江苏省南京师范大学附属中学2025-2026学年高一上学期12月阶段考试数学试卷含解析（word版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共36分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先解指数、对数不等式得到集合的范围，再计算即可.
【详解】因为，所以 ，又因为，所以
所以
故选：B
2. 在三角形中，“”是“”的（ ）条件
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角函数的性质和充分必要条件的定义进行判断即可.
【详解】因为在三角形中，，，
所以，则，所以“”是“”的充分条件；
由于，所以或，又因为三角形中，，
所以，所以.
所以“”是“”的必要条件；
综上，“”是“”的充要条件.
故选：C.
3. 若命题“，使得”为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先列出全称命题，根据其是真命题和二次函数的性质，分三种情况讨论求解即可.
【详解】因为命题“，使得”为假命题，
所以命题“，使得”为真命题，
当时，在上恒成立，符合题意；
当对称轴时，即时，要使不等式成立，则，
化简得，解得，因为，所以；
当对称轴时，即时，要使不等式成立，则，解得，
而，所以此时无解；
综上所述，实数的取值范围是.
故选：B.
4. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由图象得到，，则，再由五点法再结合单调性求出即可得到函数解析式.
【详解】由图可知,,则
由图像根据五点法，当 时,对应得到,
即，因为，所以或，
当，验证单调递增区间：
令，
当时，为其一个增区间，由图象可得位于减区间上，矛盾，
所以.
故选：D
5. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的单调递增区间是（）
B. 函数图像对称中心的集合是
C. 对任意的实数a，直线与函数图象的两个相邻交点之间的距离是
D. 函数的对称轴是直线，
【答案】D
【解析】
【分析】根据正切函数的单调性、对称中心、周期、对称轴逐项计算判断即可.
【详解】对于A，函数，因为在每个单调区间是递增的，
所以在每个单调区间是递减的，故A错误；
对于B，令，得，所以函数的对称中心的集合是，故B错误；
对于C，函数的周期为，所以直线与函数图像的两个相邻交点之间的距离是，故C错误；
对于D，由于的对称轴是.
令，得，D正确.
故选：D.
6. 已知，，，，则下列大小关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性比较幂指数的大小，分别判断出与的关系即可得到大小关系.
【详解】 ，即 ，即 ，即 ， 即
所以
故选：A
7. 给出下列命题，其中是真命题的有（ ）
A.
B. 若，则是第二或第三象限的角
C. 若是锐角三角形的一个内角，则是第一象限角或第二象限角
D. 若圆心角为的扇形的弧长，则该扇形面积为
【答案】A
【解析】
【分析】利用可判断A；由三角函数的符号与角所在象限的关系可判断B；求得可判断C； 求得扇形面积判断D.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，由，可得是第二或第三象限的角或终边在轴非正半轴上的角，故B错误；
对于C，若是锐角三角形的一个内角，则，
所以，所以是第一象限角或第二象限角或终边在轴非负半轴的角，故C错误；
对于D，设扇形的半径为，又圆心角为的扇形的弧长，
所以，所以，所以该扇形面积为，故D错误.
故选：A.
8. 已知是定义在上的奇函数，对任意的，，当时，恒成立，若，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用奇函数的性质可求得，令，由已知可得在上单调递增，原不等式可变形为，求解即可.
【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，解得，
所以是定义域为.
因为，又，
所以，令，
所以对任意的，，有，
所以在上单调递增，
因为是定义在上的奇函数，则是定义在上的奇函数，
所以在上单调递增，所以在上单调递增，
由，得，
所以，又，所以，
所以，又因为在上单调递增，
所以，解得，
所以关于的不等式的解集为.
故选：C.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，，且，则（ ）
A. B. 的最大值为
C. D. 的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】先利用基本不等式得到，当且仅当 时等号成立，结合对数函数、指数函数的单调性逐一分析求解即可.
【详解】由题可得 ，由基本不等式，即，当且仅当 时等号成立；，选项A正确；
,当且仅当时，取不到等号，故选项B错误；
，当且仅当 时等号成立，故选项C正确；
由基本不等式，两个都是当且仅当 时等号成立；
所以当且仅当 时的最小值为，选项D正确.
故选:ACD
10. 已知函数，的定义域均为，的函数图象关于对称，函数图象关于点对称，且，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据已知条件判断为周期为4的偶函数，，然后根据已知等式逐项判断计算即可.
【详解】因为的函数图象关于直线对称，所以的图象关于轴对称，
所以是偶函数，则，故A正确；
因为函数图象关于点对称，所以.
因为，所以，又，
所以，所以，所以.
所以函数的周期为4，所以.
因为，由得，
由及得.
所以，C错误；
因为，所以，又，，所以.
所以，B正确；
由可得，.
因为，所以，D正确.
故选：ABD.
11. 已知函数（，）在区间上单调递增，且函数是奇函数，则（ ）
A
B.
C. 关于x的方程在区间上不相等实数解的个数不超过3个
D. 若，则函数的最小正周期为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据函数的单调性、奇偶性以及对称轴等性质，逐一分析选项.
【详解】因为函数在区间上单调递增，所以可得，解得，
又函数是奇函数，所以，
令，可得，故B正确；
由可得，所以，
所以，
所以，因为值不确定，故A错误；
，，，
又，
区间长度不大于，不大于3个周期，
则关于x的方程在区间上不相等实数解的个数不超过3个，故C正确；
若，则可得关于对称，所以，
结合，得，
又，所以，又，所以①，
又，所以②，
由①②得或，
当时，，当，，
所以函数在区间上单调递减，不符合题意；
当时，，当，，
所以函数区间上单调递增，符合题意，
所以，所以函数的最小正周期为，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分.
12. 若函数的单调递减区间是__________.
【答案】.
【解析】
【分析】根据正弦函数的单调性进行求解即可.
【详解】因为函数，令，
要求的单调递减区间，则是求的单调递增区间.
那么有，解得
所以函数的单调递减区间是.
故答案为：.
13. 若函数（且）有最小值，则实数a的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】分和两种情况讨论，结合对数函数单调性可求得实数a的取值范围.
【详解】当时，函数在上单调递增，
要使（且）有最小值，
需使的最小值大于0，则，
解得，又，所以；
当时，在上单调递减，
又没有最大值，
所以（且）没有最小值，不合题意；
综上，实数a的取值范围是.
故答案为：.
14. 已知函数（其中），把函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象.若函数在区间上恰有2个零点，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】先根据三角函数变换求出，然后令其为0，求出零点，并根据零点的范围列出不等式，得到.
最后分析讨论求出结果即可.
【详解】把函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，
则.
令，则，所以，
因为函数在区间上恰有2个零点，所以，
化简得，因为，所以.
设区间内包含的整数为和需满足.
同时，和不在此区间内.
当时，和需满足，解得；
当时，和需满足，解得；
当时，和需满足，解得；
故答案为：.
四、解答题：本题共3小题，共38分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）化简，并写出函数的定义域；
（2）若，且是第三或四象限角，求的值.
【答案】（1），函数的定义域为；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式和同角三角函数间的关系化简即可；
（2）由已知可得，利用同角三角函数的关系求得即可.
【小问1详解】
；
由，可得，所以；
所以函数的定义域为；
【小问2详解】
由，可得，两边平方得，
即，又因是第三或第四象限角，故是第四象限角，
即，故，
又，
所以，所以.
16. 已知函数，.
（1）判断函数的单调性，并证明；
（2）若存在两不相等的实数a，b，同时满足，，求实数m的取值范围.
【答案】（1）函数在上单调递减，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用函数的单调性的定义可得函数的单调性；
（2）由，可得，进而可得，分离变量，结合函数的单调性可求得实数m的取值范围.
【小问1详解】
函数在上单调递减，理由如下：
由，所以，所以，解得，
所以函数的定义域为.
，且，
，
又，
所以，
又，所以，所以，
所以，所以，
所以，所以函数在上单调递减；
【小问2详解】
因为，所以函数为奇函数，
由，得，
又因为函数在上单调递减，所以，所以，
因为实数a，b互不相等，所以，又，所以，
由，得，
所以，所以，
所以，
因为，所以，所以，
所以，令，
所以，又函数在上单调递减，
所以，所以实数m的取值范围.
17. 已知函数（其中），且.
（1）证明：对，，；
（2）设函数，且满足，求实数m的取值范围；
（3）若a，b，c是三个互不相同的实数，且对于函数满足，求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先根据已知条件求出，然后分别计算等式左右是否相等即可.
（2）先求出的表达式，然后验证，从而可将不等式化简成，对函数求导判断的单调性，从而求出结果.
（3）分析分段函数，求出的解析式，然后画出图象求出满足题意的的范围即可.
【小问1详解】
因为函数（其中），且.
所以，所以，所以.
所以，，
所以对，，.
【小问2详解】
由（1）知，，所以①，
而②，①+②可得.
因为，所以.
又，所以在上单调递增，
所以要使得不等式成立，则，解得.
【小问3详解】
当时，；当时，.
所以当时，；
当时，，此时；
当时，，此时；
所以，画出图象为：
因为为三个互不相同的实数，，假设，则由图象可以看出
令，则，所以；令，所以，所以，，所以.
所以的范围是.