2025-2026 学年广州市五中八年级上学期12月数学月考试卷（含答案）

这是一份2025-2026 学年广州市五中八年级上学期12月数学月考试卷（含答案），共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每题 4 分，共 40 分）
下列图案中不．是．轴对称图形的是（ ）
B．C．D．
下列长度地三条线段能组成三角形的是（）
5、6、7B．5、6、11C．3、4、8D．4a、4a、8a 3．如图，△ABC≌△BAD，A 和 B．C 和 D 分别是对应顶点，若 AB＝6cm，
AC＝5cm，BC＝4cm，则 AD 的长为 （ ）
A．6cmB．5cmC．4cmD．以上都不对
xy
如果把分式 x  y
中的 x ， y 同时变为原来的 4 倍，那么该分式的值（ ）
不变B．变为原来的 4 倍 C．变为原来的 1
2
D．变为原来的 1
4
如图， 已知 AB  AE ， B  E ， 下列条件中不能判定△ABC ≌△AED 的是（ ）
BC  ED
C． AC  AD
B． BAD  EAC
D． BAC  EAD
如图，在ABC 中， AD 是边 BC 上的中线，△ABD 的周长比 ACD 的周长多3cm ．若 AB  10cm ，则 AC 的长为（）
5cmB． 6cmC． 8cmD． 7cm
下列运算不正确的是（ ）
A． 6a6b3  2a3b2  3a3b
C． 3ab3 2  6a2b6
B． 2a2b  a3b2  2a5b3
D． a2b3  ab2   ab2  ab 1
2
若分式 x  1 的值为 0，则 x 的值为（）．
x  1
A．0B．1C．﹣1D．±1
李明喜欢密码编译，在他的密码手册中，有这样一条信息：x  y ，a  b ，x2  y2 ，4，x  y ，
a  b 分别对应下列六个字：国，爱，美，我，中，丽，现将4a x2  y 2  4b x2  y 2  因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
美丽中国B．我爱中国C．我爱美D．我爱美丽10．如图，在Rt△ABC 中， ACB  90 ， AC  6 ， BC  8 ， AB  10 ．
如果点 D、E 分别为边 BC 、AB 上的动点，那么 AD  DE 的最小值是（）
A．8B．9.6C．10D．10.8
二、填空题（每题 4 分，共 24 分）
11．人体中红细胞的直径约为 0.00007m，数据 0.00007 用科学记数法表示为．
12．计算：（1﹣π）0+（ 1 ）﹣1＝．
2
如图，△ABC≌△ADE，点 E 在 BC 上，若∠C＝80°，则∠DEB＝⁰．
已知点 M (1, 2) 关于 y 轴对称的点的坐标为．
重心是一个物体受力的平衡点，在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为 S1 ， S2 ，重心分
别为 M
 x ，y  ， M
 x ，y ，原图形的重心坐标为 M  x，y ，则有 x  x1S1  x2 S2 ，
111
222
S  S
12
y  y1S1  y2 S2 ．如图，若 AF  2 ， AB  5 ， BC  6 ， CD  2 ，以点 B 为坐标原点，“1”为
S1  S2
一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”形的重心坐标为．
16.如图， BAC  ABC  ADC  45 ， ACD 0  90，连接 BD ．给出下列四个结论：
①当 20时， BCE  70 ；
②当DAC  2ACD 时， BD 平分 AC ；
③点 P 为直线 DE 上一点，当 PA  PB 最小时， CAP  45 ；
④若CD  9 ，  ACD 的面积为 18，则△BCD 的面积为 45 ；
2
其中正确的是．( 填写所有正确结论的序号)
三、解答题（共 9 大题，共 86 分）
17．（8 分）分解因式及解方程
(1)分解因式： 2a2  8
3 - x1
(2)解方程：=
4 + x2
18．（6 分）已知：如图， E ， F 为线段 AC 上两点，
D  B ， 1  2 ， AE  CF ． 求证： AD  CB ．
19．（6 分）先化简，再求值： a  ba  b  a  b2 ．其中a  0.5 ， b  2 ．
20．（8 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°．
）
尺规作图：作∠B 的平分线 BD 交 AC 于点 D；（不写作法，保留作图痕迹
若 DC＝2，求 AC 的长．
21．（10 分）先化简：(1 1
m 
m2  4m  4
1
m
m
) 2
，再从﹣1≤m≤2 中选取合适的整数代入求值．
22.（10 分）如图，每一个小正方形的边长为 m．
画出格点△ABC 关于直线 DE 对称的ABC；
在 DE 上画出点 Q，使| QA  QB |的值最大，并说明理由．
23．（10 分）如图，在四边形 ABCD 中，AB  AD ，CB  CD ，点 E 为 AD 上一点，连接 BD ，
CE 交于点 F ， CE ∥ AB ．
若△ABD 为等边三角形，请判断DEF 的形状，并说明理由：
在（1）的条件下，若 AD  12 ， CE  9 ，求CF 的长．
24.（14 分）阅读材料：对于非零实数 a，b，若关于 x 的分式
 x  a x  b
x
的值为零，则解
得 x1＝a，x2＝b．又因为
(x  a)(x  b)
x 2  (a  b)x  abab
 x﹣（a+b），所以关于 x 的
xxx
方程：x+ ab ＝a+b 的解为 x1＝a，x2＝b．
x
理解应用：方程
x2  22
 3 的解为：x1＝，x2＝；
x3
知识迁移：若关于 x 的方程 x+ 3 ＝5 的解为 x1＝a，x2＝b，求 a2+b2 的值；
x
拓展提升：若关于 x 的方程 4
x 1
＝k﹣x 的解为 x1＝t+1，x2＝t2+2，求 k2﹣4k+2t3 的值．
25．（14 分）已知△ABC 为等边三角形，边长为 8，点 D，E 分别是边 AB，BC 上的动点，以 DE 为边作等边三角形 DEF．
如图 1，若点 F 落在边 AC 上．
①求证：AD＝BE；
②当△BDE 为直角三角形时，求 BE 的长．
如图 2，当 AD＝2BE 时，点 G 为 BC 边的中点，求 GF 的最小值．
《2025 学年第一学期第 18 周初二级数学练习》参考答案
1．C
【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，故此选项不合题意；
是轴对称图形，故此选项不合题意； C．不是轴对称图形，故此选项符合题意； D．是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选：C．
【点睛】本题考查轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够 互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
2．A
【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断．
【详解】解：A、5＋6＝11＞7，能组成三角形，故 A 正确；
B、5＋6＝11，不能组成三角形，故 B 错误；
C、3＋4＝7＜8，不能组成三角形，故 C 错误； D、4a+4a=8a，不能够组成三角形，故 D 错误． 故选：A．
【点睛】本题主要考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最 长的那条线段就能够组成三角形．
3．C
【分析】由已知可知 AD 和 BC 是对应边，根据全等三角形的对应边相等即可求解．
【详解】解：∵△ABC≌△BAD，A 和 B，C 和 D 分别是对应顶点，
∴BC 与 AD 是对应边，
∴AD=BC=4cm． 故选 C．
【点睛】本题考查全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，根据已知条件正确确定对 应边是解题的关键．
4．B
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
C
B
C
D
C
B
B
B
【分析】此题主要考查了分式的基本性质，正确化简分式是解题关键．直接利用分式的性质 化简得出答案．
【详解】解：把分式中的 x 和 y 都扩大为原来的 4 倍，
4x  4 y
则原式可变为：
 16xy  4xy ，
4x  4 y
4 x  yx  y
故分式的值扩大为原来的 4 倍． 故选：B．
5．C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据题意有一组边和一组角对应相等，结 合全等三角形的判定定理（ SSS，SAS，AAS，ASA，HL ）逐一判断即可．
【详解】解：添加条件 BC  ED ，结合条件 AB  AE ， B  E ，可以利用SAS 证明
△ABC ≌△AED ，故 A 不符合题意；
添加条件BAD  EAC ，则BAD  CAD  EAC  CAD ，即BAC  EAD ，结合条件
AB  AE ， B  E ，可以利用ASA 证明△ABC ≌△AED ，故 B 不符合题意；
添加条件 AC  AD ，结合条件 AB  AE ，B  E ，不可以利用SSA 证明△ABC ≌△AED ， 故 C 符合题意；
添加条件BAC  EAD ，结合条件 AB  AE ， B  E ，可以利用ASA 证明
△ABC ≌△AED ，故 D 不符合题意； 故选：C．
6．D
【分析】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形 的中线．根据三角形的中线的概念得到 BD＝DC，再根据三角形周长公式计算即可．
【详解】解：∵ AD 是边 BC 上的中线，
∴ BD  DC ，
∵△ABD 的周长比 ACD 的周长多3cm ，
∴  AB  AD  BD    AC  AD  CD   AB  AC  3cm ，
∵ AB  10cm ，
∴ AC  7cm ， 故选：D． 7．C
【分析】本题考查单项式除以单项式、单项式乘以单项式、积的乘方、幂的乘方及多项式除 以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键．根据单项式除以单项式、单项式乘以单项式、积 的乘方、幂的乘方及多项式除以单项式的运算法则逐一判断即可得答案．
【详解】解：A． 6a6b3  2a3b2  3a3b ，故该选项计算正确，不符合题意，
2a2b  a3b2  2a5b3 ，故该选项计算正确，不符合题意，
3ab3 2  9a2b6 ，故该选项计算错误，符合题意，
a2b3  ab2   ab2  ab 1 ，故该选项计算正确，不符合题意．故选：C．
8．B
【分析】根据分式值为 0 的条件，分子为 0 分母不为 0,列式进行计算即可得.
x2 1
【详解】解：∵分式
x2 1  0
x 1
的值为零，

∴ x 1  0 ，
解得：x=1， 故选 B．
【点睛】本题考查了分式值为 0 的条件，熟知分式值为 0 的条件是分子为 0 分母不为 0 是解题的关键.
9．B
【分析】本题考查因式分解的应用．
先提取公因式4 x2  y2  ，再提根据完全平方公式分解因式，再根据对应的汉字判断即可．
【详解】解： 4a x2  y2   4b x2  y2 
 4 a  bx2  y2 
 4a  b x  y x  y ，
∵ 4 对应“我”， a  b 对应“爱”， x  y 对应“中”， x  y 对应“国”，
∴组合结果只有 B“我爱中国”符合， 故选：B．
10．B
【分析】如图所示，作点 A 关于 BC 的对称点 A ，作 A E  AB 点 E，交 BC 于点 D，连接CA 、BA ，则 AD  AD ，故 AD  DE  AD  DE ，由此推出当 A 、D、E 三点共线时，AD  DE  AE ， AD  DE 最小值即为 AE 的长，当 A E  AB 时， AE 最小，根据三角形的面积即可求得 AE
的最小值．
【详解】解：作点 A 关于 BC 的对称点 A ，作 A E  AB 点 E，交 BC 于点 D，连接CA 、BA ， 如图：
则 AD  AD ，
∴ AD  DE  AD  DE  AE ． 即 AD  DE 的最小值为 AE ．
∵ ACB  90 ， AC  6 ， BC  8 ， AB  10 ，
∴ AA  12 ，
∵ S AAB
 1 AA BC  1 AB  AE ，
22
∴ AE  AA BC  12  8  9.6 ，
AB10
即 AD  DE 的最小值为 9.6． 故选：B．
【点睛】此题考查了利用轴对称解决最短路径问题，垂线段的性质，根据三角形的面积求高 等，熟练掌握以上性质是解本题的关键．
11．7×10-5.
【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定．由此即可解答.
【详解】数据 0.00007 用科学记数法表示为: 0.00007=7×10-5.
故答案为 7×10-5.
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a×10-n，其中 1≤|a|＜10，n 为由
原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定．
12．3
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．
【详解】解：原式＝1+2＝3， 故答案为：3
【点睛】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的 关键．
13．20°
【分析】根据全等三角形的性质：对应角和对应边相等解答即可．
【详解】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠C＝∠AED＝80°，AC＝AE，
∴∠AEC＝∠C＝80°，
∴∠DEB＝180°−80°−80°＝20°，
故答案为 20°．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
14． 1, 2
【分析】本题考查了关于 y 轴对称的点的坐标特征∶纵坐标相同，横坐标互为相反数． 根据关于 y 轴对称的点的坐标特征∶纵坐标相同，横坐标互为相反数，即可得到答案．
【详解】解：点 M (1, 2) 关于 y 轴对称的点的坐标为1, 2 ， 故答案为： 1, 2 ．
 3 6 
15．  7 ,11

【分析】本题主要考查图形与坐标，解题的关键是理解题意；由题意先画出平面直角坐标系， 然后根据题意可得点 A0, 5, G 2, 0, B 0, 0, D 6, 2 ， S1  S矩形ABGF  AB  BG  10 ，
 5 

S2  S矩形EGCD  GC  CD  6  2 2  8 ，进而根据中点坐标公式可得 M1 1, 2  ， M 2 4,1 ，
最后代入题中所给重心坐标公式可进行求解．
【详解】解：所建平面直角坐标系如图所示：
∵ AF  2 ， AB  5 ， BC  6 ， CD  2 ，
∴ A0, 5, G 2, 0, B 0, 0, D 6, 2 ， S1  S矩形ABGF  AB  BG  10 ，
S2  S矩形EGCD  GC  CD  6  2 2  8 ，
∵ AG, BF 是矩形 ABGF 的对角线，且交于一点 M1 ，
∴点 M1 是 AG 的中点，
 0  2 5  0 
 5 
∴根据中点坐标公式可得 M1 
2 , 2  ，即 M1 1, 2  ，
同理可得 M 2 4,1 ，

x S  x S110  4 87
5 10 1 8
∴ x  1 12 2 
， y  y1S1  y2 S2 
2 11 ，
S1  S2
10 83
S  S
10 86
12
 3 6 
∴此“L”形的重心坐标为 7 , 11  ；

 3 6 
故答案为 7 , 11  ．

16．①②④
【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．①根据已知条件得到ACB  90 ，根据平角定义得到BCE  70 ，故①正确；
②设 AC，BD 交于 O，过 A 作 AH  CD 于 H，得到DAC  2ACD  2，求得
CAH  2 45 ，由ACH  CAH  90 ，得到2 45  90，求得 45，求得
ADC  DAC  45 ，根据全等三角形的性质得到 AO  CO ，求得 BD 平分 AC ；故②正确；
③作点 A 关于 DE 的对称点 F，连接 FB 交 DE 于 P，此时 PA  PB 的值最小，如图，假设
APD  45 ，得到CAP  45 ，故CAP 不一定 45 ，故③错误；④如图，过 A 作
AH  CD 于 H，根据三角形的面积公式得到 AH  218  4 ，求得 AH  DH  4 ，得到
9
CH  CD  DH  5 ，根据全等三角形的性质得到 BM  CH  5 ，根据三角形的面积公式得
到△BCD 的面积为 1 CD  BM  1  9 5  45 ，故④正确．
222
【详解】解：①当 20时，即ACD  20 ，
∵ BAC  ABC  45，
ACB  90，
∴ BCE  180  ACD  ACB  70，故①正确；
②设 AC，BD 交于 O，过 A 作 AH  CD 于 H，
∵ ACD ，
∴ DAC  2ACD  2，
ADC  45 ，
∴ DAH  45 ，
∴ CAH  2 45 ，
∵ ACH  CAH  90 ，
∴ 2 45  90，
 45 ，
∴ ADC  DAC  45 ，
∴ DAC  ACB 90 ，
∴ AD  AC  CB ，
∵ AOD  COB ，
AOD≌COB AAS
 AO  CO ，
BD 平分 AC ；故②正确；
③作点 A 关于 DE 的对称点 F，连接 FB 交 DE 于 P，
此时 PA  PB 的值最小， 如图，假设APD  45 ，
∴ CAP  45 ，故CAP 不一定 45 ，故③错误；
④如图，过 A 作 AH  CD 于 H，
CD  9 ，  ACD 的面积为 18，
∴ AH  218  4 ，
9
∵ ADH  45 ，
∴ AH  DH  4 ，
∴ CH  CD  DH  5 ，
∵ AHC  ACB  BMC  90 ，
∴ ACH  BCM  BCM  CBM  90 ，
∴ ACH  CBM ，
 AC  BC ，
ACH≌CBM AAS ，
∴ BM  CH  5 ，
△BCD 的面积为 1 CD  BM  1  9 5  45 ，故④正确．
222
故答案为：①②④．
17．(1) 2a  2a  2
(2) x  2
3
【分析】本题考查了因式分解，解分式方程，熟练掌握平方差公式分解因式和分式方程的解 法是解题的关键．
先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可；
本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．方程两边同乘以
24  x 化成整式方程，再解一元一次方程，然后进行检验即可得．
【详解】（1）解：原式 2 a2  4  2a  2a  2 ； 4 分
3 - x1
（2）解： 4 + x = 2 ，
方程两边同乘以24  x ，得2 3  x  4  x ， 去括号，得6  2x  4  x ，
移项，得2x  x  4  6 ，
合并同类项，得3x  2 ，
系数化为 1，得 x  2 ，
3
经检验， x  2 是分式方程的解，
3
所以方程的解为 x  2 ．4 分
3
18．见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，由AAS 判定△ADF ≌△CBE ，由全等三角形的性质，即可得证；掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
【详解】证明： AE  CF ，
 AE  EF  CF  EF ，
即 AF  CE ，2 分
在△ADF 与△CBE 中，
D  B

 1  2 ，

 AF  CE
ADF ≌CBE （ AAS ）， 3 分
 AD  CB ．1 分
19． 2ab  2b2 ， 10
【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．先利用平方差公式 和完全平方公式，再合并同类项即可化简，最后代入求值即可．
【详解】解：原式 a2  b2  a2  2ab  b2 
 a2  b2  a2  2ab  b2
 2ab  2b24 分当a  0.5 ， b  2 时，
原式 2  0.5  2  2  22
 2  8  10．2 分
20．（1）如图射线 BD 即为所求；见解析；（2）AC＝6．
【分析】（1）利用尺规作出∠ABC 的平分线交 AC 于点 D；
（2）只要证明 BD＝AD，求出 BD 即可解决问题.
【详解】（1）如图射线 BD 即为所求；
3 分
（2）∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵BD 平分∠ABC，
∴∠A＝∠ABD＝∠DBC＝30°，2 分
∴BD＝2CD＝4，2 分
∴AD＝4，
∴AC＝AD+CD＝4+2＝6．1 分
【点睛】本题考查基本作图，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键 是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21．
m
m  2
，原式＝ 1 .
3
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【详解】原式＝ m-2  m m 1
m
＝ m  2 ，
m 1
m  22
6 分
根据分式有意义的条件可知：m＝﹣1，2 分
∴原式＝ 12 分
3
【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
22.(1)见解析 (2)见解析
【分析】（1）先找到 A、B、C 的对应点 A、B、C ，然后顺次连接 A、B、C 即得到答案；
（2）如图所示，延长 AB 交 DE 于Q ，连接 AQ、BQ ，根据三角形三边的关系可证
QA  QB  AB ，据此求解即可．
【详解】（1）解：如图所示， ABC即为所求；4 分
（2）解：如图所示，延长 AB 交 DE 于Q ，连接 AQ、BQ ， 当点 Q 不与Q 重合时， A、B、Q 三点能组成三角形，
∴ QA  QB  AB ，
又∵当点 Q 与Q 重合时， QA  QB  QA  QB  AB ，
∴ QA  QB  AB ，
∴当点 Q 与Q 重合时， QA  QB 的值最大．
6 分
【点睛】本题主要考查了画轴对称图形，三角形三边关系的应用，灵活运用所学知识是解题 的关键．
23．(1)等边三角形，理由见解析
(2) 6
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定、等腰三角形的“三 线合一”等知识点，熟记相关几何结论即可．
由题意得A  ABD  ADB  60 ，根据CE ∥ AB 推出DEF  A  60 ，即可求证；
连接 AC ，可推出 AC 垂直平分 BD 得BAC  DAC ；进而得ECA  DAC ，
AE  CE  9 ， DE  AD  AE  3 ，即可求解；
【详解】（1）解： DEF 是等边三角形，理由如下：
∵△ABD 为等边三角形，
∴ A  ABD  ADB  60 ，
∵ CE ∥ AB ．
∴ DEF  A  60 ，即DEF  EDF  60 ，
∴ DEF 是等边三角形，3 分
（2）解：连接 AC ，如图所示：
∵ AB  AD ， CB  CD ，
∴ AC 垂直平分 BD ，
∴ BAC  DAC ，
∵ CE ∥ AB ．
∴ BAC  ECA ，
∴ ECA  DAC ，
∴ AE  CE  9 ，
∵ AD  12 ，
∴ DE  AD  AE  3 ，
∵ DEF 是等边三角形，
∴ EF  DE  3 ，
∴ CF  CE  EF  67 分
24．(1)3， 2 ；
3
(2)19；
(3)12．
【分析】（1）根据题意可得 x=3 或 x= 2 ；
3
由题意可得 a+b=5，ab=3，再由完全平方公式可得 a2+b2=（a+b）2-2ab=19；
方程变形为 x-1+ 4
x 1
=k-1，则方程的解为 x-1=t 或 x-1=t2+1，则有（t
t2+1）=4，t+t2+1=k-1，
整理得 k=t+t2+2，t3+t=4，再将所求代数式化为 k2-4k+2t3=t（t3+t）+4t3-4=4（t3+t）-4=12．
【详解】（1）解：∵x+ ab =a+b 的解为 x1=a，x2=b，
x
∴�2+2 = � + 2 = 3 + 2的解为 x=3 或 x= 2 ，
��33
故答案为：3， 2 ；2 分
3
（2）解：∵ 3，
x+ x =5
∴a+b=5，ab=3，
∴a2+b2=（a+b）2-2ab=25-6=19；5 分
（3）解： 4
x 1
=k-x 可化为 x-1+ 4
x 1
=k-1，
∵方程 4
x 1
=k-x 的解为 x1=t+1，x2=t2+2，
则有 x-1=t 或 x-1=t2+1，
∴t（t2+1）=4，t+t2+1=k-1，
∴k=t+t2+2，t3+t=4，
k2-4k+2t3
=k（k-4）+2t3
=（t+t2+2）（t+t2-2）+2t3
=t4+4t3+t2-4
=t（t3+t）+4t3-4
=4t+4t3-4
=4（t3+t）-4
=4×4-4
=12．7 分
【点睛】本题考查了分式方程的解，理解题意，灵活求分式方程的解，并结合完全平方公式 对代数式求值是解题的关键．
25．(1)①证明见解析；②BE＝ 8 或16 ；
33
(2)2
【分析】（1）①证明△ADF≌△BED，从而命题得证；②当∠BED＝90°时，此时 BD＝2BE， 进而求得 BE，当∠BDE＝90°时，此时 BE＝2BD，同样求得此时的 BE．
（2）在 BC 上截取 BH＝BD，连接 DH，证明△BDE≌△FEH，推出∠CH60°，CH＝2FH， 再证明 CF 平分∠ACB，得出点 F 的轨迹，进一步求得 GF 的最小值．
【详解】（1）①证明：∵△ABC 是等边三角形，△DEF 是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，DF＝DE，∠EDF＝60°，
∴∠ADF+∠AFD＝180°﹣∠A＝120°，
∠ADF+∠BDE＝180°﹣∠EDF＝120°，
∴∠AFD＝∠BDE，
∴△ADF≌△BED（AAS），
∴AD＝BE；2 分
②解：
当∠BED＝90°时，
由（1）得：△ADF≌△BED，
∴AD＝BE，
∴BD＝AB﹣AD＝8﹣BE，
∵∠B＝60°，
∴∠BDE＝90°﹣∠B＝30°，
∴BD＝2BE，
∴8﹣BE＝2BE，
∴BE＝ 8 ；
3
如图 2，
当∠BDE＝90°时，
∵BD＝8﹣AD＝8﹣BE，∠BED＝30°，
∴BE＝2BD，
∴BE＝2•（8﹣BE），
16
∴BE＝ 3 ，
综上所述：BE＝ 8
3
16
或 3 ；6 分
（2）（3）如图 3，
设 AD＝2x，BE＝x，
∴BD＝AB﹣AD＝8﹣2x，
在 BC 上截取 BH＝BD，连接 DH，
∵∠B＝60°，
∴△BDH 是等边三角形，
∴∠BDH＝60°，DH＝BD，
∵△DEF 是等边三角形，
∴DE＝DF，∠EDF＝60°，
∴∠BDH＝∠EDF，
∴∠BDH﹣∠EDH＝∠EDF﹣∠EDH， 即：∠BDE＝∠HDF，
∴△BDE≌△HDF（SAS），
∴BH＝BD＝8﹣2x，FH＝BE＝x，∠DHF＝∠B＝60°，
∴CH＝BC﹣BH＝8﹣（8﹣2x）＝2x，∠FHC＝180°﹣∠BHD﹣∠DHF＝60°， 作射线 CF，
如图 4，
在△CFH 中，CH＝2x，FH＝x，∠FHC＝60°， 取 CH 的中点 M，连接 FM，
∴HM＝CM＝ 1 HC  x ，
2
∴HF＝HM，
∴△FHM 是等边三角形，
∴FM＝HM＝CM＝x，∠FMH＝60°，
∴∠FCM＝∠CFM，
∵∠FMH＝∠FCM+∠CFM，
∴2∠FCM＝60°，
∴∠FCM＝30°，
∴CF 是∠ACB 的平分线，
即：F 点在∠ACB 的角平分线上运动， 作 GF′⊥CF 于 F′，此时，GF 最小；
∵G 是 BC 的中点，
∴CG＝ 1 BC ＝4，
2
∴GF′＝ 1 CG ＝2．
2
故 GF 的最小值为 2．6 分
【点睛】本题考查了等边三角形性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识， 解决问题的关键是构造全等，找到 F 的运动轨迹．