浙江省名校联合体2025-2026学年高一上学期12月月考数学试卷含解析（word版+pdf版）

这是一份浙江省名校联合体2025-2026学年高一上学期12月月考数学试卷含解析（word版+pdf版），共2页。试卷主要包含了 已知全集，则， 若，则“”是“”的， 函数的图象大致为， 设，则， 以下结论中，正确的是等内容，欢迎下载使用。
命题：余杭高级中学（临平中学） 高一数学备课组 审稿：元济高级中学 李慧华 校稿：嵊州中学 吕金晶
第I卷
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意结合集合补集运算求解即可.
【详解】因为全集，
所以.
故选：D.
2. 已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据弧长公式及扇形面积公式计算求解.
【详解】弧所对的圆心角为，设扇形所在圆的半径为，则弧长为，所以
该弧所在的扇形面积为.
故选：A.
3. 若，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可.
【详解】解法一：
因为，且，
所以，即，即，所以.
所以“”是“”的充要条件.
解法二：
充分性：因为，且，所以，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因为，且，
所以，即，即，所以
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要条件.
解法三：
充分性：因为，且，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因为，且，
所以，
所以，所以，所以，
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要条件.
故选：C
4. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用排除法，根据函数奇偶性和函数值的符号分析判断即可.
【详解】令，可得，则函数的定义域为，
且，
所以函数为偶函数，图象关于轴对称，故CD错误；
当，则，可得，故B错误；
故选：A.
5. 设，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数函数单调性可得，分析可得，再结合特殊角的三角函数值比较大小.
【详解】因为，，，
所以.
故选：B.
6. 已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值如下表所示：
若用二分法求零点的近似值（精确度为0.1），则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，结合二分法代入计算，即可得到结果
【详解】由题意可知，对区间内，设零点为，
因，，，所以，此时区间长度为，
又，，所以，此时区间长度为，
又，，所以，此时区间长度为
又，，所以，此时区间长度为，
所以满足条件的零点的一个近似值可取为，共计算4次.
故选：C
7. 某商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡．最后将两次称得的黄金交给顾客，你认为两次实际称得的黄金总重量（ ）
A. 等于B. 大于
C. 小于D. 以上都有可能
【答案】B
【解析】
【分析】设相关未知数，根据题意可得，整理可得，结合基本不等式运算求解.
【详解】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为，右臂长为，则，
再设先称得黄金为，后称得黄金为，均为正数，
则，即，
可得，
当且仅当，即时等号成立，但，等号不成立，
即，所以顾客购得的黄金大于.
故选：B.
8. 已知函数，若对于，都有恒成立，则的取值不可能是（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得到，同时由，得到，代入各个选项判断是否存在，即可得到结论.
【详解】因为函数，且，
所以，则，
因为，所以，
当时，，，符合题意；
当时，，，符合题意；
当时，，
∵，∴，，∴，
即存在，使得，不符合题意；
当时，，
∵，，∴且，
即，符合题意；
所以的取值不可能是，
故选：C
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分．
9. 以下结论中，正确的是（ ）
A. 若命题，则
B. 若，则
C. 若角的终边过点，则
D. 若是第二象限角，则是第一或三象限角
【答案】BD
【解析】
【分析】选项A，依据全称命题否定“换量词+否结论”的规则.选项B，由不等式的性质可得.选项C，根据三角函数定义，计算得结果.选项D，写出第二象限角范围并缩半，分为奇偶讨论，得出是第一或第三象限角.
【详解】选项A，命题的否定，正确的应该是, ，而非选项中的.A错误.
选项B，已知，则，又，因此，B正确.
选项C，角的终边过点，，，C错误.
选项D，是第二象限角，即()，所以
当为偶数时，在第一象限；当为奇数时，在第三象限，D正确.
故选：BD
10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 图象关于点对称
B. 图象关于直线对称
C. 若，则的最小值为
D. 若，则
【答案】BC
【解析】
【分析】对于AB：代入可得，结合正弦函数对称性分析判断；对于C：分析可知为最大值点，为最小值点，结合周期性求解；对于D：可得或，，运算求解即可.
【详解】对于选项AB：因为为最大值，
所以图象不关于点对称，关于直线对称，故A错误，B正确；
对于选项C：因为的最小正周期，
若，可知为最大值点，为最小值点，
所以的最小值为，故C正确；
对于选项D：若，
则或，，
所以或，，故D错误；
故选：BC.
11. 定义在上的函数满足：对任意的，都有：，当时，恒有，则以下结论正确的是（ ）
A.
B. 函数是偶函数
C. 在上是减函数
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A：令可求得；对于B：令可推导得到奇偶性；对于C：根据题意结合单调性的定义以及奇函数的定义分析可得单调性；对于D：变形结合已知关系式可得，累加分析判断.
【详解】因为函数的定义域为，且，
对于选项A：令，则，解得，故A正确；
对于选项B：令，则，
即，所以为定义在上的奇函数，
当时，恒有，则，可得，
即，所以不为偶函数，故B错误；
对于选项C：任取，且，则，
可得，
因为，则，，，可得，
又因为，
则，可得，即，
所以在上是减函数，故C正确；
对于选项D：因为，
且，则，，
可得，
则，
又因为，则，
可得，
所以，故D正确.
故选：ACD.
第II卷
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12 __________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据对数的定义结合换底公式运算求解即可.
【详解】原式.
故答案为：3.
13. 已知正数满足，则的最大值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用基本不等式可得，结合题意运算求解即可.
【详解】因为正数满足，
且，可得，即，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最大值为.
故答案为：.
14. 已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意结合指数函数单调性可得，去绝对值可得，结合恒成立问题分析求解即可.
【详解】因为，即，
且在定义域内单调递增，可得，
且，则，可得，
原题意等价于对，恒成立，
又因，则，可得，解得且，
可知在内的最小值为1，可得且，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
15. 已知．
（1）化简；
（2）若为第二象限角，且，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由诱导公式化简；
（2）由平方关系求得，再由商数关系得，从而得结论．
【小问1详解】
原式；
【小问2详解】
由（1）及，知，又为第二象限角，
所以，
因此．
16. 已知函数．
（1）若，求的值，并求方程的解；
（2）若关于的不等式的解集是，求关于的不等式的解集．
【答案】（1），
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）分析可知的对称轴为，即可求得，进而代入解方程即可；
（2）分析可知和是方程的根，可得，代入分类讨论两根大小解不等式.
【小问1详解】
因为，可知的对称轴为，
且的对称轴为，
即，解得，
令，解得，
所以方程的解为.
【小问2详解】
因为解集是，
可知和是方程的根，
则，解得，即，
由，整理可得，
令，解得或，
若，不等式的解集为；
若，不等式的解集为；
若，不等式的解集为
17. 某科研团队对某一生物生长规律进行研究，发现其生长蔓延的速度越来越快．开始在某水域投放一定面积的该生物，经过2个月其覆盖面积为18平方米，经过3个月其覆盖面积达到27平方米．该生物覆盖面积（单位：平方米）与经过时间个月的关系有两个函数模型：①，②可供选择．
（1）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的函数解析式；
（2）若水域中此生物的面积是当初投放的100倍时，当地环保部门必须及时干预，问约经过几个月，当地环保部门需要及时干预？（结果精确到整数）
（参考数据：）
【答案】（1）应选择，
（2）12个月
【解析】
【分析】（1）根据指数函数以及幂函数的性质判断函数模型，并代值求得该模型的函数解析式；
（2）根据题意可得，结合对数运算即可求得答案.
【小问1详解】
①的函数中，随的增长而增长的速度越来越快，
而②的函数中，随的增长而增长的速度越来越慢，
故依题意应选择，
则有，解得，所以；
【小问2详解】
当时，，设经过个月，该水域中此生物的面积是当初投放的100倍，
则，解得，
故经过12个月后该水域中此生物的面积是当初投放的100倍，此时环保部门必须及时干预．
18. 已知函数．
（1）写出在上的单调递增区间；
（2）若函数在上共有4个零点，且分别为，求的值；
（3）设，对任意，总存在，使得，求的取值范围．
【答案】（1）,
（2）0 （3）
【解析】
【分析】（1）整理可得，去绝对值结合正、余弦函数的单调性求的单调递增区间；
（2）分析的周期性和对称性，结合图象可得，代入运算即可；
（3）根据题意分别求，的值域，可得，结合包含关系列式求解即可.
【小问1详解】
因为，
且，
又因为，则，
当，即时，则，
可得，
可知在内单调递增；
当，即时，则，
可得，
可知在内单调递增；
综上所述：，且在上的递增区间为.
【小问2详解】
因为，
可知函数的一个周期为，
又因为
可知函数的图象关于对称，则函数的图象关于对称，
令，即，
原题意等价于与在内有4个交点，
则，且，可得，
所以.
【小问3详解】
由（2）可知的值域为，
因为，
且，令，则在上单调递减，
可得，即，
所以的值域为，
若对任意，总存在，使得，可得，
则，解得，
所以的取值范围为.
19. 已知函数，其中均为实数．
（1）若函数为偶函数，求的值；
（2）在（1）的条件下，若恒成立，求非负数的最小值；
（3）在（1）的条件下，若，已知，设，对于给定实数，均有满足，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）1 （3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意结合偶函数的定义分析求解即可；
（2）解法一：必要性探路，取，解得，再检验即可；解法二：参变分离可得恒成立，结合恒成立问题分析求解即可；
（3）换元令，则，分类讨论去绝对值，求函数的最小值，结合恒成立问题分析求解即可.
【小问1详解】
因为定义域关于原点对称，且
若函数为偶函数，则，
即，则，
结合x的任意性可得.
【小问2详解】
由，，，可得的定义域为，
解法一：若恒成立，则，解得，
若，则，
所以，符合题意；
综上所述，，所以的最小值为1；
解法二：因为，
若，则，符合题意；
若，整理可得，即恒成立，
又因为，，则，当且仅当，等号成立，
可得；
综上所述：，所以的最小值为1.
【小问3详解】
因为，则，，
可得，且，
令，则，
①当时，则，
可得，
（i）当，即或时，则，解得；
（ⅱ）当，即或时，则，
解得；
（ⅲ）当时，则，符合题意；
②当时，则，
可得
（i）当，即或时，则，解得；
（ⅱ）当，即或时，则，
解得；
（ⅲ）当时，则，符合题意；
③当时，则，可得，符合题意；
综上所述：当或时，；
当或时，；
当时，.0
1
0.5
0.25
0.375
0.4375
0.3125
0.34375
0.32813
-1
3
0.625
-0.23438
0.17773
0.39624
-0.03198
0.07187
0.01972