福建省厦门市外国语学校2025-2026学年上学期高二期末冲刺数学试卷 - 副本

这是一份福建省厦门市外国语学校2025-2026学年上学期高二期末冲刺数学试卷 - 副本，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线l的一个法向量为a=(1, 3)，则直线l的斜率为( )
A. 33B. - 3C. - 33D. 3
2.如图，直三棱柱ABC –A1B1C1中，若CA=a，CB=b，CC1=c，则A1B等于( )
A. a+b-cB. a-b+cC. b-a-cD. b-a+c
3. 北京2022年冬奥会高山滑雪比赛的滑雪赛场中某一段滑道的示意图如图所示，综合考虑安全性和趣味性，在滑道最陡处点P处的切线方程是y=-x+8，则limΔx→0f5+Δx-f(5)Δx=( )．
A. 1B. 3C. -3D. -１
4.已知双曲线C:x2-y2b2=1(b>0)的离心率为2，左、右焦点为F1，F2，P为双曲线C上的一个动点，则PF1⋅PF2的最小值为( )
A. -2B. -3C. -4D. -5
5.如图所示，图 ①是一个边长为3的正三角形，周长记为a1，图 ②是将图 ①的每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，周长记为a2，反复进行这一过程得到图③，图④，周长分别记为a3，a4，得到数列an，设数列an的前n项和为Sn，则满足Sn>3an的n的最小值为( )．

A. 4B. 5C. 6D. 7
6.已知Sn为数列{an}的前n项和,bn为数列{Sn}的前n项积,若2Sn+1bn=2则b5=( )
A. 2B. 52C. 3D. 72
7. 如图，在四棱锥D1-ABCD中，D1D⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方形，且D1D=DA=DC=3，E，F分别为D1B的三等分点，若P为底面ABCD上的一个动点，则|PE|+|PF|的最小值为( )
A. 11B. 5 22C. 1+ 6D. 3 3
8.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，过点F2的直线AB与曲线C相交于A,B两点.若3|AF2|=|BF2|，以F1F2为直径的圆过点B，则C的离心率为( )
A. 52B. 32C. 22D. 5-12
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知方程x216-m+y29+m=1(m∈R)表示曲线C，则( )
A. 曲线C表示椭圆，则m取值范围是(-9,16)
B. m=0时，曲线C的离心率为 74
C. m=-11时，曲线C的渐近线方程为y=± 33x
D. m∈(-∞,-9)，曲线C表示焦点在x轴上的双曲线
10.下列命题中正确的是( )
A. 直线l的方向向量a=(0,1,-1)，平面α的法向量n=(1,-1,-1)，则l//α
B. 两个不同的平面α，β的法向量分别是u=(2,2,-1)，v=(-3,4,2)，则α⊥β
C. n是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，若=120°，则l与平面α所成角为30°
D. 平面α经过三点A=(1,0,-1)，B=(0,1,0)，C=(-1,2,0)，向量n=(1,u,t)是平面α的法向量，则u+t=1．
11.正四面体A-BCD中，已知AD//平面α，BC//平面α，点F在棱BC上，下列正确的是( )
A. 若M、N分别为棱AC、BD的中点，则MN//平面α
B. 在棱BC上存在点F，使AF⊥平面α
C. 当F为棱BC的中点时，平面ADF⊥平面α
D. 平面α与平面BCD所成锐二面角的正切值为 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知空间中两点A=(2,2,0)，B=(3,y,1)，向量a=(3,-1,3)，a//AB，则|a|= ，
y= ．
13.已知△ABC的顶点A2,0，B0,4，若经过△ABC的外心和重心的直线方程是x-y+2=0，则顶点C的坐标为 ．
14.已知函数f(x)=ex,g(x)=mx，若存在x1,x2∈0,3使得f(x1)=g(x1)f(x2)=g(x2)，则实数m的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．
(I)求{an}的通项公式;
(II)求和：b1+b3+b5+⋯+b2n-1．
16.(本小题15分)
在平面直角坐标系xOy中，点A(2,0)，圆C的半径为r，且圆心在直线l：y=3x-1上．
(1)若半径r=1，圆心C也在直线y=x+1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
(2)若半径r=2 2- 3，圆C上存在点M，使MO= 3MA，求圆心C的横坐标a的取值范围．
17.(本小题15分)
在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=5,AC=3,BC=4，D是线段AB上的一个动点．
(1)若CD⊥AB，求证：平面ABB1A1⊥平面CDB1；
(2)若A1A=3,且D是线段AB的中点，求直线CB1与平面ABB1A1所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|=3|OF|，ΔMFO的面积为9 24．
(1)求E的方程;
(2)若不过点F的直线l与E交于A，B两点， ①线段AB的中点的纵坐标为3; ②△ABF的重心在直线y=2上;③|AF|+|BF|=13．
请从以上三个条件中任选两个作为补充条件，问满足条件的直线l是否存在，若存在求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=x-lnx+a．
(1)若函数f(x)过点(1,-1)，求该点处的切线方程；
(2)若函数f(x)在区间(0,3)上存在零点，求实数a的取值范围；
(3)记函数g(x)=12x2-bx+a-f(x)，设x1,x2(x10，可得b3=3(舍去b3=-3)，(等比数列奇数项符号相同)，
所以q2=b3b1=3，
则b2n-1是公比为3，首项为1的等比数列，
b1+b3+b5+⋯+b2n-1=1×(1-3n)1-3=3n-12(n∈N*)．
16.解： (1)因为圆心C同在直线y=3x-1和直线y=x+1上，
所以y=3x-1y=x+1，解得x=1y=2 ,所以C(1,2)，
①若过点A(2,0)的直线斜率不存在，此时x=2恰为圆C的切线；
②若过点A(2,0)的直线斜率存在，
设直线方程为：y=k(x-2)，即kx-y-2k=0，
因为直线与圆C相切，所以k-2-2k 1+k2=1，解得：k=-34，
所以切线方程为：y=-34(x-2)，即3x+4y-6=0，
综上可知：点A圆C的切线方程为：x=2与3x+4y-6=0．
(2)因为MO= 3MA，所以点M轨迹是以(3,0)为圆心， 3为半径的圆，
要使得圆C上存在符合条件的点M，则圆C与圆B必有公共点，
又圆C的圆心C(a,3a-1)，半径为2 2- 3，
(a-3)2+(3a-1)2⩽2 2，
即5a2-6a+1⩽0，解得：15⩽a⩽1，
所以圆心C的横坐标a的取值范围为[15,1]．
17.解：(1)因为AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC
所以AA1⊥CD，又CD⊥AB，AA1∩AB=A，AA1、AB⊂平面ABB1A1，
所以CD⊥面ABB1A1，
因为CD⊂平面CDB1，
所以平面ABB1A1⊥平面CDB1；
(2)过点C作CF⊥AB于F，连接FB1，
因为AA1⊥平面ABC，CF⊂平面ABC，所以AA1⊥CF．
又CF⊥AB，AA1∩AB=A，AA1、AB⊂平面ABB1A1，所以CF⊥平面ABB1A1，
故∠CB1F就是直线CB1与平面ABB1A1所成的角，
因为AB=5，AC=3，BC=4，所以AC2+BC2=AB2，
故ΔABC是以角C为直角的三角形，
又CF⊥AB，所以CF=125.又CB1=5
所以sin∠CB1F=CFCB1=1225．
故直线CB1与平面ABB1A1所成角的正弦值为1225．
18.解： (1)由题意可知xM=p,故M(p, 2p)，又ΔMFO的面积为9 24，所以p=3，则E的方程为y2=6x．
(2)当直线l的斜率不存在时，l与E交于A，B两点，线段AB的中点的纵坐标为0，
因此不论选 ① ②， ① ③， ② ③均不符合，直线l的斜率都存在．
设l:y=kx+b(k≠0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，由(1)知F(32,0)，由y=kx+b,y2=6x,
消去x后整理得ky2-6y+6b=0，所以y1+y2=6k．
若选 ① ③:因为线段AB的中点的纵坐标为3，所以y1+y2=6k=6，则k=1.因为|AF|+|BF|=13，所以x1+x2+p=13，则x1+x2=10，即y1+y2-2b=10，所以b= -2，因此直线l的方程为y=x-2．
若选 ② ③:因为△ABF的重心在直线y=2上，所以y1+y2+yF3=2，则y1+y2=6=6k，所以k=1，
因为|AF|+|BF|=13，所以x1+x2+p=13，则x1+x2=10，即y1+y2-2b=10，
所以b= -2，因此直线l的方程为y=x-2.若选 ① ②:因为线段AB的中点的纵坐标为3，所以y1+y2=6k=6，则k=1．
因为△ABF的重心在直线y=2上，所以y1+y2+yF3=2，则y1+y2=6=6k，所以k=1．
因为两个条件都只能得出斜率k=1，无法计算出b的值，所以不能得到直线l的方程．
19.解：(1)f'(x)=1-1x，所以切线斜率为f'(1)=0，
又f(1)=-1，切点为(1,-1)，所以切线方程为y=-1．
(2)令f'(x)=1-1x=0，得x=1，
当00，函数f(x)单调递增，
所以f(x)在区间(0,3)上存在零点，因为f(3)=3-ln3+a，
f(1)=1-ln1+a=1+a，
若f(x)在区间(0,3)上存在零点，则fx⩽0
所以a≤-1
a的取值范围是(-∞,-1]．
(3)∵g(x)=lnx+12x2-(b+1)x，
∴g'(x)=1x+x-(b+1)=x2-(b+1)x+1xx>0，
若b≥32，则(b+1)2-4=(b+3)(b-1)>0恒成立，
所以x2-(b+1)x+1=0两根为x1，x2(0