湖南省长沙市长郡中学2025-2026学年高三上学期月考（四）数学试题与解析

这是一份湖南省长沙市长郡中学2025-2026学年高三上学期月考（四）数学试题与解析，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1.已知 为虚数单位,则
A. i B. C. 1 D. -1
【答案】B
【解析】因为 ,所以 .
2.已知集合 ,若 ,则实数 的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由 得 解得 .
3.从数字4,5,6,7,8中随机抽取两个数，则这两个数都是奇数的概率为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】从数字4,5,6,7,8中随机抽取两个数有 个基本事件; 都是奇数的情况只有5,7,故 .
4.在 中, 为边 的中点, 为 的中点,设 ,则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图所示， ，又 为 的中点，所以 ，则 .
5.已知 ,则
A. 2B. C. D. -2
【答案】C
【解析】由条件得 ,所以 ,
.
6.已知圆台的高为 4 ，上、下底面的半径分别为 3 和 6 ，现在该圆台中挖去一个圆柱. 圆柱的上、下底面分别在圆台的上、下底面上, 要使得到的几何体的表面积最大, 则圆柱的半径为
A. 3 B. 2C.1D.
【答案】B
【解析】要使得到的几何体的表面积最大,只需增加的面积 取得最大值, 当 时, 取得最大值.
7.已知正数 满足 ,则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由 得, ,因为 ,所以 ,
则 ,因为 在 上单调递增,且 ,所以 ,
排除选项 A, D; 当 时, ,排除选项 C;
因为 ,所以 ,所以 ,则 ,即 ,所以 ,综上可知, .
8.设 是抛物线 的焦点， ， 是 上不同于 的顶点的两点,以 和 为切点的两条切线相交于点 ,若 4,则
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】易知 ,设 ,所以 ,
，所以 .
因为 ，所以切线 方程为 ，即 .
同理切线 方程为 ,
联立方程组 解得 即点 的坐标为 ,
所以 ,则 ,解得 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知函数 ,则
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于点 对称
C. 是 图象的一条对称轴
D. 在 上单调
【答案】AB
【解析】由 ,所以 的最小正周期为 正确;
令 ,解得 ,当 时, 的图象关于点 对称, 正确;
因为 ,所以 不是 图象的一条对称轴, 错误;
当 时, ,所以 在 上不单调, D 错误.
10.已知 分别是椭圆 的左、右焦点,点 是椭圆 上两点, 交 轴于点 ,线段 的中点为 平分 ,则
A. B. 的周长为
C. D. 椭圆 的离心率为
【答案】ACD
【解析】如图所示,易知 的周长为 , B 错误; 因为 ,所以 , A 正确; 设 ,则 ,
又 平分 ,线段 的中点为 ,根据角平分线定理可得, ,所以 ,
根据椭圆的定义可知 ,解得 ,
所以 , 正确; 则 为椭圆 的上顶点或下顶点,所以 ,
设 ,由 及余弦定理得, ,
即 ,整理得 ,解得 , D 正确.
11.对于定义域为 的函数 ,若存在 . 使得 ,则称 为 的不动点. 已知 有三个零点 则
A. 当 时, 是 的不动点
B. 当 时，
C. 若 ， ，则 为定值
D.
【答案】ACD
【解析】当 ， 时，由不动点定义可知，方程 有解，
即 ,解得 或 ,所以 是 的不动点, 正确;
当 时, ,当 时, ,当 时， ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 ,所以当 时, , B 错误;
.
所以 ,
又 ,所以 ,所以 ,则 ,整理得
正确;
设 ,则
则 ,
, D 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.记 的内角 的对边分别为 ，已知 ,则 ________.
【答案】
【解析】由正弦定理得， ,由 得， ，
则 ，所以 ，又 ，所以 .
13.已知函数 ,若仅存在一个正整数 ,使得 ,则实数 的取值范围为_______.
【答案】
【解析】 ,当 时, ,当 时, ,所以 在 上单调递减， 在 上单调递增,则1是 的极小值点,由题意可知, 解得 ,故实数 的取值范围为 .
14.设 是随机事件,已知 ,则下列四个结论中,正确的是________.
① ②事件 相互独立
③ ④
【答案】②③④
【解析】根据条件概率可知 ，①错误；
由 得, ,
又 ,所以 ,所以事件 相互独立,② 正确;
,③ 正确；
根据条件概率可知 ,④ 正确.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.为研判新能源汽车的销售变化情况，现统计了某市 2025 年第二、三季度每个月销售量(单位:万辆)如下表:
(1)求这 6 个月销售量数据的平均数和上四分位数；
(2)已知该市销售量 与月份代号 具有很强的线性相关关系,求 关于 的经验回归方程,并预测 2025 年 10 月份的销售量.
附:经验回归方程 的斜率与截距的最小二乘估计公式分别为: . .
【解析】(1) 这 6 个月销售量数据的平均数为 ;
因为 ,所以这 6 个月销售量数据的上四分位数为 3.7 .
(2) ，
又 ,所以 ,
故 关于 的经验回归方程为 .
当 时, ,
故 2025 年 10 月份的销售量的估计值为 4.96 万辆 .
16.设数列 满足 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ， 为数列 的前 项和，证明: .
【解析】(1) 由 得, ,
又 ,所以 ,
所以 是以 2 为首项,公差为 1 的等差数列,
则 .
故 .
(2)由(1)得， ，
所以 ,
又 ,
故 .
17.如图，在棱长都为2的正三棱柱 中， 为侧面 的中心， 为 的中点，点 为棱 上一动点(不包含端点).
(1)证明: 平面 ;
(2)若直线 与直线 所成角的余弦值为 ，求 .
【解析】
(1)证明:连结 ,因为 为正方形 的中心,所以 为 的中点,
则 为 的中位线,所以 ,
又 平面 平面 ,所以 平面 .
(2)连结 ，则 ，以 为原点，以 所在直线为 轴，以过 垂直于平面 的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则
,
设 ，所以 ，
所以 ,
整理得 ,
解得 或 (舍去),
则 ,故 .
18.已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)证明:曲线 是中心对称图形；
(3)当 时,设 ,证明: .
【解析】易知 的定义域为 , (1 分)
(1)当 时， ,
因为 ,所以 ,
所以 在 上单调递减.
(2) ，
所以 ,
故曲线 是关于点 对称的中心对称图形.
(3)由(1)得,当 ， 时， ，即 ，
令 ,则 ,所以 ,
则 ,都有 . 即 ,
又 ,要证 ,需证 ,
需证 ,即证 在 上恒成立.
设 ,则 ,令 ,则 ,
所以 在 上单调递增,则 ,所以 在 上单调递增, (16 分)
则 ,因此 在 上恒成立,故 .
19.已知双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ,且 经过点 .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)设 为坐标原点，动点 满足过 能作出 的两条互相垂直的切线,记切点分别为点 .
(i)求动点 的轨迹方程；
(ii) 若记 的面积为 的面积为 求 的最大值.
【解析】(1)由双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 得, , 则 ,
又 经过点 ，所以 ，
解得 ,
故双曲线 的标准方程为
(2)(j)当直线 中有一条直线的斜率不存在时,根据 上 ，则另一条直线与双曲线 必然相交，所以直线 的斜率都存在.
设直线 的斜率为 ,则 ,
由 整理得 ,
则 , (5 分)
整理得, ,即 ,
又 ，所以 ，则 ，
所以 ,解得 .
则直线 的方程为 ,即 ,
设直线 的斜率为 ,则 ,
同理得, ,直线 的方程为 ,
设 ,则点 在直线 上,所以 ,点 在直线 上,所以 ,
所以直线 的方程为 .
由 整理得 ,
则 ,
,
所以
,
因为 ,所以 ,
整理得 ;
因为双曲线 的渐近线与 交于点 和 ,
故动点 的轨迹方程为 .
(ii) 由 ( i ) 可知,直线 的方程 ,
点 满足 ,且 ,则 ,
原点 到直线 的距离为 ,
点 到直线 的距离为 ,
所以
则 ,
又 且 ,当 时, 取得最大值 3 .月份
4 月
5 月
6 月
7月
8 月
9 月
月份代号
1
2
3
4
5
6
销售量
1.5
2.3
2.8
3.2
3.7
4.5