江西省赣州市十三校2025-2026学年高二上学期期中联考试题 数学 Word版含解析含答案解析

这是一份江西省赣州市十三校2025-2026学年高二上学期期中联考试题 数学 Word版含解析含答案解析，共16页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一项符合题目要求）
1．直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D.0
2．已知圆与圆，则两圆的位置关系是（ ）
A．内含 B．外切 C．相交 D．外离
3．已知直线与直线平行，则实数的值为（ ）
A．-1 B.2 C．-1或2 D.1或-2
4．已知点，在轴上求一点，使最小，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．已知是椭圆的左、右焦点，经过的直线与椭圆相交于两点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知为抛物线的焦点，的三个顶点都在上，且为的重心．若的最大值为10，则（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
7．已知正方形的边长为2，现将沿对角线翻折，得到三棱锥．记AC、BC、AD的中点分别为O、M、N，则下列结论错误的是（ ）
A．AC上平面BOD
B．三棱锥D-ABC体积的最大值为
C．三棱锥D-ABC的外接球的表面积为定值
D．MN与平面BOD所成角的范围是
8．在天文观测中，天文学家利用圆锥曲线的光学性质分析星系光线传播．如图，从双曲线右焦点发出的模拟星系光线，经双曲线模型镜面反射后形成发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点．已知双曲线的方程为，当入射光线和反射光线（为入射点）互相垂直时，求的大小（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的焦点坐标是
B．抛物线关于轴对称
C．抛物线的准线方程为
D．抛物线的焦点到准线的距离为4
10．已知直线与圆，则下列说法正确（ ）
A．直线恒过定点
B．当直线与圆相切时，切线方程是
C．当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于
D．圆上的一点到直线的最大距离是
11．已知椭圆，我们把圆称为的蒙日圆，为原点，点在上，延长与的蒙日圆交于点，则（ ）
A．的最大值为
B．若为的中点，则的离心率的最小值为
C．过点不可能作两条互相垂直的直线都与相切
D．若点在上，则的蒙日圆面积最小为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．若圆锥的高为10，底面圆的半径为2，则这个圆锥的体积为___________．
13．已知点到点的距离比到轴的距离大3，则点的轨迹方程为___________．
14．已知双曲线的左焦点为，右焦点为，过作圆的切线，切点为，切线交双曲线右支于点，且为坐标原点，则双曲线的离心率为__________．
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
15．已知在平面直角坐标系中，圆经过点和，且圆心在直线上，直线．
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线被圆截得的弦长为，求实数的值．
16．已知抛物线的焦点为，焦点到准线的距离为5．
（1）求抛物线的标准方程及焦点的坐标；
（2）过焦点作斜率为2的直线，交抛物线于，两点，若点在抛物线上，求的面积．
17．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD底面ABCD，E是PC的中点，点F在棱BP上，且EFBP，四边形ABCD为正方形，PD=CD=2．
（1）证明：：
（2）求点到平面的距离．
18．已知椭圆分别是左、右焦点，是椭圆上点，的最大值为3，当为椭圆上顶点时，为等边三角形．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设、分别是椭圆的左、右顶点，若直线与交于点、，且．证明：直线过定点．
19．已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比为常数．其中，且，记点的轨迹为曲线．
（1）求C的方程，并说明轨迹的形状；
（2）设点，若曲线上两动点均在轴上方，，且与相交于点．
①当时，求证：的值及的周长均为定值；
②当时，记的面积为，其内切圆半径为，试探究是否存在常数，使得恒成立？若存在，求（用表示）；若不存在，请说明理由．

1.答案：B
直线倾斜角与斜率的关系
解析：直线方程化为斜截式：，斜率。
倾斜角满足，且。
因，故倾斜角为。
2. 答案：C（相交）
两圆位置关系的判断（圆心距与半径的关系）
解析：求圆心与半径：圆圆心、半径；圆圆心、半径。
计算圆心距：。
判断位置：因，故两圆相交。
3. 答案：A（-1）
两直线平行的充要条件且
解析：化简直线：直线:化为；直线。
列平行条件：（斜率相等），且（截距不等）。
求解验证：解得（代入满足截距不等），不满足斜率相等，故答案为 - 1。
4. 答案：A
轴对称求最短路径（两点之间线段最短）
解析：找对称点：作关于 x 轴的对称点。
求直线方程：直线的斜率，方程为。
求交点 P：令，解得，故。
5. 答案：C
椭圆定义与直角三角形性质
解析：判断三角形形状：，满足，故。
用椭圆定义求a：，，两式相加得。
求a与c：因，故，；，在中，
，。计算离心率：。
6. 答案：D
抛物线定义与重心性质
解析：抛物线基本量：焦点，准线，由定义得，。
重心性质：设，，，重心纵坐标，故。
求最大值：，当（抛物线最低点）时，最大值为。
解方程：，得。
7．D
【详解】对于A中，因为为正方形，可得，
又由，且平面，所以平面，所以A正确；
对于B中，当平面平面时，此时到平面的距离最大，
即三棱锥高的最大值为，
此时三棱锥的最大体积为，所以B正确；
对于C中，由，所以三棱锥外接球的球心为，
即外接球的半径，所以三棱锥外接球的表面积为（定值），
所以C正确；
对于D中，如图所示，取的中点，分别连接，
因为分别为中点，可得且，
所以平面平面，
又因为平面，所以平面，
因为，所以平面，
所以即为直线与平面所成的角，
在折叠过程中，设的长度为，则
由为的中点，所以，
在直角中，可得，
所以的取值范围为，即与平面所成的角的范围为，
所以D错误.
故选：D.
8．B
【详解】由得：，，．
设，则．
所以，解得（舍去），
所以，，
，
所以．
故选：B．
9．AC
【详解】因为抛物线与抛物线关于轴对称，
所以抛物线的方程为，
则抛物线的焦点坐标是，准线方程为，故A、C正确；
抛物线关于轴对称，故B错误；
抛物线的焦点到准线的距离为，故D错误.
故选：AC
10．ABD
【详解】对于A，将直线转化为，
由，解得，直线恒过定点，A正确；
对于B，圆，可得圆心，半径，
由直线与圆相切，可得圆心C到直线l的距离，
即，解得，
故切线方程为，即，B正确；
对于C，当时，直线，
点到此直线距离为，
因此圆上恰有四个点到直线的距离等于，C错误；
对于D，因为直线恒过定点，可得，
当时，圆心C到直线l的距离最大，且最大值为，
所以圆上的点到直线的最大距离为，D正确.
故选：ABD.
11．ABD
【详解】对于A，因为圆的圆心为，半径为，
又椭圆，所以，
所以，故A正确；
对于B，若为的中点，则，
则，故，B正确；
对于C，取，则直线，互相垂直，且都与相切，C错误；
对于D，因为点在上，所以，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以的蒙日圆面积最小为，D正确.
故选：ABD.
12．
【详解】因圆锥的底面半径为2、高为，则其体积为.
故答案为：.
13. 答案：或
解析：设，列条件：。
分类讨论：
当：平方化简得；
当：平方化简得。
14. 答案：
双曲线性质、向量运算、圆的切线性质
解析：切线性质：，，，得T点坐标。
向量运算：，得,。
代入双曲线：化简得，解得（舍）或，故
15. （12 分）
圆的标准方程、直线与圆的弦长公式
解析：求圆 C 的标准方程：
(1)设圆心（在直线上），由得。
解得，圆心，半径，圆方程为。
(2)求实数k的值：弦长，圆心到直线距离。
直线，，解得。
16. 抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系
解析：求抛物线方程与焦点：
(1)焦点到准线距离，方程，焦点。
(2)求的面积（假设P为抛物线顶点：
直线l：，代入抛物线得。
弦长。
点P到直线距离，面积
17. 17．(1)证明见解析(2)
（1）先证平面，再证平面，即可证；
（2）由可求；
【详解】（1）证明：因为底面，底面，所以，
因为四边形为正方形，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，
在中，因为，是的中点，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以．
（2）连接交于点，如图所示：
则，又因为底面，平面，所以，
因为，平面，所以平面，则点到平面的距离为，因为是的中点，所以，
因为底面正方形边长为，所以，，
所以，，
所以，
，所以．
在中，满足，有，
所以，
设点到平面的距离为，
由可得
18. (1)椭圆的标准方程为
(2)（）证明见解析；（）面积的最大值为
【详解】（1）根据题意作图如下：
由题意得，所以，
因为，所以椭圆的标准方程为.
（2）（）证明：法一：由（1）可知，
设直线的斜率为，则直线的斜率为，设，
则直线的方程为，直线的方程为，
联立，化简得，
因为，所以，即，
联立，化简得，
因为，所以，即，
则，
所以直线的方程为，整理得，
所以直线过定点，即右焦点.
法二：设，又由（1）知，
所以，
则有，
又，则，代入上式可得.
又因为，所以.
设直线的方程为，
联立，得，
所以，且
所以，
由，
化简得且，
即，解得或（舍），
所以直线过定点，即右焦点；
19．(1)答案见解析
(2)① 证明见解析；②存在；
【详解】（1）设点，由题意可知，
即，
经化简，得的方程为，
当时，曲线是焦点在轴上的椭圆；
当时，曲线是焦点在轴上的双曲线．
（2）设点，其中且，
（ⅰ）由（1）可知的方程为，
因为，所以，
因此，三点共线，且，
（法一）设直线的方程为，联立的方程，得，
则，
由（1）可知，
所以
，
所以为定值1；
（法二）设，则有，解得，
同理由，解得，
所以，
所以为定值1；
由椭圆定义，得，
，
解得，同理可得，
所以
．
因为，所以的周长为定值．
（ⅱ）当时，曲线的方程为，轨迹为双曲线，
根据（ⅰ）的证明，同理可得三点共线，且，
（法一）设直线的方程为，联立的方程，
得，
，（*）
因为，
所以
，
将（*）代入上式，化简得，
（法二）设，依条件有，解得，
同理由，解得，
所以．
由双曲线的定义，得，
根据，解得，
同理根据，解得，
所以
，
由内切圆性质可知，，
当时，（常数）．
因此，存在常数使得恒成立，且．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
A
A
C
D
D
B
AC
ABD
题号
11









答案
ABD