四川省成都市2025_2026学年高二数学上学期10月月考试题含解析 (1)

这是一份四川省成都市2025_2026学年高二数学上学期10月月考试题含解析 (1)，共24页。试卷主要包含了答非选择题时，必须使用 0，考试结束后，只将答题卡交回，5 B， 点 到直线， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
本卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟.
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其它答案标号.
3.答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
5.考试结束后，只将答题卡交回.
一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
1. 已知两条直线 和 ，若 ，则 （ ）
A. 12 B. C. 3 D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用两条直线垂直的条件求解即可.
【详解】因为直线 ， ，且 ，
所以 ,
解得 ，
故选：A
2. 利用随机模拟解决问题的方法称为蒙特卡洛方法，用此方法可以快速进行大量重复试验，进而用频率估
计概率.袋子中有四张卡片，分别写有“山”“城”“重”“庆”四个字，有放回地每次从中任取一张卡片，共取三次
.将三次抽取后“重”“庆”两个字都取到记为事件 ，用随机模拟的方法估计事件 发生的概率.由计算机产生
1，2，3，4 四个随机数，分别代表“山”“城”“重”“庆”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取卡片三次的
结果，经随机模拟产生了以下 20 组随机数：121
､112､433､142､234､111､243､132､422､134､131､441､412､233､143､231､332､341､211､221，由此可以估计事件
发生的概率为（ ）
A. 0.5 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2
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【答案】C
【解析】
【分析】利用古典概率公式求解即可.
【详解】相当于做了 20 次重复试验，其中事件 发生了 6 次，
对应的数据组为 ，用频率估计事件 的概率为 .
故选：C.
3. 已知随机事件 A，B，C 中， 与 相互独立， 与 对立，且 ， ，则
（ ）
A 0.4 B. 0.58 C. 0.7 D. 0.72
【答案】B
【解析】
【分析】由公式 可知只需求出 即可，结合对立减法公式
以及独立乘法公式即可求解.
【详解】 ， ，
所以 .
故选：B.
4. 如图，空间四边形 中， ，点 在 上，且满足 ，点 为
的中点，则 （ ）
A. B.
C. D.
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【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得.
【详解】因为 ，所以 ，又点 为 的中点，所以 ，
所以
.
故选：A
5. 已知向量 ， ，则 在 方向上的投影向量是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用投影向量的公式计算即可；
【详解】由题可得： , ,
所以 在 方向上的投影向量是 ,
故选：D
6. 已知甲、乙两名同学在高三的 6 次数学测试的成绩统计如图（图标中心点所对纵坐标代表该次数学测试
成绩），则下列说法不正确的是（ ）
A. 甲成绩的极差小于乙成绩的极差
B. 甲成绩的第 25 百分位数大于乙成绩的第 75 百分位数
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C. 甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数
D. 甲成绩的方差小于乙成绩的方差
【答案】B
【解析】
【分析】A 由图结合极差概念可判断选项正误；B 由图结合百分位数概念可判断选项正误；C 由图可判断甲
乙平均数的大小关系；D 由图结合方差概念可判断选项正误.
【详解】A，由图甲 极差约为 30，乙的极差大于 30，故 A 正确；
B，对甲成绩排序，又 ，则第 2 个成绩为甲成绩的第 25 百分位数，由图估计值为 90；
对乙成绩排序，又 ，则第 5 个成绩为乙成绩的第 75 百分位数，估计值大于 90，
则甲成绩的第 25 百分位数小于乙成绩的第 75 百分位数，故 B 错误；
C，由图可知，甲的成绩在 90 分上下浮动，乙的成绩有 3 次低于 60 分，则甲成绩的平均数大于乙成绩的平
均数，故 C 正确；
D，由图甲的成绩更加稳定，乙的成绩波动性较强，则甲成绩的方差小于乙成绩的方差，故 D 正确.
故选：B
7. 点 到直线 （ 为任意实数）的距离的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知直线 恒过点 ，由此可知 到直线 的最远距离为 ，最短距离为 0，即可
得答案.
【详解】解：将直线方程 变形为 ，
由 ，解得 ，
由此可得直线 恒过点 ，
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所以 到直线 的最远距离为 ，此时直线 垂直于
到直线 的最短距离为 0，此时直线 经过点 ．
又 ，
所以 到直线 的距离的取值范围是 ．
故选：B．
8. 如图，在直三棱柱 中， ， ， 是线段 的中点，在
内有一动点 （包括边界），则 的最小值是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立适当的空间直角坐标系 ，因为 位于 的同侧，设 关于平面 的对称点
为 ，根据 求解.
【详解】以 为原点， 所在直线为 轴，过点 且平行于 的直线为 轴， 所在直线为 轴，建
立如图所示的空间直角坐标系 ，
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则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ．
设 A 关于平面 对称点为 ， ，
则 ， ．
设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，则 ， ，所以 ，
所以 A 与 到平面 的距离 ，
即 ①．
又 ，所以 ，即 ②．
由①②得 ，由 可得 ， ， ，
所以 ，
所以 ，
当且仅当 ， ， 三点共线时取等号，
所以 的最小值为 ．
故选：C.
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二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则事件 A 与 B 是对立事件
B. 设 A，B 是两个随机事件，且 ， ，若 ，则 A，B 是相互独立事件
C. A，B 同时发生的概率一定比 A，B 中恰有一个发生的概率小
D. 若 ， ，则“事件 A，B 相互独立”与“事件 A，B 互斥”一定不能同时成立
【答案】BD
【解析】
【分析】对于 AC：举反例说明即可；对于 BD：根据独立事件概率乘法公式以及互斥事件的概念分析判断.
【详解】对于选项 A：例如样本空间为 ，事件 ， ，
可得 ，满足 ，
但 ，即事件 不对立，故 A 错误；
对于选项 B：因为 ， ， ，
满足 ，所以 A，B 是相互独立事件，故 B 正确；
对于选项 C：例如样本空间为 ，事件 ， ，
则 A，B 同时发生为事件 ，则 ；
A，B 中恰有一个发生为事件 ，则 ；
显然 ，故 C 错误；
对于选项 D：因为 ， ，
若事件 A，B 相互独立，则 ，可知事件 A，B 不互斥；
若事件 A，B 互斥，则 ，即 ，可知事件 A，B 不相互独立，
所以“事件 A，B 相互独立”与“事件 A，B 互斥”一定不能同时成立，故 D 正确；
故选：BD.
10. 下列说法正确的是（ ）
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A. ＝k 不能表示过点 M（x1，y1）且斜率为 k 的直线方程
B. 在 x 轴，y 轴上的截距分别为 a，b 的直线方程为
C. 直线 y＝kx+b 与 y 轴的交点到原点的距离为 b
D. 过两点 A（x1，y1）B（x2，y2）的直线方程为
【答案】AD
【解析】
【分析】由直线方程的意义判断 A．由直线方程的截距式判断 B，由直线与 的交点及距离的定义判断 C，
分类讨论确定过两点的直线方程判断 D．
【详解】 ＝k 表示过点 M（x1，y1）且斜率为 k 的直线去掉点 ，A 正确；
在 x 轴，y 轴上的截距分别为 a，b，只有 时，直线方程为 ，B 错误；
直线 y＝kx+b 与 y 轴的交点坐标是 ，交点到原点的距离为 ，C 错误；
过两点 A（x1，y1）B（x2，y2）的直线
当 时，直线方程为 ，变形为 ，
当 时，直线方程为 ，也适合方程 ，
所以 D 正确．
故选：AD．
11. 如图，圆柱 的底面半径和母线长均为 是底面直径，点 在圆 上且 ，点 在母线
，点 是上底面的一个动点，则（ ）
A. 存在唯一的点 ，使得
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B. 若 ，则点 的轨迹长为 4
C. 若 ，则四面体 的外接球的表面积为
D. 若 ，则点 的轨迹长为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对选项 A：作 E 关于 D 点的对称点为 ，利用对称性与三点共线距离最短求解；对选项 BD：建
立空间直角坐标系，根据 F 满足的条件判断其轨迹，求其长度；对选项 C：证明 AE 中点 Q 为四面体
的外接球的球心即可.
【详解】
设 E 关于 D 点的对称点为 ，
则 ，
所以 当且仅当 三点共线时取等号，
故存在唯一的点 ，使得 ，故 A 正确；
由题意知 ，以 O 为坐标原点，以 为 正方向建立空
间直角坐标系，
则 设 ，
则 ，
对选项 B： 当 时， ，
所以点 的轨迹长为上底面圆 的一条弦 MN， 到 MN 的距离为 1，
所以 ，故点 的轨迹长为 ，所以 B 错误；
对选项 D： 当 时， ，
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所以点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，其轨迹长为 ，故 D 正确；
对选项 C：在 中， ，
为直角三角形，其外心为 与 的交点 ，且 ，
而
所以 ，所以 Q 为四面体 的外接球的球心，球半径为 ，所以球的表面积
为 ，故 C 正确.
故选：ACD
【点睛】方法点睛：对立体几何中动点的轨迹问题采用几何法分析难度时可以用坐标法去研究，根据动点
的坐标满足的方程可以方便的判断出轨迹的形状，将几何问题转化为代数问题解决.
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 设直线 l 的斜率为 k，且 ，则直线的倾斜角 的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用倾斜角与斜率关系图象得解.
【详解】
由图得当 时，
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故答案为：
【点睛】熟悉倾斜角与斜率函数图象是解题关键.
13. 如图，已知 ABC-A1B1C1 是侧棱长和底面边长均等于 a 的直三棱柱，D 是侧棱 CC1 的中点，则点 C 到平
面 AB1D 的距离为____.
【答案】 ##
【解析】
【分析】可用等体积法求点到平面的距离，或直接建立空间直角坐标系，用向量法求点到平面的距离.
【详解】由题可知： 平面 平面 ,所以
所以 , , ,
所以 ,所以 .
所以 .
直三棱柱 的底面边长均等于 a，所以 是正三角形，取 的中点 ，连接 ，则
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,且 .
因为 平面 ,所以 平面 ,.
因为 ,所以 ,
所以 .
故答案为： .
方法二：如图所示，
直三棱柱 的底面边长均等于 a，所以 是正三角形，取 的中点 ，连接 ，则
,且 .
因为侧面 是矩形，取 的中点 F，连接 ,则 .
因为侧棱 平面 ，所以 平面 ,所以 两两垂直，所以分别以 所
在直线为 轴建立空间直角坐标系.
据题意可知，
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则
设平面 AB1D 的一个法向量是
所以 ,所以 ,
令 ,则 ,所以 .
因为 ,所以点 C 到平面 AB1D 的距离 .
故答案为：
14. 甲、乙、丙三人玩“剪刀、石头、布”游戏（剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀)，规定每局中：①三人
出现同一种手势，每人各得 1 分；②三人出现两种手势，赢者得 2 分，输者负 1 分；③三人出现三种手势
均得 0 分.当有人累计得 3 分及以上时，游戏结束，得分最高者获胜，已知三人之间及每局游戏互不受影响.
则甲在一局中得 2 分的概率 __________；游戏经过两局后甲恰得 3 分且为唯一获胜者的概率
____________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】第一空，根据题意可画出树状图，得到甲得 2 分情况有 9 种，从而可求解；第二空，游戏经过两
局后甲恰得 3 分且为唯一获胜者的情况有 2 种：①第一局甲得 2 分，第二局甲得 1 分，则第一局乙丙得负
一分，第二局得 1 分，②第一局甲得 1 分，第二局甲得 2 分，则第一局乙丙得 1 分，第二局乙丙得负 1 分，
然后求出每种情况的概率从而可求解；
详解】第一空，根据题意，画出树状图，如图：
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所以每局中共有 种情况，其中甲在一局中得 2 分的情况有（出手势顺序按甲乙丙）：
（剪刀、剪刀、布）、（剪刀、布、剪刀）、（剪刀、布、布）、
（石头、石头、剪刀）、（石头、剪刀、石头）、（石头、剪刀、剪刀）、
（布、布、石头）、（布、石头、布）、（布、石头、石头）、
一共有 9 种情况，所以甲在一局中得 2 分的概率 .
第二空，游戏经过两局后甲恰得 3 分且为唯一获胜者的情况有 2 种：
①第一局甲得 2 分，第二局甲得 1 分：
则乙第一局得负 1 分，第二局得 1 分；则丙第一局得负 1 分，第二局得 1 分；
由（1）中树状图可知满足情况有：
第一局：（剪刀、布、布）、（石头、剪刀、剪刀）、（布、石头、石头）、
第二局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石头、石头、石头）
此时概率为 .
②第一局甲得 1 分，第二局甲得 2 分，则第一局乙丙得 1 分，第二局乙丙得负 1 分，
则乙第一局得 1 分，第二局得负 1 分；则丙第一局得 1 分，第二局得负 1 分；
由（1）中树状图可知满足情况有：
第一局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石头、石头、石头）
第二局：（剪刀、布、布）、（石头、剪刀、剪刀）、（布、石头、石头）、
此时概率为 ，
综上所述：游戏经过两局后甲恰得 3 分且为唯一获胜者的概率 .
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故答案为： ，
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知向量 ， ， .
（Ⅰ）当 时，若向量 与 垂直，求实数 和 的值；
（Ⅱ）若向量 与向量 ， 共面，求实数 的值.
【答案】（Ⅰ）实数 和 的值分别为 和 .（Ⅱ）
【解析】
【分析】(Ⅰ)根据 可求得 ,再根据垂直的数量积为 0 求解 即可.
(Ⅱ)根据共面有 ,再求解对应的系数相等关系求解即可.
【详解】解：(Ⅰ)因为 ,所以 .
且 .
因为向量 与 垂直,
所以 .
即 .
所以实数 和 的值分别为 和 .
(Ⅱ)因为向量 与向量 ， 共面,所以设 （ ）.
因为 ,
所以
所以实数 的值为 .
【点睛】本题主要考查了空间向量的基本求解方法,包括模长的运算以及垂直的数量积表达与共面向量的关
系等.属于基础题.
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16. 某市举办了党史知识竞赛，从中随机抽取部分参赛选手，统计成绩后对统计数据整理得到如图所示的频
率分布直方图．
（1）试估计全市参赛者成绩的第 40 百分位数（保留小数点后一位）和平均数（单位：分）；
（2）若用按比例分配的分层随机抽样的方法从 ， ， 三层中抽取一个容量为 6 的
样本，再从这 6 人中随机抽取两人．求抽取的两人都及格（大于等于 60 分为及格）的概率．
【答案】（1）83.3；84
（2）
【解析】
【分析】（1）由频率分布直方图计算可得 x，再借助百分位数的定义与平均数定义计算即可得：
（2）先借助分层随机抽样定义计算出从 ， ， 三层中抽取的人数，并给抽取出的
人数进行编号，结合古典概型公式，计算出所有可能的样本空间数即符合要求的样本空间数即可得．
【小问 1 详解】
，则 ，
； ，
故 40 百分位数在 层，则 40 百分位数为 ，
平均数 ；
【小问 2 详解】
因为按比例分配的分层随机抽样，故 ， ， 三层中抽取的样本量分别为：
， ， ，
从这 6 人中随机抽取两人，记 中抽取的人编号为 1， 抽取的人编号为 2、3， 抽取
的人编号为 4、5、6，
记事件 “抽取的两人都及格”
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，
所以 ；
，所以 ；
∴ ．
17. 如图所示的几何体中， 垂直于梯形 所在的平面， 为 的中点，
，四边形 为矩形，线段 交 于点 .
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的正弦值；
（3）在线段 上是否存在一点 ，使得 与平面 所成角的大小为 ？若存在，求出 的长；
若不存在，请说明理由.
【答案】（1）见解析（2） （3）在线段 上存在一点 满足题意，且
【解析】
【分析】(1)由题意结合线面平行的判定定理即可证得题中的结论；
(2)建立空间直角坐标系，利用两个半平面的法向量可得二面角的余弦值，然后利用同角三角函数基本关系
可得二面角的正弦值；
(3)假设点 Q 存在，利用直线的方向向量和平面的法向量计算可得点 Q 的存在性和位置.
【详解】（1）因为四边形 为矩形，所以 为 的中点.连接 ，
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在 中， 分别为 的中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）易知 两两垂直，如图以 为原点，分别以 所在直线为 轴，建立空间直
角坐标系.
则 ，所以 .
设平面 的法向量为 ，
则 即 解得
令 ，得
所以平面 的一个法向量为 .
设平面 的法向量为 ，
，据此可得 ，
则平面 的一个法向量为 ，
，于是 .
故二面角 的正弦值为 .
（3）设存在点 满足条件.
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由 ，
设 ，整理得 ，
则 .
因为直线 与平面 所成角的大小为 ，
所以
解得 ，
由 知 ，即点 与 重合.
故在线段 上存在一点 ，且 .
【点睛】本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题：
(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量
运算，要认真细心，准确计算．
(2)设 分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与 互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判
断所求角是锐角还是钝角．
18. 如图，已知 ， ， ，直线 ．
（1）证明直线 经过某一定点，并求此定点坐标；
（2）若直线 等分 的面积，求直线 的一般式方程；
（3）若 ，李老师站在点 用激光笔照出一束光线，依次由 （反射点为 ）、 （反射点为
）反射后，光斑落在 点，求入射光线 的直线方程．
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【答案】（1）证明见解析，定点坐标为 ；
（2） ；
（3） ．
【解析】
【分析】（1）整理得到 ，从而得到方程组，求出定点坐标；
（2）求出定点 在直线 上，且 ，由 得到 ，设出
，由向量比例关系得到 点坐标，得到直线方程；
（3）作出辅助线，确定 关于 和 的对称点 ，得到 ，由对称性得 ，
写成直线方程.
【小问 1 详解】
直线 可化为 ，
令 ，解得 ，故直线 经过的定点坐标为 ；
【小问 2 详解】
因为 ， ， ，所以 ，
由题意得直线 方程为 ，
故直线 经过的定点 在直线 上，所以 ，
设直线 与 交于点 ，所以 ，
即 ，所以 ，
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设 ，所以 ，即 ，
所以 ， ，所以 ，
将 点坐标代入直线 的方程，解得 ，
所以直线 的方程为 ；
【小问 3 详解】
设 关于 的对称点 ，关于 的对称点 ，
直线 的方程为 ，即 ，
直线 的方程为 ，所以 ，
解得 ，所以 ，
由题意得 四点共线， ，由对称性得 ，
所以入射光线 的直线方程为 ，
即 ．
19. 在空间直角坐标系 中，过点 且以 为方向向量的直线方程可表示为
，过点 且以 为法向量的平面方程可表示为
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．
（1）若直线 与 都在平面 内，求平面 的方程；
（2）在三棱柱 中，点 与坐标原点 重合，点 在平面 内，平面 以
为法向量，平面 的方程为 ，求点 的坐标；
（3）若集合 中所有的点构成了多面体 的各个面，求 的体积和相邻两
个面所在平面的夹角的余弦值．
【答案】（1）
（2）
（3）体积为 ，相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为
【解析】
【分析】（1）求出直线 、 的方向向量，进而可求得平面 的法向量，结合题意可得出平面 的方程；
（2）根据题意，设点 ，根据已知条件可得出关于 、 的方程组，解出这两个未知数的值，即
可得出点 的坐标；
（3）求出多面体 与各坐标轴的交点坐标，利用锥体的体积公式可求出多面体 的体积，化简多面体两
个相邻平面的方程，可得出这两个平面的法向量，利用空间向量可求得多面体 相邻两个平面夹角的余弦
值.
【小问 1 详解】
解：由题意可知，直线 的一个方向向量为 ，
直线 的一个方向向量为 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
解得 ，取 ，则 ，
易知直线 过点 ，所以，平面 的方程为 .
即 .
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【小问 2 详解】
解：根据题意，设点 ，则 ，
因为平面 以 为法向量，则 ，①
又因为点 在平面 内，则 ，②
联立①②可得 ， ，故点 的坐标为 .
【小问 3 详解】
解：如下图所示：
易知多面体 交各坐标轴于点 、 、 、 、
、 ，
正方形 的边长为 ，
所以，正方形 的面积为 ，
而正四棱锥 的高为 ，则 ，
所以，多面体 的体积为 .
易知平面 的方程为 ，该平面的一个法向量为 ，
平面 的方程为 ，该平面的一个法向量为 ，
平面 的方程为 ，该平面的一个法向量为 ，
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所以， ， ，
因此，多面体 相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为 .
【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：
（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，
解对应的三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与
平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.
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