四川师范大学附属中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份四川师范大学附属中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了答题前，先将自己的姓名，选择题的作答，填空题和解答题的作答等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置.
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4、考试结束后，请将答题卡上交，试卷由本人保存.
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由自然数集的概念化简集合，再利用集合的交集运算即可得解.
【详解】因为，，
所以.
故选：C．
2. 命题的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题可得答案.
【详解】命题的否定为.
故选：B
3. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析函数的奇偶性排除两个选项，再利用时，值为正即可判断作答.
【详解】函数定义域为R，，即是奇函数，A，B不满足；
当时，即，则，而，因此，D不满足，C满足.
故选：C
4. 若m是方程的根，则下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将m是方程根转化为m为函数的零点，得到函数单调递增，且，，再根据零点存在性定理即可求解．
【详解】设，
∵m是方程的根，
∴m为函数的零点，
∵函数，在上都为单调递增函数，
∴在上连续且单调递增，
又∵，，
∴函数的零点一定在区间内，
∴．
故选：B．
5. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用对数函数，指数函数的单调性和三角函数的符号进行判断.
【详解】考查对数函数在上为减函数，所以：；
考查指数函数在上为减函数，所以；
因为是第四象限角，所以;
综上：.
故选：A
6. 定义在上的偶函数满足，且时，，则（ ）
A. 2B. 1C. 0D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件求得函数的周期，再利用题中条件转化一下，即可求值.
【详解】因为定义在上的偶函数满足，
则，
，
，
所以函数的周期为，
则，
又，
故选：D.
7. 已知函数 值域为，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】判断当时，的取值范围，从而判断时，的取值范围应包含，由此列出不等式，求得答案.
【详解】由题意知当时，，
由于函数 的值域为，
故时，的取值范围应包含，
故此时，且，故，
即实数a的取值范围是，
故选：D
8. 通过实验数据可知，某液体的蒸发速度y（单位：升/小时）与液体所处环境的温度x（单位：）近似地满足函数关系（为自然对数的底数，a，b为常数）.若该液体在的蒸发速度是0.2升/小时，在的蒸发速度是0.4升/小时，则该液体在的蒸发速度为（ ）
A. 0.5升/小时B. 0.6升/小时C. 0.7升/小时D. 0.8升/小时
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得，求出，再将代入即可得解.
【详解】由题意得，
两式相除得，所以，
当时，，
所以该液体在的蒸发速度为0.8升/小时.
故选：D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求；全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）
9. 若，，则下列不等关系一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】取可判断A；作差法可判断B，D；取特值可判断C.
【详解】对于A，若，，则，故A错误；
对于B，因为，所以，所以，故B正确；
对于C，取，，满足，但，故C错误；
对于D，因为，所以
，所以，故D正确;
故选：BD.
10. 若角的终边落在第二象限，则下列结论正确的是（ ）
A. 点在第三象限
B. 角的终边经过点，则实数的取值范围是
C. 为其终边上的一点，且，则等于
D. 的值为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据条件，利用三角函数的定义及三角函数在各个象限的符号，对各个选项逐一分析判断即可得出结果.
【详解】对于选项A，因为角的终边落在第二象限，所以，所以选项A正确；
对于选项B，由题知，，得到，所以选项B错误；
对于选项C，因为为其终边上的一点，且，所以，得到或（舍去），
所以，故选项C正确，
对于选项D，，
所以选项D错误，
故选：AC.
11. 对于函数和，设，，若存在，使得，则称与互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的取值可以是（ ）
A. 2B. C. 3D. 4
【答案】ABC
【解析】
【分析】
首先确定函数的零点，然后结合新定义的知识得到关于a的等式，分离参数，结合函数的单调性确定实数的取值范围即可.
【详解】很明显函数是R上的单调递增函数，且，据此可知，
结合“零点相邻函数”的定义可得，则，
据此可知函数在区间上存在零点，
即方程在区间上存在实数根，
整理可得：，
根据对勾函数的性质，很明显函数在区间上单调递减，在上单调递增，所以，，则函数的值域为，
据此可知实数的取值范围是.
故选：ABC
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
12. 定义在上的奇函数，满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的单调增区间为和
B. 方程的所有实数根之和为
C. 方程有两个不相等的实数根
D. 当时，的最小值为2，则
【答案】AD
【解析】
【分析】由已知函数的奇偶性及函数解析式作出函数图象，逐一分析四个选项得答案.
【详解】是定义在上奇函数，且，作出函数的图象如图
由图可知，函数的单调增区间为和，故A正确；
由解得.关于的方程的所有实数根之和为
故B错误；
关于的方程有3个不相等的实数根，故C错误，
由解得：，若当时，的最小值为2，则，故D正确；
故选：AD.
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 一个扇形的面积和弧长的数值都是2，则这个扇形圆心角的弧度数为______.
【答案】1
【解析】
【分析】运用扇形的弧长、面积公式计算即可.
【详解】设扇形的圆心角为，半径为，
所以，解得，
即这个扇形圆心角弧度数为.
故答案为：1.
14. 已知，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据诱导公式求得正确答案.
【详解】
.
故答案为：
15. 设，，若，且不等式恒成立，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】首先根据已知条件得到，然后结合基本不等式即可求得最小值，再解关于的一元二次不等式即可求得的取值范围.
【详解】因为，，，所以，
则，
当且仅当时，即时取等号，
所以，
解得.
故答案为：
16. 函数，若对于任意，，当时，都有，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】首先将不等式变形，并构造函数，讨论的正负，结合函数在区间的单调性，求实数的取值范围.
【详解】∵对于任意，当时，都有，
∴，令，则在上单调递增，
又∵，当时，满足题目条件，此时；
当时，，时，，当时，等号成立，根据对勾函数单调性可知，有，∴，
综上可知，.
故答案为：．
四、解答题（本题共6小题，共70分.第17题10分其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 求值：
（1）；
（2）已知钝角满足，求的值.
【答案】（1）124 （2）2
【解析】
【分析】（1）利用对数运算性质及指数幂运算法则进行计算即可;
（2）根据条件求得的值后，所求分子分母同时除以即可求解.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
因为，
解得或，
又为钝角，所以，
则.
18. 已知集合，.
（1）求集合；
（2）命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解分式不等式即可.
（2）将问题转化为集合的包含关系求解即可.
【小问1详解】
因为，
所以，解得.
故.
【小问2详解】
由题意知，，，
所以是的真子集，
所以，解得.
故a的取值范围为.
19. 2022年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，目前的新冠病毒是奥密克戎变异株，其特点是：毒力显著减弱，但传染性很强，绝大多数人感染后表现为无症状或轻症，重症病例很少，长期一段时间以来全国没有一例死亡病例．某科研机构对奥密克戎变异株在特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记录，用x表示经过的单位时间数，用y表示奥密克戎变异株感染人数，得到如下观测数据：
若奥密克戎变异株的感染人数y与经过个单位时间T的关系有两个函数模型与可供选择．
（参考数据：，，，）
（1）判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
（2）求至少经过多少个单位时间该病毒的感染人数不少于1万人．
【答案】（1），
（2）11个
【解析】
【分析】（1）利用已知的三对数据代入函数模型进行验证得出结果；
（2）根据指对互化以及对数运算求得结果.
【小问1详解】
若选，将，和，代入得，解得
得，代入有，不合题意．
若选，将，和，代入得，
解得，得．代入有，符合题意．
【小问2详解】
设至少需要x个单位时间，则，即，
则，又，，
，∵，
∴x的最小值为11，即至少经过11个单位时间不少于1万人．
20. 已知函数的最小正周期为,且.
（1）求函数的解析式并分别写出取最大值与最小值时相应的取值集合；
（2）求函数,的单调递减区间.
【答案】20.
当取得最小值时,的取值集合为
当取得最大值时,的取值集合为
21. 和
【解析】
【分析】(1)根据正弦型函数的最小正周期公式，代入运算得结合,求得从而可得再根据正弦型函数的最值性质即可求解.
(2)由(1)得根据正弦型函数的单调性性质即可求解.
【小问1详解】
的最小正周期为,又
当即时,取得最小值
此时的取值集合为
当即时,取得最大值
此时的取值集合为
【小问2详解】
依题意
若单调递减,则
即
令得其单调递减区间为和
21. 已知二次函数只能同时满足下列三个条件中的两个：
①的解集为；
②的最小值为；
③在区间上是增函数．
（1）请写出满足题意的两个条件的序号，并求出，，的值；
（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）求关于的不等式的解集．
【答案】（1）
（2）
（3）答案见详解
【解析】
【分析】（1）对①根据三个二次之间的关系分析运算；对②：根据二次函数的最值分析列式；对③：根据二次函数的对称性分析列式；结合题意可得应满足①②，运算求解；（2）根据题意参变分离可得当时恒成立，结合基本不等式运算求解；（3）根据一元二次不等式的解法分类讨论两根大小，运算求解.
【小问1详解】
对①：若的解集为，即的解集为，则，可得；
对②：若的最小值为，则；
对③：在区间上是增函数，且的对称轴为，则；
故应满足①②：则，且，解得，
故.
小问2详解】
由（1）可得，
∵当时，不等式恒成立，即，
∴当时恒成立，
又∵，当且仅当，即时等号成立，
∴，即，
故实数的取值范围为.
【小问3详解】
∵，即，则，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为R；
当时，不等式的解集为.
22. 设函数.
（1）证明函数在上是增函数；
（2）若，是否存在常数，，，使函数在上的值域为，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）详见解析；
（2）不存在，理由详见解析.
【解析】
【分析】（1）利用函数单调性定义证明；
（2）由（1）结合复合函数的单调性得到在上是增函数，从而有，转化为m，n是方程的两个不同的正根求解.
小问1详解】
证明：任取，且，
则，
因为，则，因为，则，
所以，即，
所以函数在上是增函数；
【小问2详解】
由（1）知：在上是增函数，又，
由复合函数的单调性知在上是增函数，
假设存在常数，，，使函数在上的值域为，
所以，即，
则m，n是方程的两个不同的正根，
则m，n是方程的两个不同的正根，
设，则有两个大于1的不等根，
设，
因为，，
所以方程有一个大于0，一个小于0的根，
所以不存在两个大于1的不等根，
则不存在常数，，满足条件.1
2
3
4
5
6
…
(人数)
…
6
…
36
…
216
…