湖北省宜昌教育集团2025-2026学年九年级上学期期末联考数学试题

这是一份湖北省宜昌教育集团2025-2026学年九年级上学期期末联考数学试题，共14页。试卷主要包含了8 m，最，方程，△ABC∽△A′B′C′，等内容，欢迎下载使用。
A． 没有一个内角是钝角
B． 至少有一个内角是钝角
C． 至少有两个内角是锐角
D． 至少有两个内角是钝角
九年级上数学期末考卷
考试时间：120 分钟
分卷 I
5
.一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽 0.8 m，最
一、选择题(共 11 小题,每小题 3 分,共 33 分)
.在平面直角坐标系中到原点的距离等于 2 的所有的点构成的图形是(
A.直线 B．正方形 C．圆
.下列函数不属于二次函数的是（
深处水深 0.2 m，则此输水管道的直径是(
)
1
)
A． 0.5
B． 1
D．菱形
2
）
C． 2
A．y=（x﹣1）（x﹣2）
C．y=2（x+3）2﹣2x2
B．y=（x+1）2
D．y=1﹣x2
D． 4
9
.已知函数 y=（m﹣1）x2﹣mx﹣m 的图象如图所示，则 m 的取值范围是（
）
3
.ax2+bx+c=0 是关于 x 的一元二次方程的条件是（
）
A．m＜
B．0＜m＜
D．0＜m＜1
A．a，b，c 为任意实数
C．a 不为 0
B．a，b 不同时为 0
D．b，c 不同时为 0
C．m＜1
4
.下列结论错误的是(
)
1
0.对于任意的实数 x，代数式 x2-5x+10 的值是一个（
）
A． 圆是轴对称图形
C． 半圆不是弧
B． 圆是中心对称图形
D． 直径是圆中最长的弦
A． 正数
C． 整数
B． 非负数
D． 不能确定的数
6
.下列图形中一定相似的是(
)
1
1.已知函数 y=x2﹣2x+k 的图象经过点（ ，y ），（ ，y ），则 y 与 y 的大小关
1
2
1
2
A． 所有矩形
B． 所有等腰三角形
D． 所有菱形
C． 所有等边三角形
系为（
）
7
.如图，已知点 E(－4,2)，F(－2，－2)，以 O 为位似中心，位似比为 1∶2，把△EFO
A．y1＞y2
B．y1=y2
C．y1＜y2
分卷 II
D．不能确定
缩小，则点 E 的对应点 E′的坐标为(
A． (2，－1)或(－2,1)
B． (8，－4)或(－8，－4)
C． (2，－1)
)
二、填空题(共 3 小题,每小题 3 分,共 12 分)
12.有一支夹子如图所示，AB＝2BC，BD＝2BE，在夹子
前面有一个长方体硬物，厚 PQ 为 6 cm，如果想用夹子
的尖端 A、D 两点夹住 P、Q 两点，那么手握的地方 EC
至少要张开________ cm。
D． (8，－4)
8
.用反证法证明命题“三角形的内角中最多有一个内角是钝角”时应先假设(
)

1
3.在直角坐标系中，以 P(3,1)为圆心，r 为半径的圆与坐标轴恰好有三个公共点，则
1
9.一场篮球赛中，球员甲跳起投篮，已知球在 A 处出手时离地面
m，与篮筐中心 C
r 的值为________。
的水平距离为 7m，当球运行的水平距离是 4m 时，达到最大高度 4m（B 处），
篮筐距地面 3m，篮球运行的路线为抛物线（如图所示）．
1
1
4.若点 P（-1，a）和 Q（1，b）都在抛物线 y=-x2+1 上，则线段 PQ 的长为________。
5.方程：（3x+1）（2x﹣5）=﹣2（2x﹣5）的解为__________。
（
（
1）建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式；（4 分）
2）判断此球能否投中？（3 分）
三、解答题(共 9 小题，共,75 分)
1
6.（6 分）已知点 A（x ，y ），B（x ，y ）在二次函数 y=x2+mx+n 的图象上，当
1
1
2
2
x =1，x =3 时，y =y ．
1
2
1
2
（
1）求 m 的值；（3 分）
2）若抛物线与 x 轴只有一个公共点，求 n 的值；（3 分）
（
2
0.（8 分）如图，将矩形 ABCD 沿对角线 AC 翻折，点 B 落在点 F 处，FC 交 AD 于 E．
（
（
1）求证：△AFE≌△CDF；（3 分）
2）若 AB=4，BC=8，求图中阴影部分的面积．（5 分）
1
7.（6 分）△ABC∽△A′B′C′，
＝ ，AB 边上的中线 CD＝4 cm，△ABC 的周长
为 20 cm，△A′B′C′的面积是 64 cm2，求：
(1)A′B′边上的中线 C′D′的长；（2 分）
(2)△A′B′C′的周长；（2 分）
(3)△ABC 的面积．（2 分）
2
1.（8 分）已知 AB 是半径为 1 的圆 O 直径，C 是圆上一点，D 是 BC 延长线上一点，
过点 D 的直线交 AC 于 E 点，且△AEF 为等边三角形．
(1)求证：△DFB 是等腰三角形；（3 分）
1
8.（7 分）如图，I 是△ABC 的内心，∠BAC 的平分线与△ABC 的外接圆相交于点 D，
交 BC 于点 E
(2)若 DA＝ AF，求证：CF⊥AB.（5 分）
A
（
（
1）用尺规作图作出△ABC 的外接圆，保留作图痕迹（3 分）
2）求证：BD=ID（4 分）
B
C

2
3
2.（10 分）今年橙子丰收的季节到了，我市的开始上市，嗅到商机的水果批发商用
500 元向果农王大爷购进 3000 千克 A、B 两个不同的品种的橙子来销售，单价分别为
2
4 如图在平面直角坐标系中，直线 y=﹣ x+3 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，点 P、
每千克 1 元和 1.5 元
Q 同时从点 A 出发，运动时间为 t 秒．其中点 P 沿射线 AB 运动，速度为每秒 4 个单位
长度，点 Q 沿射线 AO 运动，速度为每秒 5 个单位长度．以点 Q 为圆心，PQ 长为半径
作⊙Q．
（
（
1）问批发商分别购进两个品种的橙子各多少千克？（3 分）
2）批发商在销售完后获得了 60%的利润，因为有了销售经验，在购进第二批时根据
第一次的销售情况做了如下调整：将 B 品种的进价降低了 ，A 品种的购进数量增加和
B 品种的数量减少的百分数相同，这样刚好又用完 3500 元
（
（
1）求证：直线 AB 是⊙Q 的切线；（3 分）
①
②
第二次购进 A、B 两个品种的橙子各多少千克？（3 分）
2）过点 A 左侧 x 轴上的任意一点 C（m，0），作直线 AB 的垂线 CM，垂足为 M．若
销售第二种橙子时，品种 A 先在进价的基础上提价后销售，在销售了 1600 千克的时
CM 与⊙Q 相切于点 D，求 m 与 t 的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）；（4 分）
3）在（2）的条件下，是否存在点 C，直线 AB、CM、y 轴与⊙Q 同时相切？若存在，
请直接写出此时点 C 的坐标；若不存在，请说明理由．（6 分）
候又根据销售情况作出调整再次提价，且两次提价的百分数相等，这样 A 类销售完获
得的利润比第一次总利润少 50 元，求 A 类第一次的标价是多少？（4 分）
（
2
3.在现实生活中，我们会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、A4 的打印
纸等，其实这些矩形的长与宽之比都为 ：1，我们不妨就把这样的矩形称为“标准
矩形”，在“标准矩形”ABCD 中，P 为 DC 边上一定点，且 CP=BC，如图所示．
（
（
1）如图①，求证：BA=BP；（3 分）
2）如图②，点 Q 在 DC 上，且 DQ=CP，若 G 为 BC 边上一动点，当△AGQ 的周长最小
时，求 的值；（4 分）
（
3）如图③，已知 AD=1，在（2）的条件下，连接 AG 并延长交 DC 的延长线于点 F，
连接 BF，T 为 BF 的中点，M、N 分别为线段 PF 与 AB 上的动点，且始终保持 PM=BN，请
证明：△MNT 的面积 S 为定值，并求出这个定值．（5 分）


答案解析
分卷 I
一、选择题(共 11 小题,每小题 3 分,共 33 分)
.在平面直角坐标系中到原点的距离等于 2 的所有的点构成的图形是(
A.直线 B．正方形 C．圆
.下列函数不属于二次函数的是（
1
C
)
D．菱形
2
C
）
A．y=（x﹣1）（x﹣2）
C．y=2（x+3）2﹣2x2
B．y=（x+1）2
D．y=1﹣x2
3
.ax2+bx+c=0 是关于 x 的一元二次方程的条件是（C ）
A．a，b，c 为任意实数
C．a 不为 0
B．a，b 不同时为 0
D．b，c 不同时为 0
4
.下列结论错误的是(
C
)
A． 圆是轴对称图形
C． 半圆不是弧
B． 圆是中心对称图形
D． 直径是圆中最长的弦
6
.下列图形中一定相似的是(
C
)
A． 所有矩形
B． 所有等腰三角形
D． 所有菱形
C． 所有等边三角形
7
.如图，已知点 E(－4,2)，F(－2，－2)，以 O 为位似中心，位似比为 1∶2，把△EFO 缩小，
则点 E 的对应点 E′的坐标为(
A． (2，－1)或(－2,1)
B． (8，－4)或(－8，－4)
C． (2，－1)
A
)
D． (8，－4)
8
.用反证法证明命题“三角形的内角中最多有一个内角是钝角”时应先假设(
D
)
A． 没有一个内角是钝角
B． 至少有一个内角是钝角
C． 至少有两个内角是锐角
D． 至少有两个内角是钝角
5
.一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽 0.8 m，最深处水
深 0.2 m，则此输水管道的直径是(
B
)

A． 0.5
B． 1
C． 2
D． 4
9
.已知函数 y=（m﹣1）x2﹣mx﹣m 的图象如图所示，则 m 的取值范围是（
B
）
A．m＜
B．0＜m＜
D．0＜m＜1
C．m＜1
1
0.对于任意的实数 x，代数式 x2-5x+10 的值是一个（
A
）
A． 正数
C． 整数
B． 非负数
D． 不能确定的数
1
B
1.已知函数 y=x2﹣2x+k 的图象经过点（ ，y1），（ ，y ），则 y 与 y 的大小关系为（
2
1
2
）
A．y1＞y2
B．y1=y2
C．y1＜y2
分卷 II
D．不能确定
二、填空题(共 3 小题,每小题 3 分,共 12 分)
1
2.有一支夹子如图所示，AB＝2BC，BD＝2BE，在夹子
前面有一个长方体硬物，厚 PQ 为 6 cm，如果想用夹子
的尖端 A、D 两点夹住 P、Q 两点，那么手握的地方 EC
至少要张开___3_____ cm。
1
3.在直角坐标系中，以 P(3,1)为圆心，r 为半径的圆与坐标轴恰好有三个公共点，则 r 的值
为__3 或 ______。
1
1
4.若点 P（-1，a）和 Q（1，b）都在抛物线 y=-x2+1 上，则线段 PQ 的长为___2_____。
5.方程：（3x+1）（2x﹣5）=﹣2（2x﹣5）的解为_____x1= ，x2=﹣1_____。
三、解答题(共 9 小题，共,75 分)
1
6.（6 分）已知点 A（x ，y ），B（x ，y ）在二次函数 y=x2+mx+n 的图象上，当 x =1，x =3
1
1
2
2
1
2
时，y =y ．
1
2
（
（
1）求 m 的值；（3 分）
2）若抛物线与 x 轴只有一个公共点，求 n 的值；（3 分）

解：
x =1 x =3 y =y2，∴1+m+n=9+3m+n，∴m=-4；②∵抛物线与 x 轴只有一个公共点，∴△=m2-4n=0，
时，
①
∵
，
1
2
1
即 16-4n=0，∴n=4；
1
7.（6 分）△ABC∽△A′B′C′，
＝ ，AB 边上的中线 CD＝4 cm，△ABC 的周长为 20
cm，△A′B′C′的面积是 64 cm2，求：
(1)A′B′边上的中线 C′D′的长；（2 分）
(2)△A′B′C′的周长；（2 分）
(3)△ABC 的面积．（2 分）
＝ ，AB 边上的中线 CD＝4 cm，
解
(1)∵△ABC∽△A′B′C′，
∴
＝ ，
∴
C′D′＝4 cm×2＝8 cm，
∴
A′B′边上的中线 C′D′的长为 8 cm；
(2)∵△ABC∽△A′B′C′，
＝ ，△ABC 的周长为 20 cm，
∴
＝ ，
∴
C△A′B′C′＝20 cm×2＝40 cm，
△A′B′C′的周长为 40 cm；
(3)∵△ABC∽△A′B′C′， ＝ ，△A′B′C′的面积是 64 cm2，
∴
∴
＝
＝ ，
∴
S△ABC＝64 cm2÷4＝16 cm2，
△ABC 16 cm2.
∴
的面积是
1
8.（7 分）如图，I 是△ABC 的内心，∠BAC 的平分线与△ABC 的外接圆相交于点 D，交 BC 于
点 E
A
（
（
1）用尺规作图作出△ABC 的外接圆，保留作图痕迹（3 分）
2）求证：BD=ID（4 分）
B
C

1
9.一场篮球赛中，球员甲跳起投篮，已知球在 A 处出手时离地面
m，与篮筐中心 C 的水平
距离为 7m，当球运行的水平距离是 4m 时，达到最大高度 4m（B 处），
篮筐距地面 3m，篮球运行的路线为抛物线（如图所示）．
（
（
1）建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式；（4 分）
2）判断此球能否投中？（3 分）
解：（1）过 A 作水平线的垂线，垂直为 O，
OA
轴，建立平面直角坐标系，
O
y
以
为坐标原点，直线
为
A（0，
），顶点 （ ， ），设抛物线的解析式为 y=a（x-4）2+4，∴
B
4
4
=a（x-4）2+4．解
由题意得
a=-
y=-
（x-4）2+4；（2）当
x=7 时，y=- （7-4）2+4=3，∵点（ ， ）在抛
7
3
得
．∴抛物线的解析式为
物线上，∴球能准确投中．
2
0.（8 分）如图，将矩形 ABCD 沿对角线 AC 翻折，点 B 落在点 F 处，FC 交 AD 于 E．
（
（
1）求证：△AFE≌△CDF；（3 分）
2）若 AB=4，BC=8，求图中阴影部分的面积．（5 分）
解：（1）∵四边形 ABCD 是矩形，
∴
∵
AB=CD，∠B=∠D=90°，
将矩形 ABCD 沿对角线 AC 翻折，点 B 落在点 E 处，

∴
∴
∠E=∠B，AB=AE，
AE=CD，∠E=∠D，
在△AEF 与△CDF 中，
，
∴
（
∴
∵
∴
∴
△AEF≌△CDF；
2）∵AB=4，BC=8，
CE=AD=8，AE=CD=AB=4，
△AEF≌△CDF，
AF=CF，EF=DF，
DF2+CD2=CF2，
即 DF2+42=（8﹣DF）2，
∴
∴
DF=3，
EF=3，
∴
图中阴影部分的面积=S△ACE﹣S△AEF= ×4×8﹣ ×4×3=10．
2
1.（8 分）已知 AB 是半径为 1 的圆 O 直径，C 是圆上一点，D 是 BC 延长线上一点，过点 D
的直线交 AC 于 E 点，且△AEF 为等边三角形．
(1)求证：△DFB 是等腰三角形；（3 分）
(2)若 DA＝ AF，求证：CF⊥AB.（5 分）
(1)证明 ∵AB 是⊙O 直径，∴∠ACB＝90°，
∵
△AEF 为等边三角形，∴∠CAB＝∠EFA＝60°，∴∠B＝30°，
∠EFA＝∠B＋∠FDB，∴∠B＝∠FDB＝30°，∴△DFB 是等腰三角形.
(2)过点 A 作 AM⊥DF 于点 M，设 AF＝2a，
∵
∵
△AEF 是等边三角形，∴FM＝EM＝a，AM＝ a，
在 Rt△DAM 中，AD＝ AF＝2 a，AM＝ a，
∴
DM＝5a，∴DF＝BF＝6a，∴AB＝AF＋BF＝8a，
在 Rt△ABC 中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴AC＝4a，
AE＝EF＝AF＝2a，∴CE＝AC－AE＝2a，∴∠ECF＝∠EFC，
∠AEF＝∠ECF＋∠EFC＝60°，∴∠CFE＝30°，
∵
∵

∴
∠AFC＝∠AFE＋∠EFC＝60°＋30°＝90°，∴CF⊥AB.
2
2.（10 分）今年橙子丰收的季节到了，我市的开始上市，嗅到商机的水果批发商用 3500 元
向果农王大爷购进 3000 千克 A、B 两个不同的品种的橙子来销售，单价分别为每千克 1 元和
.5 元
1
（
（
1）问批发商分别购进两个品种的橙子各多少千克？（3 分）
2）批发商在销售完后获得了 60%的利润，因为有了销售经验，在购进第二批时根据第一次
的销售情况做了如下调整：将 B 品种的进价降低了 ，A 品种的购进数量增加和 B 品种的数
量减少的百分数相同，这样刚好又用完 3500 元
①
②
第二次购进 A、B 两个品种的橙子各多少千克？（3 分）
销售第二种橙子时，品种 A 先在进价的基础上提价后销售，在销售了 1600 千克的时候又根
据销售情况作出调整再次提价，且两次提价的百分数相等，这样 A 类销售完获得的利润比第
一次总利润少 50 元，求 A 类第一次的标价是多少？（4 分）
(1)解 ：设 A 为 x 千克，B 为（3000-x）千克
x+1.5（3000-x）=3500
∴
∴
（
x=2000 3000-x=1000
批发商购进橙子 A 为 2000 千克，B 为 1000 千克
2）① 设 A 第二次购进数量增加了 a，则可以列方程
2
000（1+a）+1.5×
×1000（1-a）=3500
a=0.3
∴
2000×（1+0.3）=2600 千克
1
000×（1-0.3）=700 千克
②
设 A 提价了 m
第一次总利润为：3500×60%=2100 元
可列方程 1600（1+m）+1000（1+m）2-2600+50=2100
∴
∴
m=0.5 或 m=-4.1（舍去）
A 第一次标价为 1×（1+0.5）=1.5 元/千克
2
3.在现实生活中，我们会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、A4 的打印纸等，
其实这些矩形的长与宽之比都为 ：1，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”，在
“
（
（
标准矩形”ABCD 中，P 为 DC 边上一定点，且 CP=BC，如图所示．
1）如图①，求证：BA=BP；（3 分）
2）如图②，点 Q 在 DC 上，且 DQ=CP，若 G 为 BC 边上一动点，当△AGQ 的周长最小时，求
的值；（4 分）
（
3）如图③，已知 AD=1，在（2）的条件下，连接 AG 并延长交 DC 的延长线于点 F，连接 BF，

T 为 BF 的中点，M、N 分别为线段 PF 与 AB 上的动点，且始终保持 PM=BN，请证明：
△
MNT 的面积 S 为定值，并求出这个定值．（5 分）
（
∵
∴
∵
∴
1）证明：如图①中，设 AD=BC=a，则 AB=CD= a．
四边形 ABCD 是矩形，
∠C=90°，
PC=AD=BC=a，
PB=
=
a，
∴
（
BA=BP．
2）解：如图②中，作 Q 关于 BC 的对称点 Q′，连接 AQ′交 BC 于 G，此时△AQG 的周长最
小．
设 AD=BC=QD=a，则 AB=CD= a，
∴
∵
CQ=CQ′= a﹣a，
CQ′∥AB，
∴
=
=
=
．
（
3）证明：如图③中，作 TH∥AB 交 NM 于 H，交 BC 于 K．
由（2）可知，AD=BC=1，AB=CD= ，DP=CF= ﹣1，
∵
∵
S△MNT= •TH•CK+ •TH•BK= HT•（KC+KB）= HT•BC= HT，
TH∥AB∥FM，TF=TB，

∴
∴
HM=HN，
HT= （FM+BN），
∵
∴
BN=PM，
HT= （FM+PM）= PF= •（1+ ﹣1）=
，
∴
S△MNT= HT= =定值．
2
4 如图在平面直角坐标系中，直线 y=﹣ x+3 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，点 P、Q 同
时从点 A 出发，运动时间为 t 秒．其中点 P 沿射线 AB 运动，速度为每秒 4 个单位长度，点 Q
沿射线 AO 运动，速度为每秒 5 个单位长度．以点 Q 为圆心，PQ 长为半径作⊙Q．
（
（
1）求证：直线 AB 是⊙Q 的切线；（3 分）
2）过点 A 左侧 x 轴上的任意一点 C（m，0），作直线 AB 的垂线 CM，垂足为 M．若 CM 与⊙
Q 相切于点 D，求 m 与 t 的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）；（4 分）
3）在（2）的条件下，是否存在点 C，直线 AB、CM、y 轴与⊙Q 同时相切？若存在，请直接
写出此时点 C 的坐标；若不存在，请说明理由．（6 分）
（
（
1）证明：如图 1 中，连接 QP．
在 Rt△AOB 中，OA=4，OB=3，
∴
∵
∴
AB=
=5，
AP=4t，AQ=5t，
=
= ，∵∠PAQ=∠BAO，
∴
∴
∴
∴
△PAQ∽△BAO，
∠APQ=∠AOB=90°，
QP⊥AB，
AB 是⊙O 的切线．

（
2）解：①如图 2 中，当直线 CM 在⊙O 的左侧与⊙Q 相切时，设切点为 D，则四边形
PQDM 是正方形．
易知 PQ=DQ=3t，CQ= •3t=
，
∵
∴
OC+CQ+AQ=4，
m+ t+5t=4，
∴
②
m=4﹣ t．
如图 3 中，当直线 CM 在⊙O 的右侧与⊙Q 相切时，设切点为 D，则四边形 PQDM 是正方
形．
∵
∴
OC+AQ﹣CQ=4，
m+5t﹣ t=4，
∴
（
m=4﹣ t．
3）解：存在．理由如下：
如图 4 中，当⊙Q 在 y 则的右侧与 y 轴相切时，3t+5t=4，t= ，
由（2）可知，m=﹣ 或
．
如图 5 中，当⊙Q 在 y 则的左侧与 y 轴相切时，5t﹣3t=4，t=2，
由（2）可知，m=﹣ 或 ．
综上所述，满足条件的点 C 的坐标为（﹣ ，0）或（ ，0）或（﹣ ，0）或（ ，0）．