浙江省金华市义乌市宾王中学2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷及参考答案

这是一份浙江省金华市义乌市宾王中学2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷及参考答案，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，则的值是（ ）
A．B．C．2D．
2．如图所示的钢块零件的左视图为（ ）
A．B．C．D．
3．投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上，那么，投掷第5次硬币正面朝上的可能性是（ ）
A．B．C．D．
4．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向上B．对称轴是直线
C．抛物线的顶点坐标是D． 当时，随的增大而增大
5．如图，四边形为的内接四边形，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，表示一个窗户的高，和表示射入室内的光线，窗户的下端到地面距离m，已知某一时刻在地面的影长m，在地面的影长m，则高为（ ）米．
A．B．2C．D．
7．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，且点恰好落在上．若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，周长为20cm，cm，圆是的内切圆，圆的切线与、相交于点、，则的周长为（ ）
A．14cmB．8cmC．7cmD．9cm
9．如图，已知点，为坐标原点，是线段上任意一点不含端点、），过、两点的二次函数和过、两点的二次函数的图象开口均向下，它们的顶点分别为、，射线与相交于点．当时，这两个二次函数的最大值之和等于（ ）
A．5B．C．8D．12
10．如图，在矩形内放置5个大小相同的正方形，且四个点分别在矩形的四条边上．要求的值，只要知道下面哪条线段的长？（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．在中，，那么的度数是__________．
12．已知线段是线段、的比例中项，如果cm，cm，则__________cm．
13．如图，点是半圆圆心，是半圆的直径，点在半圆上，且，则阴影部分的面积是__________．
14．飞机着陆后滑行的距离（单位：m）关于滑行时间（单位：）的函数解析式是．在飞机着陆滑行中，滑行的最大距离是__________m．
15．如图，，点、分别是线段、射线上的动点，以为斜边向上作等腰，，连接，则的最小值为__________．
16．已知抛物线上有三点，且，则的取值范围是__________．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题8分）
计算：．
18．（本小题8分）
在的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形顶点均在格点上的三角形
（1）将图1中的格点绕点按顺时针方向旋转，画出经旋转后的；
（2）在图2中画出与相似但相似比不为1的格点．
19．（本小题8分）
对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护环境．为了检查垃圾分类的落实情况，某居委会成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的四个小区进行检查，并且每个小区不重复检查．
（1）甲组抽到小区的概率是__________；
（2）请用列表或画树状图的方法求甲组抽到小区，同时乙组抽到小区的概率．
20．（本小题8分）
自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡米，坡度为；斜坡改造为斜坡，斜坡260米，其坡度为．求斜坡下降的高度．（结果保留根号）
21．（本小题8分）
如图，为的直径，点在上，，点在的延长线上，与相切于点，与的延长线相交于点，与相交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的半径．
22．（本小题10分）
某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．
（一）拓展探究
如图1，在中，，，垂足为．
（1）兴趣小组的同学得出，理由如下：
请完成填空：①__________；②__________；
（2）如图2，为线段上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由．
23．（本小题10分）
已知二次函数（是常数，且）．
（1）若抛物线经过，求二次函数解析式．
（2）在（1）的条件下，抛物线上有一点，向右平移3个单位后仍在该抛物线上，求点的坐标．
（3）若抛物线上有且仅有一个点的纵坐标是横坐标的三倍，令，是否存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
24．（本小题12分）
如图，内接于，，点是上的一个动点．
（1）如图1，若的半径为2，，求的长．
（2）如图2，连结．若，求的度数．
（3）如图3，过点作．若，，对于的任意长度，都有的值是一个定值，求的值．
参考答案
1．D 2．B 3．B 4．C 5．B 6．B 7．B 8．B 9．D 10．A
11． 12．4 13． 14．600 15．5 16．
17．
【解析】解：原式．
把特殊角的三角函数值代入进行计算即可解答．
本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
18．【答案】解：（1）如图1，即为所求；
（2）如图2，分别取格点，使，
此时∽，相似比为，则即为所求．
【解析】（1）根据旋转的性质作图即可．
（2）结合相似三角形的判定，画的各边长分别为即可．
本题考查作图-相似变换、作图-旋转变换，熟练掌握相似三角形的判定、旋转的性质是解答本题的关键．
19．（1）；
（2）根据题意画树状图如下：
∵共有12种等可能的结果数，其中甲组抽到小区，同时乙组抽到小区的结果数为1，
∴甲组抽到小区，同时乙组抽到小区的概率为．
【解析】解：（1）∵共有4个小区，∴甲组抽到小区的概率是，
故答案为：．
（2）见答案．
（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数和甲组抽到小区，同时乙组抽到小区的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
20．解：∵斜坡的坡度为，∴，∴，
∴（米）．
∵斜坡的坡度为，∴，∴可设米，则米．
∵米，∴，解得，
∴米．
因此斜坡下降的高度为米．
【解析】根据坡度与坡角的关系得到，根据正弦的定义求出，再根据坡度的概念、勾股定理求出，计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记坡度的概念、掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
21．见解析；12．
【解析】（1）证明：连接，如图所示，∵与相切于点，∴,
∵，∴，
又∵，∴，
又∵，∴，∴．
（2）解：∵，设，则，
∴，
又∵，∴，
在中，由勾股定理可得：，解得：或（舍去）
∴，∴的半径为12．
（1）连接，可得，由，可得，又，，可得．再由，则可得，即可证明结论；
（2）设，，则，，，在中，由勾股定理可得方程，解得．即可得到结论．
本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，圆周角定理，以及方程思想，掌握以上知识点是解题的关键．
22．
【解析】解：（1）∵，∴，
∵，∴．∴．∴．
∵，∴∽．∴．
故答案为：；；
（2）是直角三角形，理由：∵，
∴∽，∴，∴，
由（1）得，∴，∴，
∵，∴∽，∴，
∴是直角三角形．
（1）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）由，得到∽，根据相似三角形的性质得到，求得，由（1）得，于是得到，根据相似三角形的性质得到，从而是直角三角形．
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
23．；点的坐标为：；存在，或3．
【解析】解：由题意得：，解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）设点，则平移后点的坐标为：，
将该点的坐标代入函数表达式得：，解得：，
则点的坐标为：；
（3）存在，理由：由题意得：，
联立上式和抛物线的表达式得：，则，
则，
当时，，当时，，当时，，
当时，则函数在时取得最小值，即，则或（舍去）；
当时，则函数在顶点时取得最小值，即（舍去）；
当时，则函数在时取得最小值，即，则或（舍去）；
综上，或3．
（1）由题意得：，即可求解；
（2）设点，则平移后点的坐标为：，将该点的坐标代入函数表达式得：，即可求解；
（3）当时，则函数在时取得最小值，即，则或（舍去）；当或时，同理可解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的图象和性质、新定义，分类求解是解题的关键．
24．；；的值为．
【解析】解：（1）连接，如图，
∵，∴，
∵的半径为2，∴，∴；
（2）在上截取，连接，如图，
在和中，，
∴≌（SAS），∴．
∵，∴，∴，
∴为等边三角形，∴，
∴，∴，即；
（3）过点作，交的延长线于点，过点作于点，连接，如图，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴四边形为平行四边形，∴，∴，
∵，∴．
∵，∴四边形为矩形，∴，
设，则，∴,∴，
∴，
∵，∴，
∵四边形为圆的内接四边形，∴，∴
∴∽，∴，∴，∴，
∵，∴，
∴
,
∵对于的任意长度，都有的值是一个定值，
∴的值与无关，
∴，∴（不合题意，舍去）或．
∴对于的任意长度，都有的值是一个定值，的值为．
（1）利用圆周角定理和等腰直角三角形的性质解答即可；
（2）在上截取，连接，利用全等三角形的判定与性质得到，，进而得到为等边三角形，利用等式的性质即可得出结论；
（3）过点作，交的延长线于点，过点作于点，连接，利用平行四边形的判定与性质得到，，设，则，利用等腰三角形的性质和矩形的判定与性质得到，利用相似三角形的判定与性质和勾股定理得到，化简，令的系数为0，即可得出结论．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，平行四边形的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．∵，
∴．
∵，
∴．
∵．
∴①
∵，
∴∽
∴②．
∴