福建省宁德市部分学校高二下学期4月期中质量监测数学试题（解析版）-A4

这是一份福建省宁德市部分学校高二下学期4月期中质量监测数学试题（解析版）-A4，共17页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4．本试卷主要考试内容：湘教版选择性必修第二册第一、二章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列关于空间向量的说法正确的是（ ）
A. 任意两个空间向量不一定共面B. 模相等的两个向量是相等向量
C. 平行于同一个平面的向量叫做共面向量D. 空间中任意三个向量都可以构成空间的一个基底
【答案】C
【解析】
【分析】根据相等向量，共面向量，基底概念，逐个判断即可.
【详解】任意两个空间向量一定共面，A错误.
方向相同且模相等的两个向量是相等向量，B错误．
平行于同一个平面的向量叫做共面向量，C正确.
空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底，D错误.
故选：C.
2. 设向量不共面，已知，若三点共线，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据A，C，D三点共线，可得，再根据空间向量共线定理即可得解.
【详解】，因为A，C，D三点共线，所以，即，解得．
故选：B.
3. 若函数满足，则（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由导数的四则运算即可求解.
【详解】由，
得．
故选：D
4. 如图，在直三棱柱中，点在棱上，且．设，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】运用三角形法进行计算即可.
【详解】连接,．
故选：A.
5. 函数的部分图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数和图象的区别结合函数值正负和借助导数得到函数单调性即可判断得解.
【详解】根据题意，函数的定义域为，
当时，，所以．排除BC.
当时，，
所以在上单调递增，排除D.
故选：A.
6. 函数图象上一点到直线的最短距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用数形结合，得出与直线平行且与曲线相切的直线与曲线的切点处即为到直线的距离最小的点，所以结合导数表示出过点的切线方程，在结合斜率相等求出切点坐标，再利用点到直线的距离公式求解即可.
【详解】设与直线平行且与曲线相切的直线的切点坐标为．
因为，所以，解得，则切点坐标为．
最短距离为点到直线的距离，即．
故选：C
7. 如图，在四棱台中，底面ABCD是菱形，平面，直线AC与直线所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题设建立适当空间直角爱坐标系求得两直线方向向量，代入夹角公式即可计算求解.
【详解】取BC的中点，连接AF，则由题意可得,，且，
以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，
所以，
所以，
所以直线AC与直线所成角的余弦值为．
故选：A
8. 记是的导函数，是的导函数，若曲线在点处的曲率，则曲线在点处的曲率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用基本初等函数的导数公式求出导数，再结合曲率公式求解曲率即可.
【详解】由题意得，则，
则曲线在点处的曲率为，故C正确.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知定义在上的函数的导函数为，的图象如图所示，则（ ）
A. 在上单调递增B. 在上单调递减
C. 有1个极大值点D. 有1个极小值点
【答案】AD
【解析】
【分析】根据图象中导数的正负情况结合导数与单调性的关系、极值点得定义即可得解.
【详解】由图可得，当时，所以函数在上单调递减，
当时，当且仅当，所以函数在上单调递增.
综上上单调递减，在上单调递增，故A正确，B错误；
有1个极小值点，无极大值点，故C错误，D正确.
故选：AD.
10. 已知函数，下列说法正确的是（ ）
A. 有3个零点
B. 图象关于点对称
C. 既有极大值又有极小值
D. 经过点且与的图象相切的直线有2条
【答案】ACD
【解析】
【分析】因式分解，解方程可判断A的真假；求的值，可判断B的真假；结合函数草图，可判断C的真假；写出函数在处的切线方程，根据切线过点确定的个数，判断D的真假.
【详解】对A：由或或.所以函数有3个零点.故A正确；
对B：因为，
所以图象关于点对称，故B错误；
对C：因为函数有3个零点，结合三次函数的性质，可得函数草图如下：
所以函数既有极大值又有极小值.故C正确；
对D：设函数图象上任意一点，
因为，
所以函数在该点处的切线方程为：
，
因为切线过点，所以，
整理得：，
因式分解得：或.
故过点与函数的图象相切的直线有两条.
故D正确.
故选：ACD
11. 在四棱锥中，，四边形是平行四边形，分别为棱的中点，，点在平面的射影恰好是棱的中点，则（ ）
A. 平面
B. 线段的长为
C. 三棱锥的外接球的表面积为
D. 平面与平面夹角的余弦值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，取线段的中点，证明四边形是平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可；对于B，取线段、的中点、，证明四边形是平行四边形，求出长即可；对于C，以为原点建系，设球心坐标，建立方程组，求出球的半径即可；对于D，计算平面和平面的法向量，求得两向量夹角的余弦值即可.
【详解】对于A，取线段的中点，连接，，
因为棱的中点，则为的中位线，则，且，
因为棱的中点，且四边形是平行四边形，则且，
则且，则四边形是平行四边形，则，
又平面，平面，则平面，故A正确；
对于B，取分别取线段、的中点、，连接、、，
由于为的中位线，则，且，
由于为的中位线，则，且，
又因为四边形是平行四边形，则，且，
则，且，则四边形是平行四边形，则，
因，则，
则，即，故B正确；
对于C，因点在平面的射影恰好是棱的中点，则以为原点，
分别以平行于、的直线为轴、轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系如图，
在中，，
则，
则，
则，
设三棱锥的外接球的球心，半径为，
则，解得，
则外接球的表面积为，故C错误；
对于D，由C选项可知，，
设平面的法向量为，
则，令，则得，
容易知平面的法向量为，
则，
则平面与平面夹角的余弦值为，故D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知空间中的三点，，，则点到直线AB的距离为____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据空间中点到直线距离的求法计算即可.
【详解】因为空间中的三点，，，所以，，
所以，，
点到直线AB的距离为．
故答案为：.
13. 若函数在上单调递增，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】由函数的单调性，可得在上恒成立，解不等式即可.
【详解】由，得，
又函数在上单调递增，
所以在上恒成立，即，所以．
故答案为：.
14. 若将一块体积为的橡皮泥捏成一个圆柱，则圆柱表面积的最小值为____________.
【答案】（或）
【解析】
【分析】利用圆柱体积公式得到，再利用圆柱表面积公式将圆柱表面积表示为一元函数，利用导数求解最值即可.
【详解】设圆柱底面圆的半径为，高为，则，即．
由圆柱的表面积公式得圆柱的表面积为，
令函数，则，
当时，，单调递增，当时，单调递减，
则在上单调递减，在上单调递增，
得到．故圆柱表面积的最小值为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数.
（1）求在处的切线方程；
（2）求过点且与曲线相切的直线方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）由导数的几何意义求出切线的斜率，然后在某点处的切线方程即可；
（2）设切点，然后由导数的几何意义求出切线的斜率，求解切线的方程即可.
【小问1详解】
.
.
在处的切线方程为，即.
【小问2详解】
设所求直线与曲线相切于点，
则曲线在点处的切线斜率为，
所以切线方程为.
因为切线过点，所以，
解得或，则或.
故所求直线方程为或.
16. 如图，在正四棱柱中，为棱的中点．
（1）求三棱锥的体积．
（2）证明：平面．
（3）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）．
【解析】
【分析】（1）由三棱锥和三棱锥体积相等，即可求解；
（2）由空间位置关系的向量法即可求证；
（3）确定平面法向量，代入线面夹角公式即可求解.
【小问1详解】
易知三棱锥即三棱锥，
其体积为．
【小问2详解】
以为坐标原点，所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则．
．
因为，所以．
因为平面，所以平面
【小问3详解】
由（2）得是平面的一个法向量
设直线与平面所成的角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为．
17. 已知函数．
（1）若，求的极值；
（2）若，讨论的单调性．
【答案】（1）极大值，无极小值；
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）利用导函数，根据函数在的单调性即可求出极值；
（2）利用导函数，分类讨论在不同取值范围时，根据导数正负得出函数的单调性.
【小问1详解】
当时，，定义域为，
则．
当时，单调递增；当时，单调递减．
故当时，取得极大值，无极小值．
【小问2详解】
由，
得．
令，得或．
若，则，
当时，单调递增；当时，单调递减．
若，则，
当和时，单调递减；当时，单调递增．
若，则在上恒成立，单调递减．
综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为和；
当时，的单调递减区间为，无单调递增区间．
18. 在矩形中，为上两个不同的三等分点，如图1．将和分别沿向上翻折，使得点重合，记重合后的点为，如图2．已知，四棱锥的体积为．
（1）求；
（2）求平面与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设出所求线段，根据勾股定理以及余弦定理，表示出四棱锥的高，结合四棱锥的体积公式，可得答案.
（2）由题意建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用面面角的向量公式，可得答案.
【小问1详解】
取的中点分别为，连接，
过点作，垂足为，
设，则，
为等边三角形，，
在中，，
在中，，
，
又梯形的面积，
所以四棱锥的体积为，
解得（舍去），即；
【小问2详解】
由（1）可得．
以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以．．
设平面的法向量为，则
取，得．
设平面的法向量为，则
取，得．
所以，，
所以平面与平面所成角的正弦值为．
19. 已知函数.
（1）若在其定义域内单调递增，求的取值范围；
（2）若，证明：，；
（3）若在上有两个极值点，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用函数在定义域内单调递增则函数的导数大于或者等于零恒成立，求解分离参数求解即可
（2）构造函数，求两次导，得到这个函数导函数的单调性，从而得到，则在上单调递增，得到，即当时，，所以，不等式得证.
（3）分情况讨论，当时，，则在上单调递减，无极值点.当时，由（1）知在上单调递增，无极值点.
当时，令，求导，对极值点大小进行分析，再结合零点存在性定理取点证明有两个极值点即可.
【小问1详解】
因为在上单调递增，所以在上恒成立，
即在上恒成立.
设，则，则上单调递增，在上单调递减，
所以，则，即的取值范围为.
【小问2详解】
证明：若，则.
设，则，，则在上单调递减，在上单调递增，
则，则在上单调递增，
所以，即当时，，
所以，不等式得证.
【小问3详解】
.
当时，，则在上单调递减，无极值点.
当时，由（1）知在上单调递增，无极值点.
当时，令，
令，得，
则在上单调递减，在上单调递增，
，，
由（2）知，则，
所以恰有两个零点，，
令，得，令，得或，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，从而有两个极值点.
综上，的取值范围是.