知，点是射线上的一个定点，在射线上求作点，使．
下面是小路设计的尺规作图过程．
作法：①作线段的垂直平分线，直线交射线于点；
②以点为圆心，长为半径作弧，交射线于另一点，则点即为所求．
根据小路设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：连接，，
直线为线段的垂直平分线，
， （填推理的依据）
，
．
，
， （填推理的依据）
．
24．（6分）如图：和是等边三角形．证明：．
25．（6分）如图，在中，，，点在直线上，于，于．
（1）依题意补全图形；
（2）用等式表示，，之间的数量关系，并证明．
26．（7分）过三角形的顶点作射线与其对边相交，将三角形分成两个三角形．若得到的两个三角形中有等腰三角形，这条射线就叫做原三角形的“友好分割线”．
（1）下列三角形中，不存在“友好分割线”的是 （只填写序号）．
①等腰直角三角形；②等边三角形；③顶角为的等腰三角形．
（2）如图1，在中，，，直接写出被“友好分割线”分得的等腰三角形顶角的度数；
（3）如图2，中，，为边上的高，，为的中点，过点作直线交于点，作，，垂足为，．若射线为的“友好分割线”，求的最大值．
2022-2023学年北京市燕山区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
1．（3分）第24届冬奥会于2022年2月20日在世界首个“双奥之城”——北京圆满落下帷幕．下面是从历届冬奥会的会徽中选取的部分图形，其中是轴对称图形的是
A．B．C．D．
【解答】解：．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
．该图形是轴对称图形，故此选项符合题意；
．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
2．（3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是
A．1，2，3B．2，3，4C．2，3，6D．4，6，10
【解答】解：、，不能组成三角形，不符合题意；
、，能组成三角形，符合题意．
、，不能组成三角形，不符合题意；
、，不能组成三角形，不符合题意；
故选：．
3．（3分）如图，已知在中，，于点，若，则的长为
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：，，
，
故选：．
4．（3分）中，，，则
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：，
，
为等边三角形，
．
故选：．
5．（3分）下列多边形中，内角和为的是
A．B．C．D．
【解答】解：设这个多边形为边形，则
，
解得，
即这个多边形为六边形，
故选：．
6．（3分）如图，，，，则的度数为
A．B．C．D．
【解答】解：因为，，
所以，
又，
所以．
故选：．
7．（3分）如图所示在中，边上的高线画法正确的是
A．B．
C．D．
【解答】解：在中，边上的高线画法正确的是，
故选：．
8．（3分）点在的角平分线上，点到边的距离为10，点是边上任意一点，则的最小值为
A．6B．8C．10D．12
【解答】解：过作于，
，，平分，
，
点到边的距离等于10，
，
（当与点重合时，，
的最小值为10．
故选：．
9．（3分）如图，在中，，，，垂直平分边，交于点，于点，则的周长等于
A．12B．14C．16D．18
【解答】解：垂直平分边，
，
的周长，
，，
的周长，
故选：．
10．（3分）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做格点．如图，点的坐标为，点的坐标为，点为第一象限内的格点，若不共线的，，三点构成轴对称图形，则满足条件的点的个数为
A．2B．4C．6D．8
【解答】解：若不共线的，，三点构成轴对称图形，
则是等腰三角形，当为底时，共有4个点符合题意，
当为腰时，共有4个点符合题意，
故选：．
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
11．（3分）平面直角坐标系中点关于轴对称的点的坐标是 ．
【解答】解：根据两点关于轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，
点关于轴的对称点的坐标是．
故答案为：．
12．（3分）如图，在中，点在的延长线上，若，，则的度数是 ．
【解答】解：在中，，，
，
故答案为：．
13．（3分）已知直角三角形中角所对的直角边长是，则斜边的长是 ．
【解答】解：直角三角形中角所对的直角边长是，
斜边的长．
故答案为：．
14．（3分）工人师傅做门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这种做法的根据是 三角形的稳定性 ．
【解答】解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
15．（3分）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角的过程中，依据全等三角形的性质可得，这里判断△的依据是 ．
【解答】解：由作图痕迹得，，
△，
．
故答案为：．
16．（3分）等腰三角形的顶角是，则其底角是 ．
【解答】解：等腰三角形的顶角是，
底角．
故答案为：．
17．（3分）已知等腰三角形两边长分别为和，则等腰三角形的周长为 11或13 ．
【解答】解：当等腰三角形的腰为，底为时，，，能够组成三角形，此时周长为；
当等腰三角形的腰为5，底为时，，，能够组成三角形，此时周长为．
则这个等腰三角形的周长是或．
故答案为11或13．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，可以看作是经过若干次的图形变化（平移、轴对称）得到，请写出一种由得到的过程 将沿轴向右翻折，再向上平移3个单位长度得到（或先向上平移3个单位长度，再沿轴向右翻折得到 ．
【解答】解：先将沿轴向右翻折，再向上平移3个单位长度得到，
或先向上平移3个单位长度，再沿轴向右翻折得到．
故答案为：先将沿轴向右翻折，再向上平移3个单位长度得到（或先向上平移3个单位长度，再沿轴向右翻折得到．
三、解答题（本题共46分，其中第19−21题，每题各5分；第22−25题，每题各6分；第26题7分）
19．（5分）如图，已知，，，求证：．
【解答】证明：是，所在三角形的外角，
，
又，
，
．
20．（5分）如图，中，的平分线交于点，过点作，交于点．若，，求．
【解答】解：在中，的平分线交于点，
，
，
，
，
，
，
．
21．（5分）如图，点，，，在同一直线上，，，请你再添加一个条件，使得，并证明．
【解答】解：添加（答案不唯一），理由如下：
，
，
在和中，
，
．
22．（6分）如图，格点在网格中的位置如图所示．
（1）画出关于直线的对称△；
（2）若网格中每个小正方形的边长为1，则△的面积为 ；
（3）在直线上找一点，使最小（不写作法，保留作图痕迹）．
【解答】解：（1）如图所示，△即为所求．
（2）△的面积为，
故答案为：；
（3）如图所示，点即为所求．
23．（6分）数学课上，王老师布置如下任务：如图，已知，点是射线上的一个定点，在射线上求作点，使．
下面是小路设计的尺规作图过程．
作法：①作线段的垂直平分线，直线交射线于点；
②以点为圆心，长为半径作弧，交射线于另一点，则点即为所求．
根据小路设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：连接，，
直线为线段的垂直平分线，
， （填推理的依据）
，
．
，
， （填推理的依据）
．
【解答】解：（1）补全的图形如图所示；
（2）连接，，
直线为线段的垂直平分线，
（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），
，
．
，
（等边对等角），
．
故答案为：；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；；等边对等角．
24．（6分）如图：和是等边三角形．证明：．
【解答】证明：和是等边三角形（已知），
，，（等边三角形的性质）．
（等式的性质），即．
在与中，
，
．
（全等三角形的对应边相等）．
25．（6分）如图，在中，，，点在直线上，于，于．
（1）依题意补全图形；
（2）用等式表示，，之间的数量关系，并证明．
【解答】解：（1）补全图形如下：
（2），证明如下：
于点，于点，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
．
26．（7分）过三角形的顶点作射线与其对边相交，将三角形分成两个三角形．若得到的两个三角形中有等腰三角形，这条射线就叫做原三角形的“友好分割线”．
（1）下列三角形中，不存在“友好分割线”的是 ② （只填写序号）．
①等腰直角三角形；②等边三角形；③顶角为的等腰三角形．
（2）如图1，在中，，，直接写出被“友好分割线”分得的等腰三角形顶角的度数；
（3）如图2，中，，为边上的高，，为的中点，过点作直线交于点，作，，垂足为，．若射线为的“友好分割线”，求的最大值．
【解答】解：（1）根据“友好分割线”的定义可知，等腰直角三角形，顶角为的等腰三角形存在“友好分割线”．等边三角形不存在“友好分割线”．
故答案为：②；
（2）如图中，当时，，
当时，，
当时，．
如图中，当时，，
当时，，
如图中，时，
，
综上所述，满足条件的等腰三角形的顶角的度数为：，，，或；
（3）解：如图2中，作于点．
为边上的高，
．
．
不是等腰三角形．
为的“友好分割线”，
和中至少有一个是等腰三角形．
是等腰三角形，且．
，
．
于，
．
为的中点，
．
在和中，
，
．
在和中，，
，，
，
即，
，
的最大值为4．