安徽省亳州市部分学校2025-2026学年上学期期九年级第三次月考质量监测 数学试题

这是一份安徽省亳州市部分学校2025-2026学年上学期期九年级第三次月考质量监测 数学试题，共32页。
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 抛物线顶点坐标是（ ）
A. （2，1）B. （-2，1）C. （2，-1）D. （-2，-1）
2. 若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3. 如果，那么的值为（ ）
A. 4B. C. D.
4. 若中，锐角A、B满足，则是（ ）
A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形
5. 将二次函数化为的形式，结果为( )
A. B.
C. D.
6. 如图，在中，，．利用圆规在上截取，在上截取，点就是的黄金分割点．若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
7. 反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（ ）
A 5B. 10C. D.
8. 如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ）
A. B.
C. D.
9. 观察下列表格，求一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个近似解是（ ）
A. 0.11B. 1.6C. 1.7D. 1.19
10. 如图，的直角顶点落在正方形的边上，直角边、分别交、于点、，斜边经过点，交于点，若，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 已知线段，则线段和的比例中项为___________．
12. 已知：如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点、、、、都在小正方形的顶点上，则的值为___________．
13. 如图，平面直角坐标系中，矩形的边与函数图象交于E，F两点，且F是的中点，则四边形的面积等于_______．
14. 已知抛物线经过点两点，其中，则
（1）___________1（填“，或”）；
（2）若，则此抛物线最高点的纵坐标为___________．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）以原点为位似中心，在图中画出使它与的相似比为，并写出点的坐标．
（2）用无刻度直尺在线段上找一点，使得（不写作法，保留作图痕迹）
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间反比例函数．若给水温为的水进行加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示.
（1）在水温下降过程中，求水温关于通电时间的函数表达式；
（2）在该过程中，水温不低于的时间有多长?
18. 如图，．
（1）填空：的值为___________，的值为___________；
（2）若，求和的长．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，和的顶点重合，，．
（1）若，，求的长；
（2）连接，，求证：．
20. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且与x轴交于B，C两点，点B的坐标为．

（1）写出C点的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）若一次函数的图象经过A，B两点，观察图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
六、（本题满分12分）
21. 如下图，在中，．
（1）求的长．
（2）利用此图形求的值（结果精确到0.1，参考数据：．
七、解答题（本题满分12分）
22. 如图1，在菱形中，对角线、交于点，点在边上，连接交于点，点在边上，连接交于点，
（1）若，，求的值；
（2）如图2，若，
①求的值；
②连接，若恰好平分，且，求的值．
八、（本题满分14分）
23. 乒乓球被誉为中国国球，2025年在卡塔尔多哈举办的第58届世界乒乓球锦标赛共设置男单、女单、男双、女双及混双五个单项比赛，中国队成功获得了混双、女单、男单、女双四个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的，下面，我们尝试用学到的数学知识来进行技术分析：图①是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方的高度击球，将乒乓球向正前方击打到对面球台，若乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得如表数据：
（1）画图猜想：在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象，由此看出乒乓球的运行路线的图象近似是一条___________（填写：直线、抛物线或双曲线）；
（2）函数模拟：求满足条件的乒乓球运行路线的函数表达式；
（3）技术分析：如图②，乒乓球台长为，球网高为．假设上下调整击球高度，乒乓球（大小忽略不计）的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，为了利于有针对性的训练，请计算出的取值范围．
x
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
17
1.8
1.9
x2﹣x
0.11
0.24
0.39
0.56
0.75
0.96
1.19
1.44
1.71
水平距离
0
10
50
90
130
170
230
竖直高度
28.75
33
45
49
45
33
0
2025年九年级12月份质量监测数学试卷
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. （2，1）B. （-2，1）C. （2，-1）D. （-2，-1）
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线的顶点式可直接得到顶点坐标．
【详解】∵，
∴抛物线的顶点坐标为（-2，1），
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的顶点式的顶点坐标为（，）是解题的关键．
2. 若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象，当时图象分布在第二、四象限．本题中，函数，因此，然后解不等式即可．
【详解】解：∵图象分布在第二、四象限，
∴，
解得，
故选：C．
3. 如果，那么的值为（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了比例的性质，根据题意，设，，然后代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴不妨设，，
∴，
故选：C．
4. 若中，锐角A、B满足，则是（ ）
A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形
【答案】D
【解析】
【分析】根据非负数的性质求出和的度数，即可判断的形状．
【详解】解：∵，
∴，且，
∴，，
∴，
∴为等边三角形，
故选：D．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、三角形的分类、等边三角形的判定，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
5. 将二次函数化为的形式，结果为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的三种形式，依据题意，由二次函数为，进而可以判断得解．
【详解】解：由题意，∵二次函数为，
∴二次函数化为顶点式为．
故选：D．
6. 如图，在中，，．利用圆规在上截取，在上截取，点就是的黄金分割点．若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，尺规作图，根据勾股定理求出，再根据尺规作图求出，求出，进而可求的长．
【详解】解：∵，
∴，
根据勾股定理，得，
∵，
∴，
∴，
∴.
故选：B．
7. 反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（ ）
A. 5B. 10C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据，且，即可作答．
【详解】解：∵，
结合图象，得，
故选：A
8. 如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查相似三角形判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
根据相似三角形的判定方法一一判断即可．
【详解】解：选项A、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意；
选项B、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意；
选项C、不满足相似三角形的条件，本选项符合题意；
选项D、根据两边成比例夹角相等两三角形相似判断即可，本选项不符合题意，
故选：C．
9. 观察下列表格，求一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个近似解是（ ）
A. 0.11B. 1.6C. 1.7D. 1.19
【答案】C
【解析】
【分析】利用表格中的数据得到x=1.6时，x2-x=0.96；x=1.7时，x2-x=1.19，于是可判断一元二次方程x2-x=1.1的一个解在1.6与1.7之间，更接近1.7，故可得解．
【详解】令y＝x2﹣x，根据表格中的数据得到x=1.6时，x2-x=0.96；x=1.7时，x2-x=1.19，
∴一元二次方程x2-x=1.1的一个解为1.6＜x＜1.7，更接近1.7，
∴方程x2﹣x＝1.1的近似解为1.7．
故选C．
【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的解．
10. 如图，的直角顶点落在正方形的边上，直角边、分别交、于点、，斜边经过点，交于点，若，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点作于点，连接，则，根据正方形的性质得到，，，通过证明得到，，则有，通过证明四边形是平行四边形，得到，得出和都是等腰直角三角形，则，，再通过证明，求出和的长，进而得到的长，即可得出答案．
【详解】解：如图，过点作于点，连接，
则，
∵正方形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理、相似三角形的性质与判定，添加适当的辅助线构造相似三角形是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 已知线段，则线段和的比例中项为___________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了比例中项，线段的比例中项满足其平方等于两线段长度的乘积，根据比例中项的定义，列出式子即可得出中项，注意线段不能为负．
【详解】解：设线段的比例中项为，那么
，
解得或（舍去）
故答案为：4．
12. 已知：如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点、、、、都在小正方形的顶点上，则的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查锐角三角函数的定义，格点三角形的面积和勾股定理，掌握格点中三角形面积的计算方法是解题关键．
作，垂足为H，取格点、、，先利用网格计算出的面积，然后结合三角形面积算出高的长．用勾股定理算出和的长，根据锐角三角函数的定义计算即可．
【详解】解：如图，作，垂足为H，取格点、、，
，
由勾股定理得，，，
∵，
∴，
在直角中，，
∴．
故答案为：．
13. 如图，平面直角坐标系中，矩形的边与函数图象交于E，F两点，且F是的中点，则四边形的面积等于_______．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题．由四边形是矩形，F是的中点，可设，则，又E点在抛物线上，则．可以用含m，n的式子表示出矩形，三角形和三角形的面积．F在反比例函数的图形上可得到的关系，再依据，列式即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，F是的中点，
∴可设，则，又E点在抛物线上，则，
∵F在抛物线上，
∴，
∵，，，
∴，，，，
∴，
，
，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：6．
14. 已知抛物线经过点两点，其中，则
（1）___________1（填“，或”）；
（2）若，则此抛物线最高点的纵坐标为___________．
【答案】 ①. ②. 2
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的对称性，二次函数的最值，熟练掌握该知识点是解题的关键．
（1）先求得对称轴为，再根据抛物线经过点两点，得到，，即，从而得到，结合，即可得到；
（2）结合二次函数图象，可知，然后将，，代入，化简求出答案即可．
【详解】解：（1）∵抛物线，，
∴对称轴为直线，其开口向下，
∵抛物线经过点两点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即；
故答案为：；
（2）∵抛物线开口向下，
∴顶点为最高点，
∴，
其中，，，代入得：
，
已知，代入得：
．
故答案为：2．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂和负整数指数幂的意义，以及二次根式的乘法．
先计算特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，再计算乘法，绝对值，最后计算加减即可．
【详解】解：原式
．
16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）以原点为位似中心，在图中画出使它与的相似比为，并写出点的坐标．
（2）用无刻度直尺在线段上找一点，使得（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】（1）图见解析；
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了画位似图形，求位似图形的点的坐标，相似三角形的判定与性质，无刻度作图．
（1）利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点的横纵坐标都乘以得到点、、的坐标，然后顺次连接即可，然后写出即可；
（2）将点往右平移2格得到点，点往左平移4格得到点，然后连交于点，点为所求．此时，则，故，即．
【小问1详解】
解：如图即为所求；点；
【小问2详解】
解：如图，点即为所求；（其它方法合理即可）
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若给水温为的水进行加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示.
（1）在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式；
（2）在该过程中，水温不低于的时间有多长?
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的知识点是一次函数的图象与性质、求反比例函数的解析式、利用函数解决实际问题，解题关键是掌握反比例函数解析式的求法及利用函数解决实际问题．
（1）依题得开始加热时每分钟上升，则水温从加热到所需时间用热量差每分钟加热的温度可得加热时间为4分钟，进而得到，点在反比例函数的图象上，代入即可求得k值，从而得到反比例函数解析式；
（2）分类讨论，加热过程中水温不低于的时间+降温过程中水温不低于的时间即为加热一次水温不低于的时间，其中降温过程中水温不低于的时间利用（1）中的函数解析式即可求得．
【小问1详解】
解：开始加热时每分钟上升，
水温从加热到，所需时间为，
设水温下降过程中，y与x的函数关系式为，
由题意得，点在反比例函数图象上，
，
解得：，
水温下降过程中，y与x的函数关系式是；
【小问2详解】
解：在加热过程中，水温为时，所需时间为，
即温度都高于；
在降温过程中，水温为时，，
解得：，
即内温度都高于，
，
一个加热周期内水温不低于的时间为．
18. 如图，．
（1）填空：的值为___________，的值为___________；
（2）若，求和的长．
【答案】（1）
（2）的长分别为
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，比例的性质．
（1）根据平行线分线段成比例得到进而根据计算即可；
（2）先求出，再根据计算即可．
【小问1详解】
解：，，
∴
；
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵
∴，
，
．
故的长分别为．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，和的顶点重合，，．
（1）若，，求的长；
（2）连接，，求证：．
【答案】（1）的长为
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，角的和差关系转化，掌握三角形相似的判定方法是解题关键．
（1）先证明，再利用相似三角形对应边成比例计算的长；
（2）通过角的和差计算得到，结合第一问的相似比例，用两边成比例且夹角相等判定．
【小问1详解】
解：，，
，
，
，
．
答：的长为．
【小问2详解】
证明：，
，
，
，
，
．
20. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且与x轴交于B，C两点，点B的坐标为．

（1）写出C点的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）若一次函数的图象经过A，B两点，观察图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设出抛物线的解析式将点代入求解即可得到答案；
（2）画出一次函数，根据图象找到一次函数图象在上的部分即可得到答案
【小问1详解】
解：设二次函数的解析式为：，
∵抛物线的顶点为，且过，
∴，，，
解得：，
∴；
【小问2详解】
解：由题意可得，图象如图所示，

由图像可得：、之间直线在上二次函数在下，
∴一次函数值大于二次函数值的x的取值范围为：；
点睛】本题考查待定系数法求解析式及利用二次函数图象与一次函数图象解一元二次不等式．
六、（本题满分12分）
21. 如下图，在中，．
（1）求的长．
（2）利用此图形求的值（结果精确到0.1，参考数据：．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了锐角三角函数、含的直角三角形性质、三角形的内角和、等腰三角形的性质等知识；解决问题的关键是熟练掌握三角函数运算．
（1）过作，交的延长线于点，由含的直角三角形性质得，由三角函数求出 ，在中，由三角函数求出，即可得出结果；
（2）在边上取一点，使得，连接，求出，，即可得出结果．
【小问1详解】
解：如图，过点作，交的延长线于点．
，
，
在中
，
解得
【小问2详解】
解：如图，上截取，
则
.
七、解答题（本题满分12分）
22. 如图1，在菱形中，对角线、交于点，点在边上，连接交于点，点在边上，连接交于点，
（1）若，，求的值；
（2）如图2，若，
①求的值；
②连接，若恰好平分，且，求的值．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）结合菱形的性质，先证明，再根据菱形的性质， ，，证明，得到，从而得出答案；
（2）①先证明，再证明，推出，接着得到，即；②设，先证明，即，过点作，那么，结合角平分线的性质可知，，从而得到，即可求解．
【小问1详解】
解：在菱形中，对角线、交于点，
．
，
，
，
即．
菱形，
，，
，
，
即，
，
．
【小问2详解】
解：①，
，
∴，
菱形，
，
，
，
∴，
∵在菱形中，对角线、交于点，
．
，即．
②在菱形中，对角线、交于点，
，即，
又恰好平分，且，
设，
则中，，
中，，
，
，即．
由①可知，，
，即，
过点作，如图所示：
，
又恰好平分，
，
，即．
【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，三角形的面积，比例的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
八、（本题满分14分）
23. 乒乓球被誉为中国国球，2025年在卡塔尔多哈举办的第58届世界乒乓球锦标赛共设置男单、女单、男双、女双及混双五个单项比赛，中国队成功获得了混双、女单、男单、女双四个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的，下面，我们尝试用学到的数学知识来进行技术分析：图①是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方的高度击球，将乒乓球向正前方击打到对面球台，若乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得如表数据：
（1）画图猜想：在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象，由此看出乒乓球的运行路线的图象近似是一条___________（填写：直线、抛物线或双曲线）；
（2）函数模拟：求满足条件的乒乓球运行路线的函数表达式；
（3）技术分析：如图②，乒乓球台长为，球网高为．假设上下调整击球高度，乒乓球（大小忽略不计）的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，为了利于有针对性的训练，请计算出的取值范围．
【答案】（1）所作图形见解析；抛物线
（2）
（3）击球高度的取值范围为
【解析】
【分析】本题考查了二次函数综合应用，涉及画函数图像，求解析式和抛物线的平移的应用，解题关键在于熟练掌握二次函数的图像及性质．
（1）根据表格描点，然后用平滑的曲线顺次连接，画出图像，进而可判断其图象的性质；
（2）根据表格确定对称轴，进而确定顶点坐标，然后设顶点式的解析式，根据待定系数法求解即可；
（3）当时，抛物线的解析式为，设击球高度的值为，即将原抛物线平移，平移距离为，然后表示出平移后的解析式，再根据平移后恰好经过点和点，分别求得对应的值即可．
【小问1详解】
解：描出各点，图象如下图即为所求：
由图可知，乒乓球的运行路线近似是一条抛物线；
故答案为：抛物线；
【小问2详解】
解：观察表格数据，可知当和时，函数值相等，
对称轴为直线，
∴顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
将代入，得，
解得，
抛物线解析式为；
【小问3详解】
解：当时，抛物线的解析式为，
设击球高度的值为，即将原抛物线平移，平移距离为，
则平移后的抛物线的解析式为，
当乒乓球恰好落在对面球台边缘点处时，即平移后抛物线经过点，
代入解析式，得，
解得；
当乒乓球刚过球网时，即平移后抛物线经过点，
，球网高为，
，
代入解析式，得
解得；
答：为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，击球高度的取值范围为．x
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
x2﹣x
0.11
0.24
0.39
0.56
0.75
0.96
1.19
1.44
1.71
水平距离
0
10
50
90
130
170
230
竖直高度
28.75
33
45
49
45
33
0