甘肃省庆阳市环县上学期期末考试九年级数学试卷（解析版）-A4

这是一份甘肃省庆阳市环县上学期期末考试九年级数学试卷（解析版）-A4，共23页。试卷主要包含了考试结束后，只将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。
（试卷总分：120分 考试时间：120分钟）
1．答题时，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
5．考试结束后，只将答题卡交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给的四个选项中；有且只有一项是符合题目要求的）
1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，这个图形就是中心对称图形，据此来分析判断即可得解．
【详解】解：A选项，是中心对称图形，故本选项符合题意；
B选项，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C选项，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D选项，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查了中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的概念是求解关键．
2. 如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若绕点按逆时针方向旋转到的位置，则旋转的角度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了旋转性质，熟记性质以及旋转角的确定是解题的关键．根据旋转的性质，对应边的夹角即为旋转角．
【详解】解：∵绕点O按逆时针方向旋转到的位置，
∴对应边的夹角即为旋转角，
而．
∴旋转的角度为．
故选：B．
3. 如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了弧长，根据弧长公式∶求解即可．
【详解】解∵，，
∴的长为，
故选∶C．
4. 已知方程的一个根为，则方程的另一个根为（ ）
A. B. 0C. 2D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查解一元二次方程，设方程的两个根为和，且，根据方程根与系数的关系可得，据此即可求得答案．
【详解】设方程的两个根为和，且．
根据方程根与系数的关系可得
．
则．
故选：D．
5. 如图，四边形为内接四边形，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据圆内接四边形的对角互补可知，得到，再根据圆周角定理，一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知，即可得到答案．
【详解】解：四边形为的内接四边形
所对圆周角是，所对圆心角是
故选：B．
6. 下列说法中，错误的是（ ）
A. 如果某彩票的中奖概率是，那么一次购买张这种彩票一定会中奖
B. “经过有交通信号灯的路口时遇到红灯”是随机事件
C. “平面内不共线的三点确定一个圆”是必然事件
D. “任意画一个三角形，其内角和是”是不可能事件
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了事件的分类和概率，根据概率的意义及随机事件、必然事件和不可能事件的定义逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：、如果某彩票的中奖概率是，那么一次购买张这种彩票不一定会中奖，该选项说法错误，符合题意；
、“经过有交通信号灯的路口时遇到红灯”是随机事件，该选项说法正确，不合题意；
、“平面内不共线的三点确定一个圆”是必然事件，该选项说法正确，不合题意；
、“任意画一个三角形，其内角和是”是不可能事件，该选项说法正确，不合题意；
故选：．
7. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法求抛物线的顶点坐标，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成求解．过程如图所示：

接力中，自己负责的出现错误的是（ ）
A. 甲和乙B. 乙和丙C. 乙和丁D. 甲和丙
【答案】A
【解析】
【分析】将正确进行配方，即可发现错误步骤．
【详解】解：老师—甲： ，故甲错误；
甲－乙：，故乙错误；
乙－丙：，故丙正确；
丙－丁：顶点坐标为，故丁正确．
A：正确；B：错误；C：错误；D：错误．
故选：A
【点睛】本题考查将抛物线的一般式配成顶点式．易错点：直接除以二次项系数、加了常数不减．
8. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. k＞B. k≥C. k＞且k≠1D. k≥且k≠1
【答案】C
【解析】
【详解】根据题意得：k-1≠0且△=22-4（k-1）×（-2）＞0，
解得：k＞且k≠1．
故选：C
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac，关键是熟练掌握：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
9. 如图，正六边形内接于，若的周长是，则正六边形的周长是（ ）
A. 18B. 36C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆周长的公式可算出直径，由正六边形内接于可知正六边形的半径为6，，又正六边形的中心角为，所以正六边形的边长也为6，即可求出正六边形的边长．
【详解】∵，
∴，
即，
∵正六边形内接于，
∴边长= ，
∴周长=．
故选B．
【点睛】本题考查了圆内接正六边形的相关性质，解决本题的关键是正六边形的边长和它的半径相等．
10. 如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，对称轴为直线，若点A的坐标为，则下列结论正确的是（ ）

A.
B.
C. 是关于x的一元二次方程的一个根
D. 点，抛物线上，当时
【答案】C
【解析】
【分析】根据对称轴为得到，即可判断A选项；根据当时，，即可判断B选项；根据当时，即可判断C选项；根据当时，y随着x的增大而增大即可判断D选项．
【详解】解：A．抛物线的对称轴为直线，则，则，即，故选项错误，不符合题意；
B．抛物线的对称轴为直线，点A的坐标为，当时，，故选项错误，不符合题意；
C．抛物线的对称轴为直线，若点A的坐标为，可得点，当时，，即是关于x的一元二次方程的一个根，故选项正确，符合题意；
D．∵抛物线的对称轴为直线，开口向上，
∴当时，y随着x的增大而增大，
∴点，在抛物线上，当时，故选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下：
这种绿豆发芽的概率的估计值为________（精确到0.01）．
【答案】0.93
【解析】
【分析】根据题意，用频率估计概率即可．
【详解】解：由图表可知，绿豆发芽的概率的估计值0.93，
故答案为：0.93．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率．解题的关键在于明确：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
12. 已知点和点关于坐标原点对称，则的值为________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标，根据点关于原点对称的点的坐标为进行解答即可．
【详解】解：点和点关于原点对称，
，，
，，
，
故答案为：1．
13. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，根据二次函数的平移规律求解即可，熟练掌握二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”是解题的关键．
【详解】解：二次函数的图象平移后的解析式为，
故答案为：．
14. 若是关于的方程的解，则的值为________．
【答案】2025
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握一元二次方程解的定义是解题的关键．先将代入方程可得，再由即可得到答案．
【详解】解：是关于的方程的解
故答案为：2025．
15. 如图，在中，，，点是的中点，将绕点A按逆时针方向旋转得．那么图中阴影部分的面积为______．

【答案】
【解析】
【分析】先根据直角三角形的性质求出的长，再由扇形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：∵在中，，，点是的中点，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
16. 如图，的圆心为，半径为，是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为______
【答案】
【解析】
【分析】记直线与x，y轴分别交于点A，K，连接；由直线解析式可求得点A、K的坐标，从而得均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得：，由，则当最小时，最小，点P与点K重合，此时最小值为，由勾股定理求得的最小值，从而求得结果．
【详解】解：记直线与x，y轴分别交于点A，K，连接，
当，，当，即，
解得：，
即；
而，
∴，
∴均等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵与相切，
∴，
∴，
∵，
∴当最小时即最小，
∴当时，取得最小值，
即点P与点K重合，此时最小值为，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴最小值为．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点问题，垂线段最短，正确添加辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共32分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法解一元二次方程成为解题的关键．
先移项，然后运用因式分解法求解即可．
【详解】解：原方程转化为一般式为，
，
或，
∴，．
18. 如图，已知点A，B，C，D是上四个点，．
求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】此题考查了圆中的弧、弦之间的关系，根据 ，得出，进而可得，即可得出．
【详解】证明：∵，
∴．
∴，
∴，
∴．
19. 抛物线与轴交于，两点，与轴交于，求的面积．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查抛物线与坐标轴的交点问题．先令，分别求出点A，B，C的坐标，再根据三角形面积公式计算即可．
【详解】解：当时，，
解得：，，
∴，
当时，，
∴，
∴．
20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出与关于原点O对称的；
（2）画出将绕原点O顺时针旋转后得到的，点的坐标是________．
【答案】（1）见解析 （2）见解析，
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和中心对称等知识，解题的关键是掌握旋转变换和中心对称变换的性质．
（1）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数，得到、、对应点、、的位置，然后顺次连接、、即可；
（2）根据旋转方式结合网格的特点找到、、对应点、、的位置，然后顺次连接、、即可．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
如图所示，即为所求，．
21. 如图，为的直径，是弦，且于点E．连接、、．
（1）若，，求弦的长；
（2）求证：．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）先求出半径，利用勾股定理求出，再根据垂径定理推出，即可求解；
（2）利用垂径定理得出，根据等弧所对的圆周角相等可得，结合，即可证明．
【小问1详解】
解：，，
，
，，
在中，．
为的直径，是弦，，
，
；
【小问2详解】
解：为的直径，是弦，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理，解题的关键是牢记：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧．
22. 学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长，篱笆长．设垂直于墙的边为．
（1）围成的矩形花圃的面积能否为？若能，求出x的值；若不能，说明理由；
（2）围成的矩形花圃的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）围成的矩形花圃的面积能为，此时x的值为25
（2）围成的矩形花圃的面积存在最大值，最大值为，此时x的值为20
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用（与图形有关的问题），二次函数的实际应用（图形问题），读懂题意，根据题中的数量关系正确列出函数解析式或方程是解题的关键．
（2）根据题意设未知数列一元二次方程，判断此方程有解，然后再解方程即可；
（3）先列函数关系式，将二次函数解析式化成顶点式，然后根据自变量的取值范围和二次函数的性质求二次函数的最值即可．
【小问1详解】
解：围成的矩形花圃的面积能为．
∵平行于墙的边，
而，且，
∴．
由题意，得．
解得（舍去）或．
答：围成的矩形花圃的面积能为，此时x的值为25．
【小问2详解】
解：设围成的矩形花圃的面积为．
由题意，得．
∵，且，
∴当时，S取得最大值800．
答：围成的矩形花圃的面积存在最大值，最大值为，此时x的值为20．
四、解答题（本大题共5小题，共40分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
23. 二十四节气是中国古代一种用来指导农事的补充历法，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”，并位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．小明和小亮对二十四节气非常感兴趣，在课间玩游戏时，准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面分别写有“A．惊蛰”“B．夏至”“C．白露”“D．霜降”四个节气，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并讲述所抽卡片上的节气的由来与习俗．
（1）小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．惊蛰”的概率是________．
（2）小明先从四张卡片中随机抽取一张，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人都没有抽到“B．夏至”的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A．惊蛰”的只有1种，由概率的定义可得答案；
（2）用树状图列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
【小问1详解】
解：共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A．惊蛰”的只有1种，
所以小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．惊蛰”的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：用树状图表示所有等可能出现的结果如下：
共有12种等可能出现的结果，其中两人都没有抽到“B．夏至”的有6种，
所以两人都没有抽到“B．夏至”的概率为．
【点睛】本题考查列表法或树状图法，用树状图表示所有等可能的出现的结果是正确解答的关键．
24. 我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，．请根据这一结论，解决下列问题：
（1）若，是方程的两根，则________，________；
（2）若，是方程的两根，求，的值；
（3）已知两个不同的实数，满足，，求的值．
【答案】（1）
（2），
（3）的值为
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系，根据，，进行解答，即可．
（1）根据一元二次方程根与系数的关系，，进行解答，即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，，进行解答，即可；
（3）根据一元二次方程根与系数的关系，，可得，，再通分，可得，进行解答，即可
【小问1详解】
解：∵关于的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，，
∴，是方程的两根，；；
故答案为：；．
【小问2详解】
解：∵，是方程的两根
∴，
∴，．
【小问3详解】
解：∵两个不同的实数，满足，，
∴，，，可看作方程的两根，
∴，，
∴，
即的值为．
25. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，D是直角边BC所在直线上的一个动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转60°到AE，连接BE，DE．
（1）如图1，当点E拾好在线段BC上时，请判断线段DE和BE之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当点E不在直线BC上时，其他条件不变，（1）中结论是否成立？若成立，请给予证明：若不成立，请求出DE和BE之间的数量关系．
【答案】（1）；理由见解析

（2）（1）中结论成立；理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用等边三角形的性质以及等腰三角形的判定解答即可；
（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F，证得△ADC≌△AEF，结合直角三角形中30°的角所对的直角边是斜边的一半可得出答案．
【小问1详解】
解：DE＝BE；理由如下：
由旋转可知，AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴△ADE为等边三角形，
∴DE＝AE，∠AED＝60°，
∵∠ABC＝30°，∠AED＝∠ABC＋∠EAB，
∴∠EAB＝60°−30°＝30°，
∴∠ABC＝∠EAB，
∴BE＝AE，
∴DE＝BE．
【小问2详解】
DE＝BE仍然成立；理由如下：
过点E作EF⊥AB，垂足为F，如图所示：
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠CAB＝60°，
∴∠DAE＝∠CAB，
∴∠DAE−∠CAE＝∠CAB−∠CAE，
即∠CAD＝∠EAF，
又∵AD＝AE，∠ACD＝∠AFE＝90°，
∴△ADC≌△AEF（AAS），
∴AC＝AF，
在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，
∴AC＝AB，
∴AF＝AB，
又∵EF⊥AB，
∴AE＝BE，
由（1）知AE＝DE，
∴DE＝BE．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，作出辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．
26. 如图，为的直径，P在的延长线上，C为圆上一点，且．
（1）求证：与相切；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证；
（2）过点O作的垂线，垂足为D，则，然后可得，则有是等边三角形，进而根据等边三角形的性质及勾股定理可进行求解．
【小问1详解】
证明：连接，则是的半径，，
是的直径
是的切线；
【小问2详解】
解：过点O作的垂线，垂足为D，则
，
由（1）可知：，
是等边三角形
，
由勾股定理得：
．
【点睛】本题主要考查切线的判定、圆周角定理及垂径定理，熟练掌握切线的判定、圆周角定理及垂径定理是解题的关键．
27. 如图，抛物线经过坐标轴上三点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）是直线上方抛物线上一动点，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标；
（3）是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）当时，的面积有最大值4，此时
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）求出、点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过点作轴交于点，设，则，可得，当时，的面积有最大值4，此时；
（3）根据题意，设，结合，，根据平行四边形的对角线交点坐标，利用中点坐标公式列方程组求解即可求点坐标．
【小问1详解】
解：抛物线经过坐标轴上三点，
将代入得，解得，
抛物线的函数解析式为；
【小问2详解】
解：设直线的函数解析式为，
将代入得，解得，
直线的函数解析式为，
过点作轴交于点，如图所示：
设，则，
，
，
由图像开口向下，当时，的面积有最大值4，此时；
【小问3详解】
解：存在点，使得四边形是平行四边形．
，
抛物线的对称轴为直线，
由题知，，
设，
当四边形是平行四边形时，为平行四边形的对角线，则，解得，
．
【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，涉及待定系数法确定函数、二次函数最值、平行四边形性质及中点坐标公式等知识，熟练掌握二次函数的图像及性质，平行四边形的性质是解题的关键．
每批粒数n
2
5
10
50
100
500
1000
1500
2000
3000
发芽的频数m
2
4
9
44
92
463
928
1396
1866
2794
发芽的频率（精确到0.001）
1.000
0.800
0.900
0.880
0.920
0.926
0.928
0.931
0.933
0.931