四川省遂宁市2025_2026学年高二数学上学期10月月考试题含解析 (1)

这是一份四川省遂宁市2025_2026学年高二数学上学期10月月考试题含解析 (1)，共17页。试卷主要包含了测试范围， 下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120 分钟 分值：150 分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.测试范围：概率+空间向量与立体几何.
第一部分（选择题 共 58 分）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 化简 所得的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量减法原则，以及相反向量的定义，即可得出结果.
【详解】根据向量减法原则， ，而 ，
故 .
故选：C.
2. 若 ，则 （ ）
A. B. C. 5 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用向量的线性运算求出向量的模.
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【详解】若 ，所以 ，
故 .
故选：A.
3. 已知两个向量 ，且 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量共线定理，可得 的值，即可得到结果.
【详解】向量 ，且 ，则存在实数 ，使得 ，
即 ，所以 ,解得 ,
故 ，
故选：B
4. 已知随机事件 A 和 互斥，且 ， 则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据互斥事件的概率公式可求得 ，利用对立事件概率公式求得结果．
【详解】因为 与 互斥，则 ，
可得 ，
所以 .
故选：D．
5. 在四面体 中，点 是 靠近 的三等分点，记 ，则 （ ）
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A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合图形，利用空间向量的线性运算求解即可.
【详解】解：点 是 靠近 的三等分点，
.
故选：D.
6. 甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为 ，和棋的概率为 ，则乙不输的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】乙不输与甲获胜对立事件，根据概率公式计算即可．
【详解】∵乙不输与甲获胜对立事件，
∴乙不输的概率是 ，
故选：A.
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7. 已知向量 ，则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出 以及 ，根据投影向量的含义即可求得答案.
【详解】由题意向量 ，
故 ， ，
则向量 在向量 上的投影向量为 .
故选：A.
8. 下列命题正确的是（ ）
A. 若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则直线
B. 若 ，则存在唯一的实数 ，使
C. 若空间向量 ， ，且 与 夹角的余弦值为 ，则 在 上的投影向量为
D. 若向量 ， 的夹角为钝角，则实数 的取值范围为
【答案】C
【解析】
【分析】A 直线与平面平行，需满足直线方向向量与平面法向量垂直且直线不 平面内，据此可得答案.
B 注意到当 时不满足题目描述；
C 由投影向量计算公式可判断选项正误；
D 两向量夹角为钝角，需满足两向量数量积小于 0，且两向量不共线，据此可判断选项正误.
【详解】A 选项，注意到 ，但选项信息无法判断直线是否在平面内，故 A 错误；
B 选项，注意到当 时，若 ，则不存在 ，使 ，故 B 错误；
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C 选项， 在 上的投影向量为 ，
故 C 正确；
D 选项，向量 ， 的夹角为钝角，则 且 不共线，
得 ，故 D 错误.
故选：C
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，至少两
项是符合题目要求的，选不全对得 2 分，选错得 0 分.
9. 已知向量 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用向量坐标运算法则求解即可．
【详解】因为向量 ， ，
所以 ，故 A 正确；
，故 B 错误；
，故 C 错误；
，故 D 正确．
故选：AD
10. 已知直线 l 的一个方向向量为 ，平面α的一个法向量为 ，则下列说法正确的有
（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C 若 ，则 D. 若 ，则
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【答案】AD
【解析】
【分析】根据直线与平面的位置关系，推断直线方向向量与平面法向量的关系，进而用空间向量的坐标表
示，最后求出参数关系.
【详解】若 ，则 ，故 ，即 ，化简得 .
故选项 正确，选项 错误
若 ，则 ，故存在实数 使得 ，即 ，化简得 .
故选项 错误，选项 正确.
故选：
11. 设 是两个随机事件，若 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 相互独立 D. 若 相互独立，则
【答案】AC
【解析】
【分析】A 选项， ；B 选项， ；C 选项，
，C 正确；D 选项，若 相互独立，则 相互独立，利用
进行求解.
【详解】对于 A，若 ，则 ，A 正确；
对于 B，若 ，则 事件互斥，
所以 ，B 错误；
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C 选项，因为 ，所以 ，则 相互独立，C 正
确；
D 选项，若 相互独立，则 相互独立，且 ，
所以 ，D 错误．
故选：AC．
第二部分（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知事件 与事件 相互独立，且 ，则 __________．
【答案】0.7
【解析】
【分析】利用任意两个事件的和事件的概率计算公式以及相互独立事件的概率乘法公式即可求解．
【详解】因为事件 与事件 相互独立， ，
所以 ，
所以 ,
故答案为：0.7．
13. 在平行六面体 中， ， ，M 为
的中点，则 ______.
【答案】 ##
【解析】
【分析】由向量的加减运算及数量积的运算可得 的值．
【详解】在平行六面体 中， ， ，
，M 为 的中点，
，
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所以 .
故答案为：
14. 如图，正方体 的棱长为 1，线段 上有两个动点 ，且 .则下列结论中
正确的有___________.
①当 向 运动时，二面角 的大小不变
②二面角 的最小值为
③当 向 运动时， 总成立
④ 在 方向上的投影向量为
【答案】①②④
【解析】
【分析】根据已知条件建系结合二面角定义及二面角余弦的坐标公式计算判断①②，再应用数量积为 0 判
断垂直判定③，最后应用投影向量定义计算判断④.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ，
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因为 在 上，且 ，故可设 ， ， ，
所以 ， .
对于①，连接 ，平面 即为平面 ，而平面 即为平面 ，
故当 向 运动时，二面角 的大小不变，①对；
对于②，设平面 的法向量为 ，又 ，
所以 ，
所以
取 ，则 ，所以 是平面 的一个法向量，
又平面 的一个法向量为 ，所以 ，
设二面角 的平面角为 ，则 为锐角，故 ，
因为 ，故 ，所以 ，
当且仅当 时 取最大值 ，此时 取最小值 ，②对；
对于③，因为 ，
故 不恒为零，③错；
对于④，因为 ， ，所以 ，
故 在 方向上的投影向量为
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，④对.
故答案为：①②④.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量 ， .
（1）求 ；
（2）求
（3）求 ；
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据空间向量数量积坐标公式计算求解；
（2）应用空间向量夹角坐标公式计算求解；
（3）应用空间向量线性运算律及模长坐标公式计算求解.
【小问 1 详解】
因为向量 ， ，
所以 .
【小问 2 详解】
【小问 3 详解】
因为 ，
所以 .
16. 已知向量 ， ， .
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（Ⅰ）当 时，若向量 与 垂直，求实数 和 的值；
（Ⅱ）若向量 与向量 ， 共面，求实数 的值.
【答案】（Ⅰ）实数 和 的值分别为 和 .（Ⅱ）
【解析】
【分析】(Ⅰ)根据 可求得 ,再根据垂直的数量积为 0 求解 即可.
(Ⅱ)根据共面有 ,再求解对应的系数相等关系求解即可.
【详解】解：(Ⅰ)因为 ,所以 .
且 .
因为向量 与 垂直,
所以 .
即 .
所以实数 和 的值分别为 和 .
(Ⅱ)因为向量 与向量 ， 共面,所以设 （ ）.
因为 ,
所以
所以实数 的值为 .
【点睛】本题主要考查了空间向量的基本求解方法,包括模长的运算以及垂直的数量积表达与共面向量的关
系等.属于基础题.
17. 2022 年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是继
2002 年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行 世界杯足球赛．某学校统计了该校 500 名学生观看
世界杯比赛直播的时长情况（单位：分钟），将所得到的数据分成 7 组： ， ， ，
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， ， ， （观看时长均在 内），并根据样本数据绘制如图
所示的频率分布直方图．
（1）求 的值；
（2）采用分层抽样的方法在观看时长在 和 的学生中抽取 6 人，现从这 6 人中随机抽
取 2 人分享观看感想，求抽取的 2 人恰好观看时长在 的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据频率之和为 1 得到方程，求出 ；
（2）根据分层抽样得到选取的 6 人中观看时长在 和 的人数，利用列举法求出相应的
概率.
【小问 1 详解】
，
解得 ；
【小问 2 详解】
和 的频率之比为 ，
故选取的 6 人中观看时长在 的人数为 ，设为 ，
观看时长在 的人数为 ，设为 ，
则抽取的 2 人有以下情况， ，
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，
共 15 种情况，
其中抽取的 2 人恰好观看时长在 的有 ，
共 6 种情况，
故抽取的 2 人恰好观看时长在 的概率为 .
18. 已知正方体 的棱长为 4， ， ， ， 分别为 ， ， ， 的中
点.
（1）求证：面 面 ；
（2）求面 与面 的距离；
（3）求四棱锥 的体积.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）16
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面 和平面 的一个法向量，证明这两个法向量平行
或相等即可.
（2）利用点到平面距离的向量公式计算即可；
（3）直接利用棱锥的体积公式计算即可.
【小问 1 详解】
如图所示，建立空间直角坐标系 ，则 ， ， ， ，
， ， ∴ ， ，∴ ， ，
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设 是平面 的法向量，设 是平面 的法向量，
则 解得
取 ，则 ， ，得 是平面 的一个法向量.
则 解得 ，
取 ，则 ， ，得 是平面 的一个法向量.
∴ ，∴平面 平面 .
【小问 2 详解】
由（1）知平面 平面 ，
∴平面 与平面 的距离等于点 到平面 的距离，
∵ ， ，∴ ，
又∵ 是平面 的一个法向量，
∴平面 与平面 的距离 .
【小问 3 详解】
由（2）知点 到平面 的距离为 ，
∵ ，∴梯形 为等腰梯形，易得梯形的高为
∴ ， .
19. 如图所示，直角梯形 中， ， 垂直 ， ，四边形 为
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矩形， ，平面 平面 .
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值；
（3）在线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ，若存在，求出线段
的长，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见详解；（2） ；（3）存在，且 .
【解析】
【分析】（1）取 为原点， 所在直线为 轴，过点 且平行于直线 的直线为 轴， 所在直线
为 轴建立空间直角坐标系，求平面 的一个法向量 ，求得 ，由 ，即可求证 平面
；
（2）求得平面 的一个法向量 ，设向量 与 的夹角为 ，根据 ，即可求得答案；
（3）设 ，求向量 与平面 的法向量 所成角的余弦值，列出方程求解，即可
得出 的值，从而可求出结果.
【详解】（1）取 为原点， 所在直线为 轴，过点 且平行于直线 的直线为 轴，
所在直线为 轴建立空间直角坐标系，
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则 ， ， ， ，
， ，
设平面 的一个法向量为 ，
.
不妨设 ，则 ，
.
又 ，
，
.
又 平面 ，
平面 ；
（2） ，
设平面 的一个法向量为 ，
不妨设 ，则 ， ，
.
设向量 与 夹角为 ，
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则 ，
，
.
平面 与平面 所成二面角的正弦值为 ；
（3）设 ，
则 ，所以 ，
又平面 的一个法向量为 ，
即直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
整理得 ，解得 或 ，
当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ；
综上 ，即在线段 上存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ，此时线段
的长为 .
【点睛】本题主要考查向量法求证线面平行和向量法求二面角，以及由线面角求其它量的问题，属于常考
题型.
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