安徽省2026届高三数学上学期名校名师测评卷三期中含解析

这是一份安徽省2026届高三数学上学期名校名师测评卷三期中含解析，共27页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．集合的子集个数为（ ）
A．4B．8C．16D．32
2．若，则的最小值是（ ）
A．12B．14C．16D．20
3．在中，点在边上，且满足，则（ ）
A．B．
C．D．
4．已知平面上的三个单位向量，，，满足，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数的图象过点（0，1），且在区间上有三个极值点，则的最大值为（ ）
A．B．4C．D．
7．已知是定义在上的奇函数，，对，且，有，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知，满足时，恒成立，则时的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．是奇函数B．是偶函数
C．D．
10．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A．B．为锐角三角形
C．的面积为D．外接圆的面积为
11．已知，对任意的，都存在，使得成立，则下列选项中，可能的值是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
12．若函数与函数的图象在处有相同的切线，则 .
13．已知等差数列的前项和，则“是递减数列”是“”的 .注：从“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件”中选择一个填写.
14．已知函数，，当取得最小值时，的值是 .
四、解答题
15．在中，内角所对的边分别为，已知.
(1)求内角的大小；
(2)若，求面积的最大值.
16．已知函数是二次函数，其函数图象过点，且在轴上的截距为1，在轴上截得的线段长为.
(1)求函数的解析式；
(2)若函数满足，且在区间上的值域为，求m、n的值.
17．记的内角的对边分别为．已知，点在边上，．
(1)证明：；
(2)若，求．
18．习近平指出，倡导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态环保思想成为社会生活中的主流文化.某化工企业探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良后所排放的废气中含有的污染数量为.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为，则第次改良后所排放的废气中的污染物数量，可由函数模型（，）给出，其中是指改良工艺的次数.
(1)试求改良后的函数模型；
(2)依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过.试问：至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标？（参考数据：取）
19．已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)若，且，证明：恒成立.
参考答案
1．B
【详解】因为，若，则，
∴，，又∵，∴，
所以该集合的子集的个数为.
故选：B.
2．A
【详解】由，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
作出的图象如图所示，
即在上单调递减，上单调递增，
所以当时，取最小值，即.
故选：A.
3．C
【详解】由可得，
所以.
故选：C.
4．C
【详解】由题意可知：，平方得：，
又，，是单位向量，则，故.
故选：C.
5．A
【详解】由
两边平方得，
所以，
所以
所以．
故选：A．
6．D
【详解】由函数的图象过点，得，解得，
又，∴，；
，令导数为，得，
解得，
又，即，整理得，
又在区间上有三个极值点，需要存在三个不同的整数满足上述不等式，
当，，对应；
当，，对应；
当，，对应；
当，，对应，此时，不在区间内，
故当对应的极值点恰好位于时，，
故选：D.
7．B
【详解】对，且，有，
所以函数在上单调递增.
因为是定义在上的奇函数，，且，
所以当时，，当时，，
由奇函数性质可知，当时，，当时，，
若，则或，
则或，解得.
故选：B.
8．B
【详解】当时，令，显然是上的增函数，
且时，，时，，
故存在使得，
当时，，当时，；
令，解得，
当时，，当时，；
要使得时，恒成立，则，
可得，即，
则，
令，，则，
当，；当，；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则最小值为，所以的最小值为.
故选：B.
9．ABD
【详解】由函数的部分图象可得，
可得，又函数图象过点，可得，解得，
令，可得，所以，故D正确；
由是奇函数，故A正确；
由是偶函数，故B正确；
由，
所以，
因为函数，在上单调递减，
所以，所以，故C错误．
故选：ABD
10．ACD
【详解】对于A，由余弦定理知，因为，所以，故A正确；
对于B，由余弦定理知，所以，为钝角三角形，故B错误；
对于C，的面积，故C正确；
对于D，因为，所以外接圆的半径，
所以外接圆的面积为，故D正确.
故选：ACD.
11．ACD
【详解】∵，∴，∴，
∵对任意的，都存在，使得成立，
∴，，
∵，∴，，
在上单调递减，在上单调递增.
当时，，，，故A正确；
当时，，，故B错误；
当时，，，，故C正确；
当时，，，，故D正确.
故选：ACD.
12．1
【详解】因为，，则，，
若函数与函数的图象在处有相同的切线，
且，则，即.
故答案为：1.
13．充分不必要条件
【详解】①当是递减数列，则对，，，
当时，，当时，，，所以对，，则充分性成立；
②当等差数列为常数列时，，满足，但是此时“不是递减数列”，故必要性不成立；则“是递减数列”是“”的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要条件.
14．
【详解】，由，则得
.
∵，则，令，则原函数即为，.
方法一：，令，即，则，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
则时，，此时，由得.
方法二：，，则有
，
当且仅当，即时取等号，此时，由得.
故答案为.
15．(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理有，
因为，所以，
故，即，即，
因为，所以，
所以，即.
（2）法一：因为，即，
因为，
所以，即（当且仅当时取等），
故（当且仅当时取等），
所以当时，△ABC面积S有最大值，最大值为.
法二：由正弦定理有，
即，，
因为，所以，
当，即时，有最大值，最大值为1，
.
16．(1)或；
(2)，.
【详解】（1）设函数，又函数在y轴上的截距为1，
则，函数图象过点，所以，
设的两根为，，由在轴上截得的线段长为得：
，所以，
将代入解得：或，
所以或；
（2）因为函数满足，所以，
当时，在区间上单调递增，
所以，，即，
所以m、n是方程的两个不同实根，而方程的两根异号，不合题意；
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，且，
由，得，
于是，而，
所以，即，所以，解得，
此时，，，
当时，在区间上单调递减，所以，，
即，此方程组无实数解，
综上，，.
17．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）在中，①，
②，
联立①②得，即，
，．
（2）若，则，
又，
，
化简得：，又，即或，
若时，，
则，
若，则（舍）．
综上：．
18．(1)（）
(2)6次
【详解】（1）由题意得，，所以当时，，
即，解得，
所以（），
故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为（）.
（2）由题意可得，整理得
两边同时取常用对数，得，整理得，
将代入，可得，所以，
又因为，所以，
综上，至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.
19．(1)
(2)的单调递增区间为，单调递减区间为和；
(3)证明见解析
【详解】（1）因为，函数定义域为，
可得，此时，又，
所以曲线在处的切线方程：；
（2）由（1）知，当时，；
当或时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为和；
（3）由知，
因为，所以，
所以，
设，，所以.
设，，所以得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
当时，，又，
由函数零点存性定理知，有一个零点，且大于0，
由且知是的零点，
当时，，
故，即，