安徽省安庆市怀宁县高河中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题含答案含答案解析

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别求集合，，再求它们的交集.
【详解】因为集合，
，
所以．
故选：C
2. 在下列区间中，方程的实数解所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由函数单调性以及零点存在定理即可求解.
【详解】由题意函数单调递增，且，
由零点存在定理可知方程的实数解所在的区间只能为.
故选：C.
3. 若，则“”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】若，则，所以“”不能得出“”；
若，则，所以“”不能得出“”.
综上可知，“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
4. 若正数满足，则的最大值为（ ）
A. 6B. 9C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由基本不等式求解即可.
【详解】解：因为，
所以，
当且仅当时取等号．
故选：C．
5. 下列命题的否定是真命题的是（ ）
A. 每个正方形都是平行四边形
B. 是无理数，是无理数
C. ，
D. ，关于x的方程有实数根
【答案】B
【解析】
【分析】利用相关知识，逐一分析各命题的真假性，从而得到其否定的真假性，由此得解.
【详解】对于A，显然每个正方形都是平行四边形，故该命题是真命题，
所以该命题的否定是假命题，故A错误；
对于B，当时，满足是无理数，但是有理数，故该命题是假命题，
所以该命题的否定是真命题，故B正确；
对于C，当时，满足，此时，故该命题是真命题，
所以该命题的否定是假命题，故C错误；
对于D，对于方程，有恒成立，故该命题是真命题，
所以该命题的否定是假命题，故D错误；
故选：B.
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将指数式两边同时取常用对数，然后利用对数的运算法则计算即可.
【详解】由得，
所以，
解得，
故选：A.
7. 当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约经过N年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14原有初始质量为Q，该生物体内碳14所剩质量y与死亡年数x的函数关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，结合半衰期的定义，建立指数函数模型，从而得到函数关系式.
【详解】设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为，将刚死亡生物体内碳14含量看成1个单位，
根据经过N年衰减为原来的一半，则，即，
且生物体内碳14原有初始质量为Q
所以生物体内碳14所剩质量y与死亡年数x的函数关系为
即
故选:D.
8. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，又，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意得到 在上是减函数，再根据判断.
【详解】解：是定义在上的偶函数，且在上单调递增，
在上减函数.
而，
，
，
即.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 函数，则下列选项正确的是（ ）
A. 是偶函数B. 是奇函数
C. 是偶函数D. 是奇函数
【答案】BC
【解析】
【分析】利用奇函数和偶函数的定义，判断各选项中的结论.
【详解】函数，函数定义域都是R，
，，
设，，
即，不是偶函数，A选项错误；
设，，
是奇函数，B选项正确；
设，，
是偶函数，C选项正确；
设，，
是偶函数，D选项错误.
故选：BC
10. 已知实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用幂指对函数的性质比较大小即可.
【详解】∵.
∴
即，
故项正确，选项不正确；
∵
∴，
故选项正确
故选：AC
11. 已知的解集是，则下列说法正确的是（ ）
A. 不等式的解集是
B. 的最小值是
C. 若有解，则的取值范围是或
D. 当时，的值域是，则的取值范围是
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据给定条件，可得，解不等式判断A；利用均值不等式计算判断B；利用对勾函数求范围判断C；探讨二次函数值域判断D作答.
【详解】因的解集是（，则是关于的方程的二根，且，
于是得，即，
对于A，不等式化为：，解得，故A正确；
对于B，，
当且仅当，即时取“”，故B正确；
对于C，，令，则在上单调递增，
即有，因有解，则，
解得或，故C不正确；
对于D，当时，，则，
依题意，，由得，或，因在上的最小值为，
从而得或，因此，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. _____.
【答案】
【解析】
【分析】利用对数恒等式和对数的运算法则求解.
【详解】，
，
，
，
，
，
故答案为：
13. 已知函数，若方程的实数解有3个，则实数k的取值范围是____________.
【答案】
【解析】
【分析】数形结合求解，函数的图象与直线有3个交点即可求得k的取值范围.
【详解】当时，其图象是抛物线的一部分，最小值为；
当时，，其图象是指数型函数的一部分，
的图象如图所示：
由图知函数图象与直线有3个交点时，，即实数k的取值范围是.
故答案为：.
14. 若函数在区间上为减函数，则a的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】令，分和两种情况讨论，结合二次函数的性质得到不等式组，解得即可.
【详解】解：令，则，
当时，是增函数，由在区间上为减函数，
则在上为减函数，故，即，解得；
当时，是减函数，由在区间上为减函数，
则在上为增函数，故，即，解得，
综上，的取值范围是..
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.（15题13分；16，17题15分；18，19题17分）
15 已知集合，集合．
（1）若，求；
（2）若，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，化简集合A，集合B，再根据集合的并集运算可得解；
（2）即，抓住集合A是否为空集讨论，再根据子集关系运算得解.
【小问1详解】
若，由，解得，则，
又，即等价于，解得，
则，
.
【小问2详解】
由等价于，
当时，集合，符合；
当时，由，解得，
即，又，
，解得，
综上，实数的取值范围是.
16. 已知函数．
（1）若，证明：存在，使成立；
（2）若成立；求实数m的取值范围．
【答案】（1）证明过程见答案；
（2）当时， ；当时， ．
【解析】
【分析】（1）当时，在上单调递增，由零点存在性定理证明即可；
（2）分与两种情况讨论，利用函数单调性将等价转化为解或的不等式即可．
【小问1详解】
当时，在上单调递增，
．
．
由零点存在性定理知：存在，使成立．得证．
【小问2详解】
当时，单调递增，等价于，解得．
当时，单调递减，等价于，解得．
综上：当时， ；当时， ．
17. 在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢．在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y（单位：百万个）与培养时间x（单位t小时）的关系为：
根据表格中的数据画出散点图如下：
为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系.现有以下三种函数模型供选择：①，②，③．
（1）选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；
（2）请选取表格中的两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，并预测至少培养多少个小时，细菌数量达到5百万个．
【答案】（1）,理由见解析；
（2）81
【解析】
【分析】（1）根据题意，函数解析式需满足函数在有定义，且随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢，故只有符合.
（2）可选取数据，带入即可计算出，则当时即可求出答案.
【小问1详解】
最符合实际的函数模型为①，
根据图像知函数解析式需满足函数在有定义，所以②不满足，
又随着单位体积内细菌数量增加，繁殖速度又会减慢，所以③不符合，
只有①满足，故最符合.
【小问2详解】
可选取表格中的两组数据为：，
代入得，
则，
当时，，
所以可预测至少需培养81个小时，细菌数量达到5百万个.
18. 已知函数.
（1）若为奇函数，证明：；
（2）讨论的单调性.
【答案】（1）证明见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的定义证明即可；
（2）根据单调性的定义证明的单调性.
【小问1详解】
证明：的定义域为，
对，都有，
又为奇函数，则必有，
即，
整理可得，
因为，所以，命题得证．
【小问2详解】
设，，且，
，
易知，，又在上为增函数，，可得，
当时，，为增函数；
当时，，为常函数无单调性；
当时，，为减函数．
19. 已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若对于，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据对数函数与指数函数的性质求解；
（2）由对数函数性质化简不等式，再分离参数转化为求新函数的最值，从而得参数范围．
【小问1详解】
由题意可知，即．
令，则有，解得，所以，即．
所以不等式的解集为．
【小问2详解】
由题意可知，即，
即．又，
令，，易知在上单调递减，
所以，所以，因为，，所以
故实数的取值范围为．
x
2
3
6
9
12
15
y
3.2
3.5
3.8
4
4.1
4.2