甘肃省陇南市武都区2025--2026学年（上）九年级1月期末数学试卷（含详解）

这是一份甘肃省陇南市武都区2025--2026学年（上）九年级1月期末数学试卷（含详解），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考生注意：本试卷满分150分，考试时间120分钟，所有试题均在答题卡上作答，否则无效．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项．
1．下列汽车标志中，可以看作是中心对称图形的是
A．B．
C．D．
2．已知是一元二次方程的两个实数根，则（ ）
A．2023B．2024C．2025D．2026
3．一个不透明的箱子中放有1个红球、2个黄球和3个黑球，这些小球除颜色外都相同，小明、小芳、小雪三人先后去摸球，每人每次只能摸出一个球，每次摸出球后放回，摸出红球的人获得礼品（可以所有人都获得礼品）．你觉得这个游戏（ ）
A．对所有人都公平B．无法判断是否公平
C．先摸者获得礼品的可能性大D．后摸者获得礼品的可能性大
4．已知点，，三点都在抛物线的图象上，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．下列说法正确的有（ ）
A．长度相等的两条弧是等弧
B．平分弦的直径一定垂直于这条弦
C．过圆心的线段是直径
D．圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴
6．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载了“圆中方形”问题：今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．其大意为有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如图，设正方形的边长是步，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．数学选修课开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事．小涵随机抽取了1张卡片，则小涵抽到的卡片恰好是数学家华罗庚图案的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在中，，将绕点C顺时针旋转到，当点在一条直线上时，旋转的度数为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，四边形是的内接四边形，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，下列结论：①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；②b=﹣2；③使y≤3成立的x的取值范围是x≤-2或x≥1；④一元二次方程ax2+bx+c＝m（m＜4）的两根之和为﹣2．其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11．已知一元二次方程 的一个根为m，则 的值为 ．
12．一个不透明的袋子中有红球和黑球共40个，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色再放回袋子中，不断重复这一过程，共摸了300次，发现有75次摸到黑球，则袋子中的红球大约有 个．
13．以原点为中心，把点逆时针旋转得到点N，则点N的坐标为
14．若抛物线的顶点在第一象限，则m的取值范围为 ．
15．如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则 ．
16．如图，在美术活动课上，小华用圆心角为、半径为的扇形彩纸做成一个圆锥形的纸帽，做成后这个圆锥形纸帽的底面半径是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解方程：．
18．关于x的一元二次方程有一个根为3，求k的值及另一个根．
19．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根．
(2)若该方程的两根互为相反数，求m的值．
20．在平面直角坐标系中，的位置如图所示．
(1)画出关于原点中心对称的，并写出点与点的坐标；
(2)画出绕点O顺时针方向旋转后得到的．
21．某中学持续开展了A：青年大学习；B：青年学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项参加．为了解学生参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)在这次调查中，一共抽取了____名学生；
(2)补全条形统计图；
(3)若该校共有学生1 280名，请估计参加B项活动的学生数；
(4)小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率．
22．如图，已知中，，．
(1)用无刻度的直尺和圆规，作的外接圆．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，求圆O的半径R．
四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
23．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转角得到，连接，．
(1)当时，求的长度；
(2)当时，判断与的位置关系．
24．商场销售一吉祥物，已知每套吉祥物的进价为20元，如果以单价30元销售，那么每天可以销售400套，根据经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20套．
(1)若商家每天想要获取4320元的利润，为了尽快清空库存，售价应定为多少元？
(2)销售单价为多少元时每天获利最大？最大利润为多少？
25．如图，在中，，，点O在边上，经过点A和点B且与边相交于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求阴影部分的面积．
26．【阅读材料】
配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即，配方法在解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题中都有着广泛应用．
例：求代数式的最小值．
解：，
，．
当时，的最小值为1．
【类比探究】
（1）按照上述方法，用配方法求代数式最小值；
【灵活运用】
（2）试说明：无论取何实数，二次根式都有意义．
27．如图，直线过轴上一点，且与抛物线相交于，两点，点坐标为．
(1)求直线和抛物线的函数解析式．
(2)在轴上是否存在一点，使为等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)若抛物线上有一点(在第一象限内)使得，求点坐标．
参考答案
1．A
解：A．旋转180°，与原图形完全重合，是中心对称图形；故此选项正确；
B．旋转180°，不能与原图形完全重合，不是中心对称图形；故此选项错误；
C．旋转180°，不能与原图形完全重合，不是中心对称图形；故此选项错误；
D．旋转180°，不能与原图形完全重合，不是中心对称图形；故此选项错误；
故选：A．
2．C
解：一元二次方程的两个实数根为a，b，
，，
则原式，
故选：C．
3．A
解：∵小明、小芳、小雪三人每次摸到红球的概率均为，
∴游戏对所有人都公平，
故选：A．
4．B
解：∵二次函数的解析式为，
∴抛物线的对称轴为y轴，
，，，
∴点C离y轴最远，点B离y轴最近，
∵抛物线开口向上，
．
故选：B．
5．D
解：A、能完全重合的两条弧是等弧，所以此选项不符合题意；
B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以此选项不符合题意；
C、过圆心的弦是直径，所以此选项不符合题意；
D、圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，即直径所在直线是圆的对称轴，所以D选项正确．
故选：D．
6．B
解:∵可耕地的面积是平方步，且可耕地的面积=圆的面积−正方形的面积，
∴可列方程为：.
故答案为:B．
7．B
解：共有4种等可能结果，其中小涵抽到的1张卡片中恰好有数学家华罗庚卡通图案的结果有1种，
∴小涵抽到的一张卡片中恰好有数学家华罗庚图案的概率为，
故选：B．
8．D
解：∵，
，
∵点在一条直线上，
，
∴旋转的度数为．
故选：D．
9．A
解：如图，连接，，

∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：A
10．C
将（-3，0）、（1，0）、（0，3）代入解析式可求出二次函数的解析式，
∴y=-x2-2x+3，
①观察图象，可确定顶点坐标为（-1，4），故该结论正确；
②代入三点坐标后解析式为y=-x2-2x+3，b=-2，故该结论正确；
③使y≤3成立的x的取值范围是x≤-2或x≥0，故该结论错误；
④一元二次方程ax2+bx+c＝m（m＜4）的两根之和，可理解成关于二次函数与y=m的解析式的交点，这两个交点的横坐标是关于x=-1对称，即两根之和为-1×2=-2．
故选：C．
11．
解：∵一元二次方程的一个根为，
∴，即，
∴．
故答案为：．
12．30
解：∵共摸了次球，有次摸到黑球，
∴摸到黑球的概率为，
∴袋中的红球大约有（个），
故答案为：30．
13．
如图所示，建立平面直角坐标系，点N的坐标为．
故答案为：．
14．
解：∵抛物线，
∴顶点坐标为，
∵顶点在第一象限，
∴，
∴m的取值范围为．
故答案为：．
15．12
解：∵是的内接正n边形的一边，点C在上，，
∴，
∴；
故答案为：12．
16．##9厘米
解：由圆锥侧面展开图是扇形可知：该扇形的弧长即为圆锥底面圆的周长，
∴，
∴底面半径为；
故答案为．
17．
解：∵，
∴，即，
∴，
∴或，
解得．
18．，．
解：把代入，
得，解得，
∴原方程为，
设另一根为，
由根与系数的关系可得：，即
解得，即原方程的另一个根是．
19．(1)见解析
(2)4
（1）证明：，
∴，，，
∵，
∴该方程总有两个不相等的实数根．
（2）∵该方程的两根互为相反数，
∴，
∴．
20．(1)见解析，
(2)见解析
（1）解：如图所示，即为所求，；
（2）解：如图所示，即为所求．
21．(1)200
(2)见解析
(3)512名
(4)
（1）解：在这次调查中，一共抽取了学生（名）；
（2）解：参加C项活动的人数为（名），补全条形统计图如下：
（3）解： （名），
故估计参加B项活动的学生为512名；
（4）解：画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小杰和小慧参加同一项活动的结果有4种，
∴小杰和小慧参加同一项活动的概率为．
22．(1)见解析
(2)
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：连接交于点D．
设．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得：
∴圆O的半径为：．
23．(1)
(2)
（1）解：，，
，
由旋转可知，
为等边三角形，
；
（2），证明如下：
，，，
，
,即．
又，，
，
，
．
24．(1)每套吉祥物的售价应定为32元；
(2)销售单价为35元时每天获利最大，最大利润4500元．
（1）设每套吉祥物的售价为x元，根据题意得
，
化简得：，
解得，，
为了尽快清空库存，每套吉祥物的售价应定为32元．
（2）设每天销售吉祥物获得的利润为y元，则有
，
∵，且，
∴，
∵对称轴为直线，且该二次函数图象开口向下，
∴函数的最大值为，
销售单价为35元时每天获利最大，最大利润4500元．
25．(1)见解析
(2)
（1）连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线
（2）∵，，
∴，
∵，，，
∴，，
在中，，
∴．
26．（1）5；（2）见解析
（1）解：，
，
，
当时，的最小值是5；
（2）无论取何实数，二次根式都有意义，理由如下：
，
，
当时，的最小值为5．
又，
无论取何实数，二次根式都有意义．
27．(1)直线的解析式为；抛物线解析式为
(2)或或或
(3)
（1）解：设直线的解析式为，
把，代入得，
解得，
所以直线的解析式为；
把代入得，
所以抛物线解析式为；
（2）∵
∴，
①当时，或；
②当时，点是线段的垂直平分线与轴的交点．
设
解得：
．
③当时，
；
解得：（舍去）或
∴；
综上所述，符合条件的点的坐标为：或或或．
（3）联立，
解得：，
∴，
∴
设，
∵
∴
解得：或（舍去）
∴