综合与实践：设计自己的运算程序 课件-2025-2026学年2024北师大版数学七年级下册教学课件

一、运算程序的设计核心思路运算程序是指：给定一个初始输入（如整数、整式），通过一系列固定的数学运算步骤（如加减乘除、幂运算、因式分解），最终得到一个确定输出的流程。设计核心原则：逻辑性：步骤清晰，每一步运算都有明确的数学依据（如基于整式乘除、幂的运算性质）；趣味性：可设计 “输入不同值，输出有规律” 的效果（如无论输入何值，最终输出固定数，或输出与输入相关的特定形式）；关联性：结合已学知识（如整式乘除、因式分解、转化策略），避免使用超纲运算；可验证性：能通过特殊值代入、代数推导验证程序的正确性。常用设计方向：方向 1：“输入整数→整式运算→输出固定数”（如 “黑洞数” 类型，无论输入何整数，最终输出 1）；方向 2：“输入整式→因式分解 / 乘除运算→输出简化整式”（如 “化简器” 类型，输入多项式，输出因式分解结果）；方向 3：“输入数对→关联运算→输出规律结果”（如输入两个数，输出其和的平方与平方和的差）。二、运算程序设计步骤（以 “整式化简运算程序” 为例）步骤 1：确定程序主题与输入输出类型主题：设计一个 “多项式乘除化简程序”，输入两个多项式（一次或二次），输出它们的乘积或商的最简形式（体现整式乘除、转化策略的应用）；输入：两个整式（限定为单项式或一次二项式，如\(2x+3\)、\(x-4\)）；输出：最简整式（合并同类项后的多项式，或因式分解形式）；核心目标：将多项式乘除转化为单项式运算，再通过合并同类项得到最简结果（应用转化策略）。步骤 2：设计具体运算步骤（分 “乘法版” 和 “除法版”）（1）乘法版程序：输入两个一次二项式，输出它们的乘积运算步骤：输入：设两个一次二项式为\(A = ax + b\)，\(B = cx + d\)（\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)为常数，\(a≠0\)，\(c≠0\)，如\(A=2x+3\)，\(B=x-4\)）；转化运算：将多项式 × 多项式转化为单项式 × 单项式（应用分配律，参考转化策略场景 1）：第一步：用\(A\)的第一项乘\(B\)的每一项：\(ax·cx + ax·d = acx² + adx\)；第二步：用\(A\)的第二项乘\(B\)的每一项：\(b·cx + b·d = bcx + bd\)；合并同类项：将上述结果相加，合并含\(x\)的一次项：\(acx² + (ad + bc)x + bd\)；输出：最简多项式（若能因式分解，可进一步输出因式分解形式，如\(2x²-5x-12=(2x+3)(x-4)\)）。（2）除法版程序：输入一个多项式（二次三项式）和一个单项式，输出商式运算步骤：输入：二次三项式\(C = mx² + nx + p\)，单项式\(D = kx\)（\(m≠0\)，\(k≠0\)，如\(C=6x³y-4x²y²+2xy\)，\(D=2xy\)）；转化运算：将多项式 ÷ 单项式转化为单项式 ÷ 单项式（应用分配律，参考转化策略场景 1）：第一步：用\(C\)的每一项分别除以\(D\)：\(\frac{mx²}{kx} + \frac{nx}{kx} + \frac{p}{kx}\)；第二步：分别计算每一组单项式除法（应用单项式除法法则）：\(\frac{m}{k}x + \frac{n}{k} + \frac{p}{kx}\)；整理结果：将系数化为最简形式（若系数为分数，保持分数形式；若有常数项，保留在最后）；输出：最简商式（如\(3x² - 2xy + 1\)）。步骤 3：用特殊案例验证程序正确性以乘法版程序为例，输入\(A=2x+3\)，\(B=x-4\)，按步骤验证：步骤 2-1：\(2x·x + 2x·(-4) = 2x² - 8x\)；步骤 2-2：\(3·x + 3·(-4) = 3x - 12\)；步骤 3：\(2x² - 8x + 3x - 12 = 2x² - 5x - 12\)；验证：用特殊值\(x=1\)代入，\(A=5\)，\(B=-3\)，乘积 = 5×(-3)=-15；代入结果\(2×1 -5×1 -12=2-5-12=-15\)，前后一致，程序正确。三、创意运算程序案例设计（“整数黑洞运算程序”）案例主题：无论输入何正整数，最终输出固定数 “1”（体现特殊化验证）运算步骤：输入：任意正整数\(n\)（如\(n=10\)、\(n=7\)）；判断与运算：若\(n\)为偶数，执行 “\(n = n ÷ 2\)”；若\(n\)为奇数，执行 “\(n = 3n + 1\)”；循环：重复步骤 2，直到\(n=1\)；输出：1。案例验证（特殊值代入）：验证 1：输入\(n=10\)（偶数）：\(10→10÷2=5\)（奇数）→\(3×5+1=16\)（偶数）→\(16÷2=8\)→\(8÷2=4\)→\(4÷2=2\)→\(2÷2=1\)（输出 1）；验证 2：输入\(n=7\)（奇数）：\(7→3×7+1=22\)（偶数）→\(22÷2=11\)（奇数）→\(3×11+1=34\)→\(34÷2=17\)→\(3×17+1=52\)→\(52÷2=26\)→\(26÷2=13\)→\(3×13+1=40\)→\(40÷2=20\)→\(20÷2=10\)→\(10÷2=5\)→\(3×5+1=16\)→\(16→8→4→2→1\)（输出 1）；结论：多次验证后，输入不同正整数均最终输出 1，程序逻辑成立（此为著名的 “角谷猜想” 简化版，体现特殊化策略的验证作用）。四、运算程序的优化与拓展1. 优化方向：增加容错性：对输入进行判断（如输入非整式时提示 “输入错误，请输入整式”；多项式除法中除数为 0 时提示 “除数不能为 0”）；提升简洁性：对输出结果进一步优化（如将\(x² - 4\)自动转化为\((x+2)(x-2)\)，应用因式分解转化策略）；拓展运算类型：加入幂运算、负指数运算（如输入\(a^{-2}b³\)，输出\(\frac{b³}{a²}\)，参考转化策略场景 4）。2. 拓展案例：“整式因式分解程序”运算步骤：输入：一个二次多项式（如\(4x² - 9y²\)、\(-x² + 6x - 9\)）；判断类型：若为 “\(□² - △²\)” 形式（如\(4x² - 9y²=(2x)²-(3y)²\)），套用平方差公式分解为\((□+△)(□-△)\)；若为 “\(□² ± 2□△ + △²\)” 形式（如\(x² - 6x + 9=(x)²-2·x·3+3²\)），套用完全平方公式分解为\((□±△)²\)；若含负号（如\(-x² + 6x - 9\)），先提取负号转化为标准形式（如\(-(x² - 6x + 9)\)），再套用公式；输出：因式分解结果（如\(-(x-3)²\)）；验证：将结果展开，与输入多项式对比（如\((2x+3y)(2x-3y)=4x²-9y²\)，与输入一致）。五、实践任务：设计属于你的运算程序任务要求：确定主题：从 “整数运算”“整式运算”“因式分解” 中选择一个方向；明确步骤：写出 3-5 步具体运算步骤，每一步标注数学依据（如 “步骤 2：应用分配律，将多项式 × 多项式转化为单项式 × 单项式”）；验证案例：用 2 个不同的输入值验证程序，记录输入、步骤、输出，确认结果正确；说明策略：指出程序设计中用到的数学策略（如转化策略、特殊化策略）。示例任务单：程序名称整式乘法化简程序输入类型两个一次二项式（如\(ax+b\)，\(cx+d\)）运算步骤1. 输入两个一次二项式；2. 应用分配律，分别用第一个多项式的每一项乘第二个多项式的每一项（转化为单项式 × 单项式）；3. 合并同类项，整理为标准二次三项式；4. 输出最简多项式。验证案例 1输入：\(2x+3\)，\(x-4\)；步骤：\(2x·x + 2x·(-4) + 3·x + 3·(-4)=2x²-8x+3x-12=2x²-5x-12\)；输出：\(2x²-5x-12\)（正确）。验证案例 2输入：\(x+2\)，\(x-2\)；步骤：\(x·x + x·(-2) + 2·x + 2·(-2)=x²-2x+2x-4=x²-4\)；输出：\(x²-4\)（正确）。用到的策略转化策略（多项式 × 多项式→单项式 × 单项式）；特殊化策略（用\(x=1\)验证结果）。六、总结设计运算程序的核心是 “将复杂流程拆解为基础步骤”，并通过数学策略（如转化、特殊化）确保逻辑正确。在实践中，你可以结合兴趣选择主题（如喜欢整数运算就设计 “黑洞程序”，喜欢整式就设计 “化简程序”），通过多次验证优化程序，最终形成既符合数学规律、又具有个人特色的运算程序。完成后，还可以与同学分享，互相测试对方的程序，进一步提升对数学运算逻辑的理解。新2024北师大版数学七年级下册【公开课精做课件】授课教师： . 班 级： . 时 间： . 用一系列图形、流程线和文字说明描述程序的基本操作和控制流程，它是程序分析和过程描述最基本的方式.程序流程图流程图的 7 种基本元素 2024 年春晚，魔术师表演的扑克牌魔术“约瑟夫环”，是数学与神奇的完美结合.小亮同学运用数学知识也设计了个魔术节目，同学想一个数，然后将这个数按以下步骤操作：小亮立刻说出同学想的那个数. 想不想知道魔术师的秘密?乘以3减去6除以3加上7告诉小亮结果活动1：任意写下一个四位数(四位数字不相同)，重新排列各位数字，使其组成一个最大的数和一个最小的数，然后用最大的数减去最小的数，得到差，重复这个过程……你得到了什么结果? 你有怎样的猜想?就用 3210－1023＝2187；8721－1278＝7443；7443－3447＝3996；9963－3699＝6264；6642－2466＝4176；7641－1467＝6174.就用 7651－1567＝6084；8640－4068＝4572；7542－2457＝5086；8650－5068＝3582；8532－2358＝6174；7641－1467＝6174.仿佛掉进了黑洞，永远出不来.例如选 1，2，3，0，例如选 7，6，5，1，四个不同的数字，最多七步必得 6174.活动 2：任意写下一个三位数，百位数字乘个位数字的积作为下一个数的百位数字，百位数字乘十位数字的积作为下一个数的十位数字，十位数字乘个位数字的积作为下一个数的个位数字. 在上面每次相乘的过程中，若积大于 9，则将积的个位数字与十位数字相加；若和仍大于 9，则继续相加直到得出一位数. 重复这个过程……你得到了什么结果? 你有怎样的猜想?326326963999例如，以 832 开始，运用以上的规则依次可以得到：766，669，999，999……如果，以 123 开始，运用以上的规则依次可以得到：326，963，999……思考1：联系两个活动，你有怎样进一步的猜想?如果可以，请你用信息科技课学过的流程图将以上用文字语言描述的运算程序表达出来，并与同伴进行交流.活动1 设计程序流程图如下：开始选一个四位数(要求各数位上的数字不相同)，如7913将各数位上的数字按从大到小排列，如9731将各数位上的数字按从小到大排列，如1379把两个数相减，如 9731-1379＝8352猜想规律结束是请同学们小组合作，设计出活动2的运算程序流程图.活动 3：请同学们设计自己的运算程序，使运算结果不超过三位数且出现循环.1. 用文字语言、流程图表达所设计的运算程序.2. 根据你设计的运算程序，会得到怎样的结果?与同伴一起验证所设计的运算程序.请以小组为单位设计程序，要求：1. 优先确定输入与输出；2. 分步骤、用文字呈现；3. 清楚设计原理并能进行分享.设计运算程序的步骤：(1) 阅读信息，明确输入与输出的限制条件；(2) 由特殊到一般，分步探究设计恰当的程序；(3) 验证程序的正确性，完善程序规则.归纳总结思考 2：对于不同的起始数字，反复运用任何一个固定的“运算程序”，由此程序产生的数字总会停留在某个数字或某几个数字上，或者以某种重复的方式循环. 你认为会这样吗? 试给出你的理由.“抽屉原理”例 根据流程图中的程序，当输入 x 的值为 －2 时，输出 y 的值为( )BA.4 B.6 C.8 D.10典例精析1.将 2023×2024×2025×2026＋1 表示成一个自然数的平方，结果是多少? 请你任意选取四个连续整数，将它们的积再加上 1，并用一个自然数的平方表示所得的结果. 你能从中发现什么规律?解：第1个算式为：1×2×3×4＋1＝(1+1×3+1)²＝5²，第2个算式为：2×3×4×5+1＝(4+2×3+1)²＝11²，第3个算式为：3×4×5×6+1＝(9+3×3+1)²＝192，......依此类推：第 n 个算式为：n(n+1)(n+2)(n+3)+1＝(n²+3n+1)²，当 n = 2023 时，2023×2024×2025×2026 +1＝(2023²+3×2023+1)².2. 输入任意一个三位数，如 325，重复该数，得到325325，将该数除以 7，然后除以 11，再除以 13，结果又回到原来输入的数. 你能解释这个现象吗?假设我们从任意一个四位数开始，如3245，我们要把它乘以多少，才能够得到 32453245? 如果任意取一个五位数呢?解：∵ 325325÷325＝1001，∴ 325325÷1001＝325.∴ 325325÷1001＝325325÷7÷11÷13＝325.对于一个四位数，∵ 32453245÷3245＝10001.∴任意一个四位数，乘以 10001，即可得到将它重复一次之后的八位数.设一个任意的五位数为 x，则重复一次得到的十位数为：100000x + x = 100001x.∴任意一个五位数乘以 100001，得到将这个五位数重复一次后的十位数.续表续表根据上述的素材，解决以下问题：续表（1）该“卡普雷卡尔黑洞数”为_____；495  153 （3）①最小的四位对称数与最大的两位对称数的和为_______；1 100 ②若将任意一个四位对称数分解为前两位数表示的数和后两位数表示的数，请你说明：这两个数的差一定能被9整除；   设计自己的运算程序1. 运算程序2. 数学本质：列代数式与代数式的运算3. 数学思想：从特殊到一般、数学抽象、数学建模4. 设计步骤必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！