江西省赣州市2025-2026学年高二上学期10月联考试题 数学 Word版含解析含答案解析

这是一份江西省赣州市2025-2026学年高二上学期10月联考试题 数学 Word版含解析含答案解析，共10页。试卷主要包含了 考生必须保持答题卡的整洁， 圆 O 1 ， 设直线 l1 ， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
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江西赣州市2025—2026学年高二年级10月 联考
数 学 试 卷
试卷共 4 页，19 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项：
1 . 考查范围：必修第二册第六章占 20% , 选择性必修第一册第一章占 80% 。
2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。
3 . 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡交回。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的．
1 . 直线 4x-4\y+1 = 0 的倾斜角为
2. 坐标原点 O 到直线 x+y-\ = 0 的距离为
3. 若直线 x+3y- 2= 0 平分圆(x-a) 2 +(y- 2) 2 = 1 的周长，则 a =
A . 4 B . 2 C . 1 D . - 4
4. 已知圆 C1 :x2 +y2 = 1 与圆 C2 :x2 - 2√3 ax+y2 - 2ay- 1= 0(a≠0) 交于 A , B 两点，则直线 AB 的一般式
方程为
5. 圆 O 1 :x2 +y2 = 与圆 O2 : 的公切线条数为
A . 0 B . 2 C . 3 D . 4
6. 设直线 l1 :x-2y+3= 0 与直线 l2 :( m+1)x-( m2 +2)y+ 3m - 1 = 0 的方向向量共线，则 l1 与 l2 之间的 距离为
A . B . 或 C . 或 D .
7. 中国古代的建筑形式多样，如赫赫有名的苏州园林（如图 1) , 其几何模型可以简化为如图 2 所示 的几何体，其中ABCD-A 1 B1 C1 D1 是长方体，且 AB= 6 , BC= BB1 = 4 , A 1 B1 C1 D1 -A2 B2 C2 D2 是棱台，侧 面的梯形均为等腰梯形，A2 B2 = 3 , 棱台的高为 2 , 则该几何体的表面积为
D2 C2
C1
A2
I
I
I
- - - - - - - - - - - - - - - - - - -
C
,, , D
,'
A B
图 1 图 2
A . 110+9\ B . 119+9\ C . 125+9\ D . 149+9\
8. 在平面直角坐标系 xOy 中，P(3 , 4) , Q(1 , 1) , 则∠POQ 平分线的方程为
A . y = x B . y = x C . y = x D . y = x
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全 部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 下列说法正确的是
A . 任意一条直线的倾斜角都存在
B . 倾斜角为钝角的直线必过第三象限 C . 两条平行的直线一定有相等的斜率
D . 若直线 l 的斜率为负数，则其倾斜角为钝角
10. 在正方体 ABCD-A 1 B1 C1 D1 中，M , N 分别为 BC , CD 的中点，点 P 是 D1 M 上靠近点 M 的三等分 点，则
A . M , N , B1 , D1 四点共面
B . A 1 , P , C 三点共线
C . 异面直线 B1 M 与 AA 1 所成角的正弦值为
D . 直线 A 1 P 与底面 ABCD 所成角的正弦值为
11 . 已知直线 l:ax+by = ab(ab>0)与圆 C:(x- 1) 2 +(y+1) 2 = 4 , 则
A . l 截 C 的弦长可能为 4 B . l 截 C 的弦长不可能为 3
C . 当 ab2 时，l 可能与 C 相切
A1
' : B1
·· D1
高二数学 第 1 页（共 4 页） 高二数学 第 2 页（共 4 页）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知直线 l 在 y 轴上的截距为 m ( m≠0) , 且 l 过点 A( m , m)，则 l 的斜率为 ．
13. 过( - 1 , 0) , (3 , 0) , (0 , 2)三点的圆的标准方程为 ．
14. 在三棱锥 P-ABC 中，PA⊥平面 ABC , AB⊥BC , PA= AB= BC= 2 , M , N 分别为 PA , AB 的中点，平面 α过点 M 且平行于平面 PNC , 则 α截三棱锥 P-ABC 所得截面图形的形状为 ，截面图形 的周长为 ．（第一空 2 分，第二空 3 分）
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. ( 13 分）如图，在△ABC 中，AC⊥BC ,AB = \5 , BC= 2 , 将△ABC 沿 AC 旋转至△PAC , 使得 PB= 2\．
(1)求点 A 到平面 PBC 的距离；
(2)求二面角 A -BP- C 的余弦值．
P
C
B
A
16. ( 15 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1 :x-my+ 1 = 0 过定点 A , 直线 l2 : mx+y- m - 1 = 0 过定 点 B , l1 与 l2 交于点 P.
(1)求 AB ;
(2)求△PAB 面积的最大值．
17. (15 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1 , 2) , B(5 , 0) .
(1)若两个分别以 A , B 为圆心的圆相切，设其半径分别为 r1 , r2 , 讨论 r1 , r2 满足的等量关系；
(2)若圆心为 P(a , b)的圆经过 A , B 两点，求圆 P 的方程．（结果用含 a 的式子表示）
18. (17 分）过点 M( - 2 , 0)的直线 l 与圆 O :x2 +y2 = 1 交于 A , B 两点，分别在 A , B 处作圆 O 的切线， 这两条切线相交于点 N.
(1)当 NA⊥NB 时，求 sin∠BMO 的值；
(2)当 l 的斜率为时，求△OAB 的面积；
(3)当 MN = 2 时，求△NAB 的外接圆的周长．
19. (17 分）设圆 M:(x-3) 2 +(y- 4) 2 = 25 , 直线 l:( m+1)x+(2m+1)y = 7m+4.
(1)证明：l 始终与圆 M 相交；
(2)设 l 与圆 M 交于 A , B 两点．
(i)求过 A , B , 且半径为 5 的圆的圆心 N 到原点 O 的距离的最值；
—→ —→
(ii)证明：存在唯一的定点 P , 使 PA ·PB 为定值，并求出该定值．江西赣州市2025—2026 学年高二年级 10 月 月考
数学参考答案及评分细则
1 .【答案】A
【解析】设该直线的倾斜角为 α, 其斜率 k = = = tan α, 由 α∈ [0 , π)可知 α= 故选 A .
7.【答案】C
【解析】先求下半部分，表面积为 6×4×3+ 4×4×2 = 104. 再求上半部分，上长方形的面积为 3×2= 6. 前后两部分的 梯形的高为则这两个梯形的面积之和为(6+3) ×\××2= 9\．左右两部分的梯形的 高为则这两个梯形的面积之和为(4+ 2) ×××2= 15 , 因此总表面积为 125+ 9\．故 选C.
8.【答案】C
【解析】设直线 OQ 的倾斜角为 α, 直线 OP 的倾斜角为 β,则 tan α= 1 , tan β= , 易得∠POQ 平分线的倾斜角为
α+α= β,且 tan(α+β) = 1tEQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 7(ｎ),ｔ)aEQ \* jc3 \* hps41 \\al(\s\up 6(α),ｎ)EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 7(ａｎ),ｔａ)nEQ \* jc3 \* hps41 \\al(\s\up 6(β),β)= -7 , 故 tan(α+β) = β= -7 , 解得 tan β= 或 tan β=
（舍去），故∠POQ 平分线的方程为 y = x. 故选 C .
12.【答案】1
易得 l 过点故直线 l 的斜率 k = = 1
13.【答案】(x- 1) 2 + (y 2 =
2
2 = r
【解析】不妨设圆的标准方程为(x-a) 2 +(y-b)
(x- 1) 2 + (y 2 = .
2 = r
2 r
,
2 r
,
[( - 1 -a) 2 +b2 , 由{| (3 -a) 2 +b2 = a2 +(2-b) 2 =
[a = 1 ,
|
| b = 1
可解得{ 4 , 于是圆的标准方程为 |
lr = 16 ,
| 2 65
14.【答案】三角形 \＋\（第一空 2 分，第二空 3 分）
【解析】如图，取 AN 的中点 E ,AC 的中点 D , 连接 DE , ME , MD. 显然 DE∥NC , 而 NCC平面 PNC , DE丈平面 PNC , 故 DE∥平面 PNC , 同理可得 ME∥平面 PNC , 而 ME∩DE = E , MEC平面 MDE , DEC平面 MDE , 故平面 MDE∥平面 PNC , 故所截得图形为三角形．易知△MDE ∽ △PCN, 且相似比为 1 :2 , 易解得 PN= NC =\，PC= 2\，故△MDE 的
周长为\＋\．
P
M
A
·· ·· ··· N ..E
D
B
C
15. 解：(1)在△ABC 中，AC⊥BC , AB = \，BC= 2 , 由勾股定理可得 AC= 1 , ( 1 分） 由旋转不改变原图形的性质，因为 AC⊥BC , 所以 AC⊥PC , (2 分）
又因为 BC∩PC= C , BC , PCC平面 PBC , (3 分）
所以 AC⊥平面 PBC , (4 分）
故点 A 到平面 PBC 的距离即 AC = 1 . (5 分）
(2)取 BP 的中点为 D , 连接 AD , DC ,
由(1)知 AC⊥平面 PBC , 又 CDC平面 PBC , 所以 AC⊥CD.
因为 BC= CP , AB= AP , 所以 CD⊥BP , AD⊥PB , (7 分） 故∠ADC 为二面角 A -BP- C 的平面角．(9 分）
在等腰三角形 PBC 中，由 PB= 2\，BC= 2 , 解得 CD= 1 , (10 分）
即二面角 A -BP- C 的余弦值为．( 13 分）
P
D
` 、、
C
B
A
【评分细则】
若考生使用其他解法作答，只要最终答案正确均酌情给分．
16. 解：(1)易得点 A( - 1 , 0) , ( 1 分）
将 l2 表示为 m (x-1)+y- 1= 0 , 易知该直线可表示为过直线 x-1= 0 与 y- 1= 0 交点的直线，(3 分） 易知交点为 B(1 , 1) , (4 分）
(2) 由 1 ·m+( -m ) ·1= 0 可知两条直线垂直，垂足为 P , 故 AP丄BP , (9 分） 故由勾股定理可知 AP 2 + BP 2 = AB 2 = 5 , ( 11 分）
故△PAB 的面积 S = l AP l l BP ≤ = , ( 13 分）
2 4 4
1 · i AP 2 + BP 2 5
当且仅当 AP = BP = 时等号成立，故△PAB 面积的最大值为．( 15 分）
【评分细则】
第二问考生不说明取等条件不扣分．
17. 解：(1) 由题知，两圆圆心距 AB = \ = 2\，(2 分）
当两圆外切时，两圆半径之和等于圆心距，即 r1 +r2 = 2\；(4 分）
当两圆内切时，两圆半径之差的绝对值等于圆心距，即 r1 -r2 = 2\．(7 分）
(2)设圆 P 的方程为(x-a) 2 +(y-b) 2 = r2 , (8 分）
因为圆 P 经过 A , B 两点，将其代入圆的方程，得
将两式相减消去 r2 , 整理得 b= 2a-5 , (12 分）
所以(1 -a) 2 +[2- (2a-5)] 2 = r2 , 解得 r2 = 5a2 - 30a+50 , (14 分）
所以圆 P 的方程为(x-a) 2 +(y- 2a+5) 2 = 5a2 - 30a+50. ( 15 分） 【评分细则】
第一问讨论内切时，若半径的等量关系未写绝对值扣 1 分．
18. 解：(1)不妨记 ON 与 AB 交于点 P , 由几何关系易知 ON⊥AB , ( 1 分） 由 NA⊥NB , OA⊥NA , OB⊥NB 可知四边形 OANB 是矩形，
由 OA = OB 可知其为正方形．(3 分）
于是 OP = OA = , 而 OM = 2 , (5 分）
(2)易得 tan∠PMO = , 由 OM = 2 可解得 OP = , (9 分） 而 PA = \＝，于是 AB = , ( 11 分）
故△OAB 的面积 S = OP AB = . (12 分）
(3)注意到 MN = MO , 而 ON⊥AB , 故 P 为 ON 的中点，易知 P 为 AB 的中点，( 13 分） 故由垂直关系和对角线关系可知四边形 OANB 是菱形，
由 OB⊥NB 可知其为正方形，且边长 OA = 1 , ( 15 分）
2 ,
故△NAB 的外接圆半径即正方形 OANB 的对角线长的一半即\
故△NAB 的外接圆的周长为\π. (17 分）
【评分细则】
若考生使用其他解法作答，只要最终答案正确均酌情给分．
19. (1)证明：圆 M:(x-3) 2 +(y-4) 2 = 25 , 其圆心 M 的坐标为(3 , 4) , 半径 r= 5 , 直线 l:( m+1)x+(2m+1)y = 7m+4 , 即 m (x+2y- 7)+(x+y-4) = 0.
联立解得 即直线 l 过定点 P0 (1 , 3) . (2 分）
由于 P0 M = \＝\＝\