浙江省名校联合体2025-2026学年高一上学期12月月考数学试卷（Word版附解析）

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命题：余杭高级中学（临平中学） 高一数学备课组 审稿：元济高级中学 李慧华 校稿：嵊
州中学 吕金晶
第 I 卷
一､单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知全集 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意结合集合 补集运算求解即可.
【详解】因为全集 ，
所以 .
故选：D.
2. 已知弧长为 的弧所对的圆心角为 ，则该弧所在的扇形面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据弧长公式及扇形面积公式计算求解.
【详解】弧所对的圆心角为 ，设扇形所在圆的半径为 ，则弧长为 ，所以
该弧所在的扇形面积为 .
故选：A.
3. 若 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
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C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】解法一：由 化简得到 即可判断；解法二：证明充分性可由 得到
，代入 化简即可，证明必要性可由 去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证
明充分性可由 通分后用配凑法得到完全平方公式，再把 代入即可，证明必要性可由
通分后用配凑法得到完全平方公式，再把 代入，解方程即可.
【详解】解法一：
因为 ，且 ，
所以 ，即 ，即 ，所以 .
所以“ ”是“ ”的充要条件.
解法二：
充分性：因为 ，且 ，所以 ，
所以 ，
所以充分性成立；
必要性：因为 ，且 ，
所以 ，即 ，即 ，所以
所以必要性成立.
所以“ ”是“ ”的充要条件.
解法三：
充分性：因为 ，且 ，
所以 ，
所以充分性成立；
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必要性：因为 ，且 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以必要性成立.
所以“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C
4. 函数 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用排除法，根据函数奇偶性和函数值的符号分析判断即可.
【详解】令 ，可得 ，则函数 的定义域为 ，
且 ，
所以函数 为偶函数，图象关于 轴对称，故 CD 错误；
当 ，则 ，可得 ，故 B 错误；
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故选：A.
5. 设 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数函数单调性可得 ，分析可得 ，再结合特殊角的三角函数值比较大小.
【详解】因为 ， ， ，
所以 .
故选：B.
6. 已知函数 在 内有一个零点，且求得 的部分函数值如下表所示：
0 1 0.5 0.25 0.375 0.4375 0.3125 0.34375 0.32813
-0.2343 -0.0319
-1 3 0.625 0.17773 0.39624 0.07187 0.01972
8 8
若用二分法求 零点的近似值（精确度为 0.1），则对区间 等分的最少次数和 零点的一个近
似值分别为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，结合二分法代入计算，即可得到结果
【详解】由题意可知，对区间 内，设零点为 ，
因 ， ， ，所以 ，此时区间长度为 ，
又 ， ，所以 ，此时区间长度为 ，
又 ， ，所以 ，此时区间长度为
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又 ， ，所以 ，此时区间长度为
，
所以满足条件的 零点的一个近似值可取为 ，共计算 4 次.
故选：C
7. 某商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买 黄金，售货员先将 的砝码放在天
平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放
在天平左盘中使天平平衡．最后将两次称得的黄金交给顾客，你认为两次实际称得的黄金总重量（ ）
A. 等于 B. 大于
C. 小于 D. 以上都有可能
【答案】B
【解析】
【分析】设相关未知数，根据题意可得 ，整理可得 ，结合基本不等式运算求解.
【详解】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为 ，右臂长为 ，则 ，
再设先称得黄金为 ，后称得黄金为 ， 均为正数，
则 ，即 ，
可得 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，但 ，等号不成立，
即 ，所以顾客购得的黄金大于 .
故选：B.
8. 已知函数 ，若对于 ，都有 恒成立，则 的取值不
可能是（ ）
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A. B. 1 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得到 ，同时由 ，得到 ，
代入各个选项判断 是否存在 ，即可得到结论.
【详解】因为函数 ，且 ，
所以 ，则 ，
因为 ，所以 ，
当 时， ， ，符合题意；
当 时， ， ，符合题意；
当 时， ，
∵ ，∴ ， ，∴ ，
即存在 ，使得 ，不符合题意；
当 时， ，
∵ ， ，∴ 且 ，
即 ，符合题意；
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所以 的取值不可能是 ，
故选：C
二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对得 6 分，部分选对得部分分．
9. 以下结论中，正确的是（ ）
A. 若命题 ，则
B. 若 ，则
C. 若角 的终边过点 ，则
D. 若 是第二象限角，则 是第一或三象限角
【答案】BD
【解析】
【分析】选项 A，依据全称命题否定“换量词+否结论”的规则.选项 B，由不等式的性质可得.选项 C，根据
三角函数定义 ，计算得结果.选项 D，写出第二象限角范围并缩半，分 为奇偶讨论，得出 是
第一或第三象限角.
【详解】选项 A，命题 的否定 ，正确的 应该是 , ，而非选
项中的 .A 错误.
选项 B，已知 ，则 ，又 ，因此 ，B 正确.
选项 C，角 的终边过点 ， ， ，C 错误.
选项 D， 是第二象限角，即 ( )，所以
当 为偶数时， 在第一象限；当 为奇数时， 在第三象限，D 正确.
故选：BD
10. 已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 图象关于点 对称
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B. 图象关于直线 对称
C. 若 ，则 的最小值为
D. 若 ，则
【答案】BC
【解析】
【分析】对于 AB：代入可得 ，结合正弦函数对称性分析判断；对于 C：分析可知 为最大值点，
为最小值点，结合周期性求解；对于 D：可得 或 ， ，运
算求解即可.
【详解】对于选项 AB：因为 为最大值，
所以 图象不关于点 对称，关于直线 对称，故 A 错误，B 正确；
对于选项 C：因为 的最小正周期 ，
若 ，可知 为最大值点， 为最小值点，
所以 的最小值为 ，故 C 正确；
对于选项 D：若 ，
则 或 ， ，
所以 或 ， ，故 D 错误；
故选：BC.
11. 定义在 上的函数 满足：对任意的 ，都有： ，当
时，恒有 ，则以下结论正确的是（ ）
A.
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B. 函数 是偶函数
C. 在 上是减函数
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于 A：令 可求得 ；对于 B：令 可推导得到奇偶性；对于 C：根据题意结
合单调性的定义以及奇函数的定义分析可得单调性；对于 D：变形结合已知关系式可得
，累加分析判断.
【详解】因为函数 的定义域为 ，且 ，
对于选项 A：令 ，则 ，解得 ，故 A 正确；
对于选项 B：令 ，则 ，
即 ，所以 为定义在 上的奇函数，
当 时，恒有 ，则 ，可得 ，
即 ，所以 不为偶函数，故 B 错误；
对于选项 C：任取 ，且 ，则 ，
可得 ，
因为 ，则 ， ， ，可得 ，
又因为 ，
则 ，可得 ，即 ，
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所以 在 上是减函数，故 C 正确；
对于选项 D：因为 ，
且 ，则 ， ，
可得 ，
则
，
又因为 ，则 ，
可得 ，
所以 ，故 D 正确.
故选：ACD.
第 II 卷
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12 __________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据对数的定义结合换底公式运算求解即可.
【详解】原式 .
故答案为：3.
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13. 已知正数 满足 ，则 的最大值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用基本不等式可得 ，结合题意运算求解即可.
【详解】因为正数 满足 ，
且 ，可得 ，即 ，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，
所以 的最大值为 .
故答案为： .
14. 已知函数 ，若对 恒成立，则实数 的取值范围为
__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意结合指数函数单调性可得 ，去绝对值可得 ，结合
恒成立问题分析求解即可.
【详解】因为 ，即 ，
且 在定义域内单调递增，可得 ，
且 ，则 ，可得 ，
原题意等价于对 ， 恒成立，
又因 ，则 ，可得 ，解得 且 ，
可知 在 内的最小值为 1，可得 且 ，
所以实数 的取值范围为 .
故答案为： .
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四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
15. 已知 ．
（1）化简 ；
（2）若 为第二象限角，且 ，求 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由诱导公式化简；
（2）由平方关系求得 ，再由商数关系得 ，从而得结论．
【小问 1 详解】
原式 ；
【小问 2 详解】
由（1）及 ，知 ，又为第二象限角，
所以 ，
因此 ．
16. 已知函数 ．
（1）若 ，求 的值，并求方程 的解；
（2）若关于 的不等式 的解集是 ，求关于 的不等式
的解集．
【答案】（1） ，
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）分析可知 的对称轴为 ，即可求得 ，进而代入解方程即可；
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（2）分析可知 和 是方程 的根，可得 ，代入分类讨论两根大小解不等式.
【小问 1 详解】
因为 ，可知 的对称轴为 ，
且 的对称轴为 ，
即 ，解得 ，
令 ，解得 ，
所以方程 的解为 .
【小问 2 详解】
因为 解集是 ，
可知 和 是方程 的根，
则 ，解得 ，即 ，
由 ，整理可得 ，
令 ，解得 或 ，
若 ，不等式的解集为 ；
若 ，不等式的解集为 ；
若 ，不等式的解集为
17. 某科研团队对某一生物生长规律进行研究，发现其生长蔓延的速度越来越快．开始在某水域投放一定面
积的该生物，经过 2 个月其覆盖面积为 18 平方米，经过 3 个月其覆盖面积达到 27 平方米．该生物覆盖面
积 （单位：平方米）与经过时间 个月的关系有两个函数模型：① ，②
可供选择．
（1）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的函数解析式；
（2）若水域中此生物的面积是当初投放的 100 倍时，当地环保部门必须及时干预，问约经过几个月，当地
环保部门需要及时干预？（结果精确到整数）
（参考数据： ）
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【答案】（1）应选择 ，
（2）12 个月
【解析】
【分析】（1）根据指数函数以及幂函数的性质判断函数模型，并代值求得该模型的函数解析式；
（2）根据题意可得 ，结合对数运算即可求得答案.
【小问 1 详解】
①的函数 中， 随 的增长而增长的速度越来越快，
而②的函数 中， 随 的增长而增长的速度越来越慢，
故依题意应选择 ，
则有 ，解得 ，所以 ；
【小问 2 详解】
当 时， ，设经过 个月，该水域中此生物的面积是当初投放的 100 倍，
则 ，解得 ，
故经过 12 个月后该水域中此生物的面积是当初投放的 100 倍，此时环保部门必须及时干预．
18. 已知函数 ．
（1）写出 在 上的单调递增区间；
（2）若函数 在 上共有 4 个零点，且分别为 ，求 的
值；
（3）设 ，对任意 ，总存在 ，使得 ，求 的取值范
围．
【答案】（1） ,
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（2）0 （3）
【解析】
【分析】（1）整理可得 ，去绝对值结合正、余弦函数的单调性求 的
单调递增区间；
（2）分析 的周期性和对称性，结合图象可得 ，代入运算即可；
（3）根据题意分别求 ， 的值域，可得 ，结合包含关系列式求解即可.
【小问 1 详解】
因为 ，
且 ，
又因为 ，则 ，
当 ，即 时，则 ，
可得 ，
可知 在 内单调递增；
当 ，即 时，则 ，
可得 ，
可知 在 内单调递增；
综上所述： ，且 在 上的递增区间为
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.
【小问 2 详解】
因为 ，
可知函数 的一个周期为 ，
又因为
可知函数 的图象关于 对称，则函数 的图象关于 对称，
令 ，即 ，
原题意等价于 与 在 内有 4 个交点，
则 ，且 ，可得 ，
所以 .
【小问 3 详解】
由（2）可知 的值域为 ，
因为 ，
且 ，令 ，则 在 上单调递减，
可得 ，即 ，
所以 的值域为 ，
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若对任意 ，总存在 ，使得 ，可得 ，
则 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
19. 已知函数 ，其中 均为实数．
（1）若函数 为偶函数，求 的值；
（2）在（1）的条件下，若 恒成立，求非负数 的最小值；
（3）在（1）的条件下，若 ，已知 ，设 ，对于给定实数
，均有 满足 ，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）1 （3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意结合偶函数的定义分析求解即可；
（2）解法一：必要性探路，取 ，解得 ，再检验即可；解法二：参变分离可得
恒成立，结合恒成立问题分析求解即可；
（3）换元令 ，则 ，分类讨论去绝对值，求函数的最小值，结合恒成立问题
分析求解即可.
【小问 1 详解】
因为 定义域关于原点对称，且
若函数 为偶函数，则 ，
即 ，则 ，
结合 x 的任意性可得 .
【小问 2 详解】
由 ， ， ，可得 的定义域为 ，
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解法一：若 恒成立，则 ，解得 ，
若 ，则 ，
所以 ，符合题意；
综上所述， ，所以 的最小值为 1；
解法二：因为 ，
若 ，则 ，符合题意；
若 ，整理可得 ，即 恒成立，
又因为 ， ，则 ，当且仅当 ，等号成立，
可得 ；
综上所述： ，所以 的最小值为 1.
【小问 3 详解】
因为 ，则 ， ，
可得 ，且 ，
令 ，则 ，
①当 时，则 ，
可得 ，
（i）当 ，即 或 时，则 ，解得 ；
（ⅱ）当 ，即 或 时，则 ，
解得 ；
（ⅲ）当 时，则 ，符合题意；
②当 时，则 ，
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可得
（i）当 ，即 或 时，则 ，解得 ；
（ⅱ）当 ，即 或 时，则 ，
解得 ；
（ⅲ）当 时，则 ，符合题意；
③当 时，则 ，可得 ，符合题意；
综上所述：当 或 时， ；
当 或 时， ；
当 时， .
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