福建省福州第十八中学八年级上学期期末数学试卷-A4

这是一份福建省福州第十八中学八年级上学期期末数学试卷-A4，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）清代•袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084用科学记数法表示为（ ）
A．8.4×10﹣5B．8.4×10﹣6C．8.4×10﹣7D．8.4×106
3．（4分）下列计算中，正确的是（ ）
A．（2a）3＝8a3B．（a2）3＝a5C．a2•a4＝a8D．a6÷a2＝a3
4．（4分）如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（ ）
A．6米B．9米C．12米D．15米
5．（4分）若因式分解得：x2+mx+n＝（x+5）（x﹣3），则m、n的值为（ ）
A．m＝2，n＝﹣15B．m＝8，n＝﹣15C．m＝﹣2，n＝15D．m＝2，n＝15
6．（4分）满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
A．b2＝c2﹣a2B．a：b：c＝5：12：13
C．∠C＝∠A﹣∠BD．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
7．（4分）下列分式为最简分式的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（4分）与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
9．（4分）计算的结果是（ ）
A．B．C．﹣3D．3
10．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，AE与CD交于点F，连接BF，DE，下列结论中：①AF＝BC；②△BDF是等腰直角三角形，③∠DEB＝45°，④若E为BC中点，则，正确的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．（4分）因式分解：ab2﹣9a＝ ．
12．（4分）若点（3+m，a﹣2）关于y轴对称点的坐标是（﹣1，1），则m+a的值为 ．
13．（4分）若分式的值为零，则x的值为 ．
14．（4分）已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简＝ ．
15．（4分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝9，AC＝15，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为 ．
16．（4分）如图，在△ABC中，，过点A作直线AD⊥BC于点D，E，F分别是直线AD、边AC上的动点，且AE＝CF，则BF+CE的最小值为 ．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
18．（8分）先化简，再求值：，其中．
19．（8分）阅读下列材料，完成下列任务．
小丽在数学资料上看到这样一道题：
已知，求代数式x2﹣2x﹣1的值．
解：∵，
∴．
∴．
∴x2﹣2x+1＝2．
∴x2﹣2x＝1．
∴x2﹣2x﹣1＝1﹣1＝0．
任务：
（1）在材料解答过程中，主要用了我们学过的数学知识是 ．
A．因式分解
B．单项式与多项式的乘法
C．平方差公式
D．完全平方公式
（2）在材料解答的过程中，主要用的思想方法是 ．
A．方程思想
B．整体与化归思想
C．分类讨论思想
D．数形结合思想
（3）已知，求x2+4x+4的值．
20．（8分）如图，在等边△ABC中，点P、Q在边BC上，并且满足BP＝CQ，作点△ACQ关于直线AC的对称图形△ACM，连接AP、PM，线段PM、AC交于点N．
（1）当∠BAP＝15°时，∠QAM＝ ；
（2）求证：AP＝PM．
21．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，BC＝10．
（1）尺规作图，作CD平分∠ACB交AB于点D（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）过点D作DE⊥BC于点E，求BE和AD的长．
22．（10分）如图，一工厂位于点C处，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于从工厂C到取水点A的路受阻，为了取水更方便，工厂新建一个取水点H（点A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝5km，CH＝4km，BH＝3km．
（1）请判断CH是否为从工厂C到河边最近的一条路（即CH与AB是否垂直）？并说明理由．
（2）求AC的长．
23．（10分）在“母亲节”前夕，某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花，销售过程中发现康乃馨比玫瑰销量大，店主决定将每枝玫瑰售价比每枝康乃馨低1元促销，调价后30元可购买玫瑰的数量是可购买康乃馨数量的1.5倍．
（1）求调价后每枝玫瑰的售价是多少元？
（2）根据销售情况，店主用不超过900元的资金再次购进两种鲜花共500枝，康乃馨进价为2元/枝，玫瑰进价为1.5元/枝，问至少购进玫瑰多少枝？若仍按调价后的价格将两种花全部售出，应如何进货，才能使收入最多？
24．（12分）已知四边形ABCD是正方形，点E是射线DC上一点，连接AE，点D关于直线AE的对称点为M，射线AM与直线BC相交于点G．
（1）若点M在对角线AC上，则∠AED＝ 度；
（2）如图，若E是CD的中点，试用等式表示线段AG，BG，CG之间的数量关系，并证明；
（3）若点E在边DC的延长线上，且CE＝CD＝4，在备用图上画出示意图，并求GB的长．
25．（14分）阅读材料1：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如：，这样的分式就是假分式；如：这样的分式就是真分式，假分数，可以化成（即带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．
如：，
分式就拆分成一个分式与一个整式（x﹣1）的和的带分式形式．
阅读材料2：由（a﹣b）2≥0得，a2+b2≥2ab；如果两个正数a，b，即a＞0，b＞0，
则有下面的不等式：，当且仅当a＝b时取到等号．
例如：已知x＞0，求式子的最小值．
解：令a＝x，，则由，得，
当且仅当时，即x＝2时，式子有最小值，最小值为4．
请根据上面材料回答下列问题：
（1）分式可变形带分式得 ，当x＞0，它的最小值为 ；
（2）若分式的值为整数，则整数x的值为 ；
（3）某大学学生会在1月4日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入720元，二是参加活动的同学午餐费每人12元；三是其他费用，等于参加活动的同学人数的平方的0.2倍．求当参加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是多少元？（人均投入＝支出总费用÷参加活动的同学人数）
（4）若式子的最小值是4，求m的值．
2024-2025学年福建省福州十八中八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（4分）下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（4分）清代•袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084用科学记数法表示为（ ）
A．8.4×10﹣5B．8.4×10﹣6C．8.4×10﹣7D．8.4×106
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000084＝8.4×10﹣6，
故选：B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（4分）下列计算中，正确的是（ ）
A．（2a）3＝8a3B．（a2）3＝a5C．a2•a4＝a8D．a6÷a2＝a3
【分析】利用同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、（2a）3＝8a3，故A符合题意；
B、（a2）3＝a6，故B不符合题意；
C、a2•a4＝a6，故C不符合题意；
D、a6÷a2＝a4，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4．（4分）如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（ ）
A．6米B．9米C．12米D．15米
【分析】根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再加上离地面的距离就是折断前树的高度．
【解答】解：如图，根据题意BC＝3米，
∵∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝2×3＝6（米），
∴3+6＝9（米）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，比较简单，熟记性质是解题的关键．
5．（4分）若因式分解得：x2+mx+n＝（x+5）（x﹣3），则m、n的值为（ ）
A．m＝2，n＝﹣15B．m＝8，n＝﹣15C．m＝﹣2，n＝15D．m＝2，n＝15
【分析】先根据多项式乘多项式法则计算，再根据题意即可得出m、n的值．
【解答】解：（x+5）（x﹣3）＝x2+2x﹣15，
∵x2+mx+n＝（x+5）（x﹣3），
∴m＝2，n＝﹣15，
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘法是解题的关键．
6．（4分）满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
A．b2＝c2﹣a2B．a：b：c＝5：12：13
C．∠C＝∠A﹣∠BD．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，进行计算即可解答．
【解答】解：A、∵b2＝c2﹣a2，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵a：b：c＝5：12：13，
∴设a＝5k，b＝12k，c＝13k，
∴a2+b2＝（5k）2+（12k）2＝169k2，c2＝（13k）2＝169k2，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵∠C＝∠A﹣∠B，
∴∠A＝∠B+∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠A＝180°，
∴∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°×＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，
故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形的内角和定理是解题的关键．
7．（4分）下列分式为最简分式的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】分式的分子、分母没有公因式即为最简分式，由此判断即可．
【解答】解：A、，不是最简分式，故此选项不符合题意；
B、＝﹣a﹣b，不是最简分式，故此选项不符合题意；
C、是最简分式，故此选项符合题意；
D、，不是最简分式，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了最简分式，熟知其定义是解题的关键．
8．（4分）与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，再根据同类二次根式的概念判断即可．
【解答】解：＝3，
A、＝3，与不是同类二次根式，不符合题意；
B、，与不是同类二次根式，不符合题意；
C、＝，与不是同类二次根式，不符合题意；
D、＝，与是同类二次根式，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是同类二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
9．（4分）计算的结果是（ ）
A．B．C．﹣3D．3
【分析】根据积的乘方和幂的乘方运算法则，进行计算即可解答．
【解答】解：原式＝[（+3）×]2024×
＝（10﹣9）2024×
＝1×
＝，
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握积的乘方和幂的乘方运算法则是解题的关键．
10．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，AE与CD交于点F，连接BF，DE，下列结论中：①AF＝BC；②△BDF是等腰直角三角形，③∠DEB＝45°，④若E为BC中点，则，正确的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
【分析】根据垂直的定义得到∠AEC＝∠ADC＝∠CDB＝90°，求得∠DAF＝∠DCB，根据全等三角形的性质得到AF＝BC，DF＝DB，故①正确，推出△BDF是等腰直角三角形，故②正确，过D作DG⊥DE交AE于G，得到∠GDE＝∠ADC＝90°，根据全等三角形的性质得到DG＝DE，求得∠DEG＝∠DGE＝45°，得到∠BED＝45°，故③正确，根据直角三角形的性质得到DE＝CE＝，根据全等三角形的性质得到DG＝DE，CE＝AG，求得AG＝DG，得到EG＝CE，于是得到EF＝EG﹣FG＝＝（﹣1）CE，故④正确．
【解答】解：∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝∠ADC＝∠CDB＝90°，
∵∠AFD＝∠CFE，
∴∠DAF＝∠DCB，
在△ADF和△CDB中，
，
∴△ADF≌△CDB（ASA），
∵AF＝BC，DF＝DB，故①正确，
∴△BDF是等腰直角三角形，故②正确，
过D作DG⊥DE交AE于G，
∴∠GDE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠ADE，
∵∠DAG＝∠DCE，AD＝CD，
∴△ADG≌△CDE（ASA），
∴DG＝DE，
∴∠DEG＝∠DGE＝45°，
∴∠BED＝45°，故③正确，
∵E为BC中点，∠CDB＝90°，
∴DE＝CE＝，
∵△ADG≌△CDE，
∴DG＝DE，CE＝AG，
∴AG＝DG，
∵AF＝BC，
∴FG＝AG＝DG＝CE，
∵EG＝DE，
∴EG＝CE，
∴EF＝EG﹣FG＝＝（﹣1）CE，故④正确，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形 的判定和性质定理是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．（4分）因式分解：ab2﹣9a＝ a（b+3）（b﹣3） ．
【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（b2﹣9）
＝a（b+3）（b﹣3），
故答案为：a（b+3）（b﹣3）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．（4分）若点（3+m，a﹣2）关于y轴对称点的坐标是（﹣1，1），则m+a的值为 1 ．
【分析】关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得m，a的值，进而可得答案．
【解答】解：∵点（3+m，a﹣2）关于y轴对称点的坐标是（﹣1，1），
∴3+m＝﹣（﹣1），a﹣2＝1，
∴m＝﹣2，a＝3，
∴m+a＝﹣2+3＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标、代数式求值，熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特征是解答本题的关键．
13．（4分）若分式的值为零，则x的值为 2 ．
【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列出不等式组，解不等式组得到答案．
【解答】解：由题意得：|x|﹣2＝0且x+2≠0，
解得：x＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是分式的值为零的条件，熟记分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
14．（4分）已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简＝ a ．
【分析】由数轴得a＜0，b＞0，继而得出a﹣b＜0，再根据二次根式的性质化简即可．
【解答】解：由数轴得a＜0，b＞0，
∴a﹣b＜0，
∴
＝|b|﹣|a﹣b|
＝b﹣（b﹣a）
＝b﹣b+a
＝a，
故答案为：a．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
15．（4分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝9，AC＝15，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为 21 ．
【分析】先根据勾股定理求出BC的长，再根据图形翻折变换的性质得出AE＝CE，进而求出△ABE的周长．
【解答】解：在△ABC中，∠B＝90°，AB＝9，AC＝15，
∴BC＝＝＝12，
∵△ADE是△CDE翻折而成，
∴AE＝CE，
∴AE+BE＝BC＝12，
∴△ABE的周长＝AB+BC＝9+12＝21．
故答案为：21．
【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
16．（4分）如图，在△ABC中，，过点A作直线AD⊥BC于点D，E，F分别是直线AD、边AC上的动点，且AE＝CF，则BF+CE的最小值为 2 ．
【分析】过点C作CG⊥BC，使CG＝AC＝2，连接GF，BG，利用SAS证明△GCF≌△CAE，得到GF＝CE，从而得到BF+CE的最小值为BG，再利用勾股定理求出BG即可．
【解答】解：过点C作CG⊥BC，使CG＝AC＝2，连接GF，BG，
∵AD⊥BC，
∴CG∥AD，
∴∠GCF＝∠CAE，
又∵CF＝AE，
∴△GCF≌△CAE（SAS），
∴GF＝CE，
∴BF+CE＝BF+GF≥BG，
∴BF+CE的最小值为BG，
在Rt△BGC中，
∵BC＝GC＝2，
∴BG＝＝＝2，
∴BF+CE的最小值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查最短路线问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，通过作辅助线构造全等三角形，将没有公共端点的两条线段变成有公共端点的两条线段是解题的关键．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先根据零指数幂、负整数指数幂和二次根式的性质计算，然后进行有理数的混合运算；
（2）先根据二次根式的乘法和除法法则运算，然后合并同类二次根式即可．
【解答】解：（1）原式＝1+3﹣2
＝2；
（2）原式＝2﹣3
＝2﹣3
＝﹣．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和零指数幂、负整数指数幂的意义是解决问题的关键．
18．（8分）先化简，再求值：，其中．
【分析】先通分计算括号里面的，再根据分式除法的运算法则计算，最后将x的值代入，求出结果即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
当时，
原式＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是根据分式的运算法则进行计算．
19．（8分）阅读下列材料，完成下列任务．
小丽在数学资料上看到这样一道题：
已知，求代数式x2﹣2x﹣1的值．
解：∵，
∴．
∴．
∴x2﹣2x+1＝2．
∴x2﹣2x＝1．
∴x2﹣2x﹣1＝1﹣1＝0．
任务：
（1）在材料解答过程中，主要用了我们学过的数学知识是 D ．
A．因式分解
B．单项式与多项式的乘法
C．平方差公式
D．完全平方公式
（2）在材料解答的过程中，主要用的思想方法是 B ．
A．方程思想
B．整体与化归思想
C．分类讨论思想
D．数形结合思想
（3）已知，求x2+4x+4的值．
【分析】（1）利用完全平方公式进行判断；
（2）根据整体与化归的数学思想进行判断；
（3）先移项得到x+2＝，再把两边平方，然后利用完全平方公式展开即可．
【解答】解：（1）在材料解答过程中，主要用了我们学过的完全平方公式；
故选：D；
（2）在材料解答的过程中，主要用整体与化归思想；
故选：B；
（3）∵x＝﹣2，
∴x+2＝，
∴（x+2）2＝3，
∴x2+4x+4＝3．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了因式分解．
20．（8分）如图，在等边△ABC中，点P、Q在边BC上，并且满足BP＝CQ，作点△ACQ关于直线AC的对称图形△ACM，连接AP、PM，线段PM、AC交于点N．
（1）当∠BAP＝15°时，∠QAM＝ 30° ；
（2）求证：AP＝PM．
【分析】（1）由等边三角形的性质得AB＝AC，∠B＝∠ACQ＝60°，而BP＝CQ，即可根据“SAS”证明△ABP≌△ACQ，得∠BAP＝∠CAQ＝15°，由轴对称的性质得∠CAM＝∠CAQ＝15°，则∠QAM＝2∠CAQ＝30°，于是得到问题的答案；
（2）由全等三角形的性质得AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ，由轴对称的性质得AM＝AQ，∠CAM＝∠CAQ，则AP＝AQ，∠BAP＝∠CAM，推导出∠PAM＝∠BAC＝60°，则△APM是等边三角形，所以AP＝PM．
【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，点P、Q在边BC上，
∴AB＝AC，∠B＝∠ACQ＝60°，
在△ABP和△ACQ中，
，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
∴∠BAP＝∠CAQ＝15°，
∵△ACM与△ACQ关于直线AC的对称，
∴∠CAM＝∠CAQ＝15°，
∴∠QAM＝2∠CAQ＝30°，
故答案为：30°．
（2）证明：由（1）得△ABP≌△ACQ，
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ
∵△ACM与△ACQ关于直线AC的对称，
∴AM＝AQ，∠CAM＝∠CAQ
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAM，
∴∠PAM＝∠PAC+∠CAM＝∠PAC+∠BAP＝∠BAC＝60°，
∴△APM是等边三角形，
∴AP＝PM．
【点评】此题重点考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识，证明△ABP≌△ACQ是解题的关键．
21．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，BC＝10．
（1）尺规作图，作CD平分∠ACB交AB于点D（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）过点D作DE⊥BC于点E，求BE和AD的长．
【分析】（1）作CD平分∠ACB交AB于点D即可；
（2）证明AC＝CE＝6，即可求出BE，设AD＝DE＝x，利用勾股定理构建方程求出x即可．
【解答】解：（1）如图，射线CD即为所求；
（2）∵CD平分∠ACB，
∴∠DCA＝∠DCE，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝∠A＝90°，
∴△DCA≌△DCE（AAS），
∴AD＝ED，AC＝CE，
∵AC＝6，CB＝10，
∴BE＝BC﹣CE＝10﹣6＝4，AB＝＝＝8，
设AD＝DE＝x，则有x2+42＝（8﹣x）2，
∴x＝3，
∴AD＝3．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（10分）如图，一工厂位于点C处，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于从工厂C到取水点A的路受阻，为了取水更方便，工厂新建一个取水点H（点A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝5km，CH＝4km，BH＝3km．
（1）请判断CH是否为从工厂C到河边最近的一条路（即CH与AB是否垂直）？并说明理由．
（2）求AC的长．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理判断即可；
（2）设AC的长为x千米，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）CH是从工厂C到河边最近的一条路，理由如下：
∵CH2+BH2＝42+32＝25，
BC2＝52＝25，
∴CH2+BH2＝BC2，
∴△CHB是直角三角形，∠CHB＝90°，
∴CH与AB垂直，
即CH是从工厂C到河边最近的一条路；
（2）设AC的长为x千米，
AH＝AB﹣BH＝AC﹣BH＝（x﹣3）千米，
在Rt△ACH中，由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2，
即x2＝（x﹣3）2+42，
解得：x＝，
答：AC的长为千米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
23．（10分）在“母亲节”前夕，某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花，销售过程中发现康乃馨比玫瑰销量大，店主决定将每枝玫瑰售价比每枝康乃馨低1元促销，调价后30元可购买玫瑰的数量是可购买康乃馨数量的1.5倍．
（1）求调价后每枝玫瑰的售价是多少元？
（2）根据销售情况，店主用不超过900元的资金再次购进两种鲜花共500枝，康乃馨进价为2元/枝，玫瑰进价为1.5元/枝，问至少购进玫瑰多少枝？若仍按调价后的价格将两种花全部售出，应如何进货，才能使收入最多？
【分析】（1）依据题意，可设降价后每枝玫瑰的售价是x元，根据等量关系：降价后30元可购买玫瑰的数量＝原来购买玫瑰数量的1.5倍，列出方程求解即可；
（2）依据题意，可设购进玫瑰y枝，根据不等量关系：购进康乃馨的钱数+购进玫瑰的钱数≤900元，列出不等式求解即可得，至少购进玫瑰的数量，然后在设购进玫瑰m枝，列出收入后进而可以判断得解．
【解答】解：（1）由题意，设降价后每枝玫瑰的售价是x元，
∴＝×1.5．
∴x＝2．经检验，x＝2是原方程的解．
答：降价后每枝玫瑰的售价是2元．
（2）设购进玫瑰y枝，
∴2（500﹣y）+1.5y≤900．
∴y≥200．
∴至少购进玫瑰200枝．
由题意，设玫瑰购进了m枝，则康乃馨购进了（500﹣m）枝，其中200≤m≤500，
∴调价后的价格将两种花全部售出的收入＝（2﹣1.5）m+（3﹣2）（500﹣m）
＝0.5m+500﹣m
＝﹣0.5m+500．
∵﹣0.5＜0，
∴收入随m的增大而减小．
∴当m＝200时，收入最高，最高为﹣0.5×200+500＝400．
∴当购进玫瑰200枝，康乃馨300枝时，收入最高为400元．
【点评】本题主要考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，解题时要能读懂题意，找到合适的等量关系和不等关系是解决问题的关键．
24．（12分）已知四边形ABCD是正方形，点E是射线DC上一点，连接AE，点D关于直线AE的对称点为M，射线AM与直线BC相交于点G．
（1）若点M在对角线AC上，则∠AED＝ 62.5 度；
（2）如图，若E是CD的中点，试用等式表示线段AG，BG，CG之间的数量关系，并证明；
（3）若点E在边DC的延长线上，且CE＝CD＝4，在备用图上画出示意图，并求GB的长．
【分析】（1）由对称的性质可得△ADE≌△AME，得出∠MAE＝∠DAE，再根据正方形的性质即可求解；
（2）AG＝AD+CG，连接ME，EG，证明△ADE≌△AME和Rt△MEG≌Rt△CEG，得出AD＝AM，MG＝CG即可解答；
（3）根据正方形的性质得到AD∥BC，AD＝CD＝BC＝AB＝4，根据三角形中位线定理得到CF＝AD＝2，求得BF＝BC﹣CF＝2，根据等腰三角形的性质得到AG＝GF＝BG+BF＝BG+2，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）连接ME，
∵点D关于直线AE的对称点为M，
∴AD＝AM，DE＝ME，
∴△ADE≌△AME（SSS），
∴∠MAE＝∠DAE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAD＝45°，
∴∠DAE＝22.5°，
∴∠AED＝62.5°，
故答案为：62.5．
（2）AG＝AD+CG，
连接ME，EG，
∵点D关于直线AE的对称点为M，
∴AD＝AM，DE＝ME，
∴△ADE≌△AME（SSS），
∴∠D＝∠AME＝90°，
∵E是CD的中点，
∴CE＝DE＝ME，
∵∠EMG＝∠C＝90°，EG＝EG，
∴Rt△MEG≌Rt△CEG（HL），
∴MG＝GC，
∵AG＝AM+MG＝AD+CG；
（3）如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AD＝CD＝BC＝AB＝4，
∵DE＝DC＝4，
∴AF＝EF，
∴CF＝AD＝2，
∴BF＝BC﹣CF＝2，
∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠AFB，
由对称的性质可得∠DAF＝∠GAF，
∴∠GAF＝∠AFG，
∴AG＝GF＝BG+BF＝BG+2，
∵AG2＝AB2+BG2，
∴（BG+2）2＝BG2+42，
∴BG＝3．
【点评】本题是四边形的综合题，考查正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题关键．
25．（14分）阅读材料1：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如：，这样的分式就是假分式；如：这样的分式就是真分式，假分数，可以化成（即带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．
如：，
分式就拆分成一个分式与一个整式（x﹣1）的和的带分式形式．
阅读材料2：由（a﹣b）2≥0得，a2+b2≥2ab；如果两个正数a，b，即a＞0，b＞0，
则有下面的不等式：，当且仅当a＝b时取到等号．
例如：已知x＞0，求式子的最小值．
解：令a＝x，，则由，得，
当且仅当时，即x＝2时，式子有最小值，最小值为4．
请根据上面材料回答下列问题：
（1）分式可变形带分式得 x+ ，当x＞0，它的最小值为 2 ；
（2）若分式的值为整数，则整数x的值为 ﹣4或﹣2 ；
（3）某大学学生会在1月4日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入720元，二是参加活动的同学午餐费每人12元；三是其他费用，等于参加活动的同学人数的平方的0.2倍．求当参加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是多少元？（人均投入＝支出总费用÷参加活动的同学人数）
（4）若式子的最小值是4，求m的值．
【分析】（1）仿照示例，对分式进行变形，可得到结果；
（2）对分式变形为（x+3）+，仿照示例，可得到结果；
（3）根据题意，列出人均费用，仿照示例的方法可得到结果；
（4）先对式子变形，化为带分式形式，再求最小值，得到结果．
【解答】解：（1）＝＝x+，
x+≥2＝2，
当且仅当x＝，即x＝1时，式子有最小值，最小值为2，
故答案为：，2；
（2）＝＝＝（x+3）+，
∵x为整数，分式的值为整数，
∴x+3为﹣1或1，
∴x的值为﹣4或﹣2，
故答案为：﹣4或﹣2；
（3）设参加的人数为x人，
支出总费用为720+12x+0.2x2，
人均费用为，
∵＝+0.2x+12，
＝24，
∴当且仅当时，即x＝60时，式子有最小值，最小值为24，
∴的最小值为36，
答：参加活动的同学人数为60人时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是36元；
（4）＝＝，
≥2，
当且仅当＝时，有最小值2，
∵最小值是4，
∴2＝4，
∴m＝2．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
A
B
A
D
C
D
B
D