安徽省阜阳市部分学校2025-2026学年上学期八年级数学12月月考试卷

这是一份安徽省阜阳市部分学校2025-2026学年上学期八年级数学12月月考试卷，共27页。
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 下列从左到右变形中，是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 下列四种网络运营商的标志中，为轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列整式乘法计算中，能运用平方差公式计算的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 如图所示是两个全等的三角形，则的度数为（ ）
A. 75°B. 55°C. 50°D. 45°
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 如果x＝3m+1，y＝2+9m，那么用x的代数式表示y为（ ）
A. y＝2xB. y＝x2C. y＝（x﹣1）2+2D. y＝x2+1
7. 要使多项式不含x的二次项，则p与q的关系是（ ）
A. 互为相反数B. 互为倒数
C. 相等D. 乘积为
8. 如图，正方形，正方形的边长分别为，点在边上，这两个正方形的面积之差为，且，则的长为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
9. 已知实数a，b，c满足，，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，在等边中，为的平分线，在，上分别取点，，且，在上有一动点，则的最小值为（ ）
A. 16B. 18C. 20D. 22
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 因式分解：___________
12. 已知长方形的面积是，若其一边长是，则另一边长是___________．
13. 设有边长分别为和的类和类正方形纸片，长为、宽为的类长方形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张类纸片、1张类纸片和2张类纸片．若要拼一个长为，宽为的长方形，则需要类纸片的张数为___________．
14. 如图，在中，，．已知的顶点是线段上一点，经过顶点与交于点，设与的夹角为．
（1）若，则的度数为___________；
（2）当是等腰三角形时，的度数为___________．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 因式分解：
（1）；
（2）．
16. 先化简，再求值：，其中．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，点在同一条直线上，．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
18. 如果，那么我们规定，例如：如果，那么．
（1）根据上述规定，填空：_________，________；
（2）记，求证：．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 阅读材料：对某些多项式的因式分解可引入“多项式分裂重组法”．
例如：分解因式：将一次项分裂为，重组分组得．
【基础应用】
（1）利用“多项式分裂重组法”分解因式：；
【方法深化】
（2）分解因式：；
【拓展创新】
（3）已知多项式通过“多项式分裂重组法”可分解为，求，，的值．
20. 为了提高业主的宜居环境，某小区准备在一个长为，宽为的长方形草坪上修建一横一竖、互相垂直且宽度均为的通道．
（1）求通道的面积；
（2）求剩余草坪的面积；
（3）当时，求剩余草坪的面积．
六、（本题满分12分）
21. 【观察思考】
“回文”是汉语特有的一种使用词序回环往复的修辞方法，正着读，倒着读，文字一样，韵味无穷．例如：处处飞花飞处处，源源碧水碧源源．数学中也有像回文联一样的“回文等式”，例如，以下是两位数与三位数相乘的“回文等式”
；
；
；
；
；
……
【规律探索】
在上述等式中，以等号为对称轴，等号两边各个数字是对称排列的，根据等式规律完成下列任务：
（1）根据上述等式规律填空：
①____________，②______=______；
【规律证明】
（2）有同学发现此种有理数的乘积是11的倍数并利用代数知识证明此等式中的规律：设等式左边两位数的十位数字为，个位数字为，且，等式左边表示为：，等式右边表示为：．
左边______；
∴左边（ ），即该式中乘积是11的倍数．
右边（______）______．
∴左边=右边．
七、（本题满分12分）
22. 已知在中，，点D是边上一点，．
（1）如图1，试说明的理由；
（2）如图2，过点B作，垂足为点E，与相交于点F．
①试说明的理由；
②如果是等腰三角形，求的度数．
八、（本题满分14分）
23. 通过第十六章的学习，如图1可以得到：；如图2可以得到：．现有长与宽分别为的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形．
（1）在图3中，根据图中条件，猜想并验证与之间的关系：_________（用含的代数式表示出来）；
【解决问题】
（2）①若，求的值；
②当时，求的值；
【拓展提升】
（3）如图4，点是线段上一点，以，为边向两边作正方形和正方形，延长和交于点，那么四边形为长方形．已知，图中阴影部分的面积为，求两个正方形的面积之和：．八年级数学
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的乘积形式． 根据定义判断各选项．
【详解】解：A、等式右边不是几个整式的乘积形式，不是因式分解，不符合题意；
B、该变形是整式乘法，不是因式分解，不符合题意；
C、原式是因式分解，符合题意；
D、等式右边不是几个整式的乘积形式，不是因式分解，不符合题意；
故选：C．
2. 下列四种网络运营商的标志中，为轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A，B，C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：D．
3. 下列整式的乘法计算中，能运用平方差公式计算的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式中代数式的特征是解题的关键．
平方差公式的形式为，即两个二项式中，一项相同，另一项互为相反数，检查各选项变形后是否符合此形式即可．
【详解】选项A：，符合形式，能运用平方差公式，符合题意要求；
选项B：，不能运用平方差公式，不符合题意要求；
选项C：，不能运用平方差公式，不符合题意要求；
选项D：，不能运用平方差公式，不符合题意要求；
故选A．
4. 如图所示是两个全等的三角形，则的度数为（ ）
A. 75°B. 55°C. 50°D. 45°
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的性质，掌握全等三角形对应边、对应角相等是解题的关键．
先求出第一张图中边与边之间夹角为，结合全等三角形的性质，可判断与其相等，故得出的度数．
【详解】解：由第一张图，可计算出边与边之间的夹角为，
∵两个三角形全等，
又∵为边与边之间的夹角，与第一张图中边与边之间的夹角相等，
∴，
故选B．
5. 下列计算正确的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方和积的乘方计算，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：B．
6. 如果x＝3m+1，y＝2+9m，那么用x的代数式表示y为（ ）
A. y＝2xB. y＝x2C. y＝（x﹣1）2+2D. y＝x2+1
【答案】C
【解析】
【分析】根据移项，可得3m的形式，根据幂的运算，把3m代入，可得答案．
【详解】x=3m+1，y=2+9m，
3m=x-1，
y=2+（3m）2，
y=（x-1）2+2，
故选C．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，先化成要求的形式，把3m代入得出答案．
7. 要使多项式不含x的二次项，则p与q的关系是（ ）
A. 互为相反数B. 互为倒数
C. 相等D. 乘积为
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了多项式乘以多项式，把式子展开，找到所有项的所有系数，令其为0，可求出p、q的关系，熟练掌握运算法则是解题关键．
【详解】解：，
又∵多项式不含x的二次项，
∴，
解得：，
故选：A．
8. 如图，正方形，正方形的边长分别为，点在边上，这两个正方形的面积之差为，且，则的长为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查代数式计算与面积问题，根据题干信息得出，之间的关系是解题的关键．
根据题意，面积之差为117，即，结合，即，DG的长度恰为，根据平方差公式即可求出的值．
【详解】解：∵两正方形面积之差为117，
∴，
∵，
∴，
∵，将上述数值代入计算，
解出，
则的长度为，
故选C．
9. 已知实数a，b，c满足，，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式和解不等式，由得到，，然后分别代入和计算即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴
，
综上所述，，，
故选：D．
10. 如图，在等边中，为的平分线，在，上分别取点，，且，在上有一动点，则的最小值为（ ）
A. 16B. 18C. 20D. 22
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查等边三角形的性质、轴对称有关的线段最值问题、勾股定理等，准确添加辅助线是解题的关键．
首先判断最小值时所对应的情况，添加辅助线后计算线段长度，结合线段长度和差计算以及勾股定理，依次计算出、、的长度，最终计算出ME的长度．
【详解】解：∵，，
∴，∴，
判断最值情况，以为对称轴作点的对称点，则，连接，故当最小时即为的长度，过点作交于点，如下图所示：
∵，，
∴，∵，
∴，结合，
∴，由勾股定理可得，
∵，，，
∴，
结合，，
由勾股定理得，
即的最小值为，
故选A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 因式分解：___________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查因式分解，提取公因式是解题的关键．
观察表达式，发现具有公因式，直接提取公因式进行因式分解即可．
【详解】原式，
提取公因式，
得，
故答案为： ．
12. 已知长方形的面积是，若其一边长是，则另一边长是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了多项式除以单项式的应用，根据长方形面积公式，另一边长等于面积除以已知边长，据此列式求解即可．
【详解】解：
∴另一边长是，
故答案为：．
13. 设有边长分别为和的类和类正方形纸片，长为、宽为的类长方形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张类纸片、1张类纸片和2张类纸片．若要拼一个长为，宽为的长方形，则需要类纸片的张数为___________．
【答案】9
【解析】
【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，计算出的结果，结果中项的系数即为所求答案．
【详解】解：
，
∴要拼一个长为，宽为的长方形，则需要类纸片的张数为9，
故答案为：9．
14. 如图，在中，，．已知的顶点是线段上一点，经过顶点与交于点，设与的夹角为．
（1）若，则的度数为___________；
（2）当是等腰三角形时，的度数为___________．
【答案】 ①. ②. 或
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质以及三角形中的角度计算问题，熟练掌握各角度关系是解题的关键．
（1）根据等腰三角形等边对等角的性质，先求出的度数，结合，求出的度数，最终可得的度数；
（2）由于未明确哪两条边为腰，故对、、进行分类讨论，同样依据等腰三角形的角度性质解出的大小．
【详解】解：（1）已知，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）分类讨论：
当时，如下图：
∵，，
∴，
又∵，
∴；
当时，如下图：
∵，，
∴，
又∵，
∴；
当时，此时点P与点B重合，点D与点A重合，
，题干要求，故该情况不存在；
故答案为：或．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题的关键．
（1）先提公因式，再采用公式法即可；
（2）将代数式进行变形，再提取公因式，然后采用公式法进行因式分解．
【小问1详解】
解：原式
．
小问2详解】
解：原式
．
16. 先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【解析】
【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握完全平方公式与平方差公式是解题的关键．
首先利用完全平方公式与平方差公式对整式进行展开，再合并同类项，得出最简形式，再将代入求值．
【详解】解：化简：
由于，代入上式，
原式
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，点在同一条直线上，．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）6
【解析】
【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键．
（1）由，得，则可根据“”证明；
（2）由全等三角形的性质得，再根据线段的和差求解即可．
【小问1详解】
证明：∵，
，
在和中
，
；
【小问2详解】
解：由（1）知，
，
，
．
18. 如果，那么我们规定，例如：如果，那么．
（1）根据上述规定，填空：_________，________；
（2）记，求证：．
【答案】（1）3；3 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了新定义，同底数幂乘法计算，正确理解新定义是解题的关键．
（1）根据，结合新定义即可得到答案；
（2）根据新定义可得，则可证明，进而得到，据此可证明结论．
【小问1详解】
解：∵，
∴；
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 阅读材料：对某些多项式的因式分解可引入“多项式分裂重组法”．
例如：分解因式：将一次项分裂为，重组分组得．
【基础应用】
（1）利用“多项式分裂重组法”分解因式：；
【方法深化】
（2）分解因式：；
【拓展创新】
（3）已知多项式通过“多项式分裂重组法”可分解为，求，，的值．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ，，
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，根据题意利用分组分解法求解是解题的关键．
（1）根据分组分解法组合求解即可；
（2）根据分组分解法组合求解即可；
（3）把展开，对照即可得解；
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
，
根据是由多项式通过“多项式分裂重组法”分解得到，
，
，，．
20. 为了提高业主的宜居环境，某小区准备在一个长为，宽为的长方形草坪上修建一横一竖、互相垂直且宽度均为的通道．
（1）求通道的面积；
（2）求剩余草坪的面积；
（3）当时，求剩余草坪的面积．
【答案】（1）通道的面积为
（2）剩余草坪面积为
（3）剩余草坪面积为
【解析】
【分析】本题考查代数式的计算以及求值，熟练运用代数式进行计算是解题的关键．
（1）通道总面积可视为互相垂直的矩形面积之和减去重叠部分的面积，利用代数式进行计算化简即可；
（2）利用原草坪面积减去通道面积即可；
（3）将代入（2）中结果即可．
【小问1详解】
解：通道总面积可视为互相垂直的矩形面积之和减去重叠部分的面积，
故面积为：
故通道的面积为．
小问2详解】
解：∵
原草坪面积为：，
剩余草坪面积：，
故剩余草坪面积为．
【小问3详解】
解：将，代入，
得，
故剩余草坪面积为．
六、（本题满分12分）
21. 【观察思考】
“回文”是汉语特有的一种使用词序回环往复的修辞方法，正着读，倒着读，文字一样，韵味无穷．例如：处处飞花飞处处，源源碧水碧源源．数学中也有像回文联一样的“回文等式”，例如，以下是两位数与三位数相乘的“回文等式”
；
；
；
；
；
……
【规律探索】
在上述等式中，以等号为对称轴，等号两边的各个数字是对称排列的，根据等式规律完成下列任务：
（1）根据上述等式规律填空：
①____________，②______=______；
【规律证明】
（2）有同学发现此种有理数的乘积是11的倍数并利用代数知识证明此等式中的规律：设等式左边两位数的十位数字为，个位数字为，且，等式左边表示为：，等式右边表示为：．
左边______；
∴左边（ ），即该式中的乘积是11的倍数．
右边（______）______．
∴左边=右边．
【答案】（1）①18，81；②583，（2），，，
【解析】
【分析】（1）观察所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题．
（2）根据（1）中发现的规律进行证明即可．
本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给等式发现各部分的变化规律是解题的关键．
【详解】解：（1）①由题知，
因为；
；
；
；
；
…，
所以
故答案为：18，
②
故答案为：583，
（2）由题知，
等式左边表示为：，
等式右边表示为：
左边，
左边，即该式中的乘积是11的倍数，
右边
，
左边=右边．
故答案为：，，，
七、（本题满分12分）
22. 已知在中，，点D是边上一点，．
（1）如图1，试说明的理由；
（2）如图2，过点B作，垂足为点E，与相交于点F．
①试说明的理由；
②如果是等腰三角形，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②或
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的判定及性质，三角形的内角和定理及外角的性质，结合图形分情况讨论是解决问题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质可得∠，从而可得，然后根据等量代换可得．再根据等角对等边可得，即可解答；
（2）①根据垂直定义可得，从而可得，然后设，则，利用（1）的结论可得，最后利用三角形内角和定理可得，即可解答；
②根据三角形的外角性质可得，然后分三种情况：当时；当时；当时；分别进行计算即可解答．
小问1详解】
解：∵，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∵，，
∴，
∴．
∴；
【小问2详解】
解：①∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴；
②∵是的一个外角，
∴，
分三种情况：
当时，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当时，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当时，
∴，
∵，
∴不存在，
综上所述：如果是等腰三角形，的度数为或．
八、（本题满分14分）
23. 通过第十六章的学习，如图1可以得到：；如图2可以得到：．现有长与宽分别为的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形．
（1）在图3中，根据图中条件，猜想并验证与之间的关系：_________（用含的代数式表示出来）；
【解决问题】
（2）①若，求的值；
②当时，求的值；
【拓展提升】
（3）如图4，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形和正方形，延长和交于点，那么四边形为长方形．已知，图中阴影部分的面积为，求两个正方形的面积之和：．
【答案】（1）
（2）①的值为或；②的值为
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．
（1）根据图3是一个边长为的大正方形，由4个长为，宽为的长方形和一个边长为的小正方形构成，根据图形面积公式可得出与之间的关系；
（2）①由完全平方公式可得，将代入求值即可；②首先假设，，则，且，，根据（1）中的结论可求出的值；
（3）假设，，则，，，由完全平方公式可得，据此求出的值．
【小问1详解】
解：观察图像，一个边长为的大正方形，由4个长为，宽为的长方形和一个边长为的小正方形构成，根据面积公式，
可得,
即．
【小问2详解】
解：①∵，结合，代入公式，
得，
∴的值为或；
②假设，，
则，且，，
由（1）中，
可得，
即．
【小问3详解】
解：假设，，则，，，
∵，
得，
故，．