初中人教版（2024）小结导学案

这是一份初中人教版（2024）小结导学案，共29页。学案主要包含了人教版2024，变式1-1，变式1-2，变式1-3，变式2-1，变式2-2，变式2-3，变式3-1等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc526" 【题型1 根据等边三角形的性质求长度】 PAGEREF _Tc526 \h 1
\l "_Tc15167" 【题型2 根据等边三角形的性质求角度】 PAGEREF _Tc15167 \h 4
\l "_Tc4578" 【题型3 根据等边三角形的性质证明】 PAGEREF _Tc4578 \h 8
\l "_Tc17230" 【题型4 证明是等边三角形】 PAGEREF _Tc17230 \h 17
\l "_Tc25596" 【题型5 与等边三角形有关的折叠问题】 PAGEREF _Tc25596 \h 21
\l "_Tc18294" 【题型6 等边三角形中的动点问题】 PAGEREF _Tc18294 \h 24
\l "_Tc32363" 【题型7 等边三角形中的多结论问题】 PAGEREF _Tc32363 \h 28
知识点1 等边三角形及其性质
1. 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形．
2. 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．
拓展：（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；
（2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质．
知识点2 等边三角形的判定
判定等边三角形的方法：
（1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形．
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
【题型1 根据等边三角形的性质求长度】
【例1】（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，若BE=2，AE=8，则CE的长是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
由等边三角形的性质证明△ACD≌△BCESAS，再根据全等三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵△ABC与△CDE都是等边三角形，
∴∠ACB=∠ECD=60°，AC=BC，CD=CE，
∠ACB-∠DCB=∠ECD-∠DCB，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCESAS，
∴AD=BE=2，
∵AE=8，
∴DE=AE-AD=8-2=6，
∴CE=DE=6，
故选：C．
【变式1-1】（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，等边△ABC的边长为2，点D、E分别在边AB、BC上（不与△ABC的顶点重合），将△BDE沿DE翻折，点B落在点F处，则三个阴影三角形的周长和为（ ）
A．8B．6C．4D．2
【答案】B
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，折叠的性质，应用转化思想是解题的关键．
由折叠的性质可得BD=FD,BE=FE，再把三个阴影三角形的周长和转化成等边△ABC的三边之和，即可解答．
【详解】解：∵由折叠的性质可得：BD=FD,BE=FE，
∴三个阴影三角形的周长和为：AC+DF+EF+AD+CE=AC+BD+BE+AD+CE，
∵AB=AD+BD，BC=BE+CE，
∴三个阴影三角形的周长和=AC+AB+BC=2+2+2=6，
故选：B．
【变式1-2】（24-25八年级下·甘肃平凉·阶段练习）如图，在△ACD中，B为CD边上一点，连接AB，△ABC恰为等边三角形，∠D=∠DAB,AB=7，则CD的长度为 ．
【答案】14
【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定，根据等边三角形的性质求出BC=7，然后根据等角对等边得出AB=DB=7，即可求解．
【详解】解：∵△ABC为等边三角形，AB=7，
∴BC=AB=7，
∵∠D=∠DAB，
∴AB=DB=7，
∴CD=DB+BC=14，
故答案为∶14．
【变式1-3】如图，在等边三角形ABC的边AB、AC各取一点D，E，连接CD，BE交于点F，使∠EFC=60°，若BD=1，CE=2，则BC长度为 ．
【答案】3
【分析】由等边三角形的性质得出AB=CB，∠A=∠ABC=60°，证明△ABE≌△BCD，由全等三角形的性质得出AE=BD，则可以得出结论．
【详解】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=CB，∠A=∠ABC=60°，
∴∠ABE+∠CBF=60°，
又∵∠EFC=∠CBF+∠BCF=60°，
∴∠ABE=∠BCF，
在△ABE和△BCD中，
∠A=∠DBCAB=BC∠ABE=∠BCD，
∴△ABE≌△BCDASA，
∴AE=BD，
∴BC=AC=AE+CE=DB+CE=1+2=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质，证明△ABE≌△BCD是解决本题的关键．
【题型2 根据等边三角形的性质求角度】
【例2】（24-25九年级下·河北沧州·阶段练习）如图，设△ABC和△CDE都是正三角形，且∠EBD=62°，则∠AEB的度数是（ ）
A．124°B．122°C．120°D．118°
【答案】B
【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键．先根据等边三角形的性质可得AC=BC,CE=CD,∠ACB=∠ECD=∠ABC=∠BAC=60°，再证出△ACE≌△BCD，根据全等三角形的性质可得∠DBC=∠EAC，然后设∠DBC=∠EAC=x，从而可得∠ABE,∠BAE，最后根据三角形的内角和定理求解即可得．
【详解】解：∵△ABC和△CDE都是正三角形，
∴AC=BC,CE=CD,∠ACB=∠ECD=∠ABC=∠BAC=60°，
∴∠ACB-∠BCE=∠ECD-∠BCE，即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
AC=BC∠ACE=∠BCDCE=CD，
∴△ACE≌△BCDSAS，
∴∠DBC=∠EAC，
设∠DBC=∠EAC=x，
∴∠BAE=∠BAC-∠EAC=60°-x，
∵∠EBD=62°，
∴∠CBE=∠EBD-∠DBC=62°-x，
∴∠ABE=∠ABC-∠CBE=60°-62°-x=x-2°，
∴∠ABE+∠BAE=x-2°+60°-x=58°，
∴∠AEB=180°-∠ABE+∠BAE=180°-58°=122°，
故选：B．
【变式2-1】（24-25八年级下·河南·期末）已知：如图，D、E分别是等边三角形ABC两边AB、AC上的点，连接BE、CD，BE与CD交于点O，AD=CE，则∠BOD的度数是（ ）
A．50°B．60°C．65°D．70°
【答案】B
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，找出全等三角形是解题关键．根据等边三角形的性质证明△ACD≌△CBESAS，得到∠ACD=∠CBE，再结合三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠A=∠ACB=60°，
在△ACD和△CBE中，
AD=CE∠A=∠BCEAC=CB，
∴△ACD≌△CBESAS，
∴∠ACD=∠CBE，
∴∠BOD=∠CBE+∠BCO=∠ACD+∠BCO=∠ACB=60°，
故选：B．
【变式2-2】（2025·山东威海·一模）已知直线AB∥CD，等边△EFG的顶点E刚好落在AB上，FG与CD交于点H．已知∠1=140°，则∠2=（ ）
A．110°B．120°C．130°D．100°
【答案】D
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，平行线的判定和性质．作FK∥CD，先由平行线的性质得到∠3=180°-∠1=40°，再判定AB∥FK，由平行线的性质得到∠5=∠4=20°，最后根据平角的性质即可求解．
【详解】解：∵等边△EFG，
∴∠EFG=∠FEG=60°，
作FK∥CD，
∴∠3=180°-∠1=40°，
∴∠4=60°-∠3=20°，
∵AB∥CD，
∴AB∥FK，
∴∠5=∠4=20°，
∴∠2=180°-∠5-60°=100°，
故选：D．
【变式2-3】（24-25八年级下·重庆巴南·期末）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形CDE，连接AE，则∠AEC的大小为（ ）
A．60°B．52.5°C．45°D．37.5°
【答案】C
【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，由正方形性质得AD=CD，∠ADC=90°，由△CDE是等边三角形性质得CD=ED，∠CDE=∠CED=60°，进而得AD=DE，则∠DEA=∠DEA，再根据三角形内角和定理求出∠DEA=15°，继而根据∠AEC=∠CED-∠DEA即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∵△CDE是等边三角形，
∴CD=ED，∠CDE=∠CED=60°，
∴AD=DE，
∴∠DEA=∠DEA，
在△ADE中，∠ADE=∠ADC+∠CDE=150°，
∵∠DEA+∠DEA+∠ADE=180°，
∴2∠DEA+150°=180°，
∴∠DEA=15°，
∴∠AEC=∠CED-∠DEA=45°．
故选：C．
【题型3 根据等边三角形的性质证明】
【例3】（24-25八年级下·辽宁本溪·期中）如图，△ABC为等边三角形，点D为BC延长线上一动点，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转120°得到AE，直线CE与AB交于点F，过点E作EG∥AC交AB的延长线于点G．
(1)求证：∠D=∠BAE；
(2)求证：BD=2AF．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键．
（1）由等边三角形的性质得∠ABC=60°，再由∠D+∠BAD=120°，∠EAD=∠BAD+∠BAE=120°，可得∠D=∠BAE．
（2）先根据AAS证明△AEG≌△DAB，即可得到EG=AB，然后证明△FEG≌△FCA即可得到结论．
【详解】（1）∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=60°，
∵∠ABD+∠D+∠BAD=180°，
∴∠D+∠BAD=120°
由旋转的性质得∠EAD=120°
∴∠EAD=∠BAD+∠BAE=120°
∴∠D=∠BAE．
（2）由旋转的性质得AE=AD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=60°，AB=AC，
∵EG∥AC
∴∠G=∠BAC=60°
∴∠G=∠ABD
∵∠EAG=∠D，AE=AD
∴△AEG≌△DAB
∴BD=AG，AB=EG
∵AC=AB
∴AC=EG
∵∠EFG=∠CFA
∴△FEG≌△FCA
∴AF=FG
∴AG=AF+FG=2AF
∴BD=AG=2AF
【变式3-1】如图，CD是△ABC的中线，将△ABC沿CD折叠，使点A落在点E处，连接BE．若∠ADC=60°，AB=8，求BE的长．
【答案】4
【分析】本题考查的是折叠变换，等边三角形的判定与性质；解题的关键是利用折叠的性质，得出△BDE是等边三角形．根据折叠的性质可得AD=DE，∠ADC=∠EDC=60°，根据点D是AB的中点，得出△BDE是等边三角形，据此即可解得BE的长．
【详解】解：∵CD是△ABC的中线，AB=8，
∴AD=BD=12AB=12×8=4，
∵△ABC沿CD折叠，使点A落在点E处，
∴AD=DE，∠ADC=∠EDC=60°，
∴DE=DB，
∵∠BDE=180°-∠ADC-∠EDC=60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴BE=BD=4．
【变式3-2】（24-25七年级下·四川成都·期中）已知：如图，点E是等边三角形ABC内一点，且EA=EB，△ABC外一点D满足BD=AC，BE平分∠DBC．
(1)求证：△DBE≌△CBE；
(2)求∠BDE的度数．
【答案】(1)见解析
(2)30°
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由等边三角形的性质结合题意可得BD=BC，由角平分线的定义可得∠DBE=∠EBC，利用SAS得出△DBE≌△CBE；
（2）证明△CAE≌△CBESSS，由全等三角形的性质结合等边三角形的性质可得∠ACE=∠BCE=30°，最后再由全等三角形的性质即可得解．
【详解】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴BC=AC，
∵BD=AC，
∴BD=BC，
∵BE平分∠DBC，
∴∠DBE=∠EBC，
∵BE=BE，
∴△DBE≌△CBESAS；
（2）解：∵△ABC为等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60°，
∵CE=CE，EA=EB，
∴△CAE≌△CBESSS，
∴∠ACE=∠BCE，
∵∠ACB=∠ACE+∠BCE=60°，
∴∠ACE=∠BCE=30°，
∵△DBE≌△CBE，
∴∠BDE=∠BCE=30°．
【变式3-3】（24-25七年级上·山东东营·期末）【问题初探】
如图1，已知△ABC为等边三角形，点D为边BC上一动点（点D不与点B，点C重合）．以AD为边向右侧作等边△ADE，连接CE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）猜想并证明①AB与CE的位置关系；②线段EC、AC、CD之间的数量关系．
【类比探究】
（3）如图2，若点D在边BC的延长线上，其它条件不变，随着动点D的运动位置不同，猜想（2）的两个结论是否还成立？若成立，说明理由；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）①AB∥CE；②CE=AC-CD；（3）①AB∥CE成立；②不成立，应为EC=AC+CD，见解析
【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，
（1）根据等边三角形的性质得到AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，进而得到∠BAD=∠CAE，根据“SAS”即可证明；
（2）由△ABD≌△ACESAS得到∠B=∠ACE=60°，CE=BD，从而∠BAC=∠ACE=60°，即可得到AB∥CE，根据线段的和差可得CE=BD=BC-CD=AC-CD；
（3）同（1）可证△ABD≌△ACESAS，得到∠B=∠ACE=60°，CE=BD，从而∠BAC=∠ACE=60°，即可得到AB∥CE，根据线段的和差得到CE=BD=BC+CD=AC+CD，即可解答．
【详解】（1）证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC
即∠BAD=∠CAE
在△ABD和△ACE中
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE
∴△ABD≌△ACESAS
（2）①AB∥CE；②CE=AC-CD.
理由：由（1）得△ABD≌△ACESAS
∴∠B=∠ACE=60°，CE=BD
∴∠BAC=∠ACE=60°
∴AB∥CE
∴CE=BD，AC=BC
∴CE=BD=BC-CD=AC-CD；
（3）①平行成立②不成立，应为EC=AC+CD
理由：∵△ABC和△ADE是等边三角形
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°
∵∠BAC=∠DAE
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC
即∠BAD=∠CAE
在△ABD和△ACE中
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE
∴△ABD≌△ACESAS
∴∠B=∠ACE=60°，CE=BD
∴∠BAC=∠ACE=60°
∴AB∥CE
∵CE=BD，AC=BC
∴CE=BD=BC+CD=AC+CD．
【题型4 证明是等边三角形】
【例4】（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）在等腰△ABC中，AB=AC，点D是AC上一动点，点E在BD的延长线上，且AB=AE，AF平分∠CAE交DE于点F，连接FC．
(1)如图1，求证：EF=CF；
(2)如图2，当∠ABC=60°时，在BE上取点M，使BM=EF，连接AM．求证：△AFM是等边三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．
（1）根据角平分线的定义可得∠EAF=∠CAF，根据题意可推出AE=AC，证明△ACF≌△AEF，即可证明；
（2）由△ACF≌△AEF，结合题意可推出CF=BM，∠ACF=∠ABM，证明△ABM≌△ACF，得到AM=AF，∠BAM=∠CAF，证明△ABC是等边三角形，得到∠BAC=60°，推出∠MAF=∠BAC=60°，结合AM=AF，即可证明．
【详解】（1）证明：∵AF平分∠CAE，
∴∠EAF=∠CAF
∵AB=AC,AB=AE，
∴AE=AC
在△ACF和△AEF中，AC=AE∠CAF=∠EAFAF=AF，
∴△ACF≌△AEFSAS
∴EF=CF；
（2）如图，在BE上截取BM=EF，连接AM，
∵△ACF≌△AEF，
∴EF=CF=BM,∠E=∠ACF=∠ABM
在△ABM和△ACF中，
AB=AC∠ABM=∠ACFBM=CF，
∴△ABM≌△ACFSAS，
∴AM=AF,∠BAM=∠CAF
∵AB=AC,∠ABC=60°
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠MAF=∠MAC+∠CAF=∠MAC+∠BAM=∠BAC=60°，
∵AM=AF
∴△AMF为等边三角形．
【变式4-1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知点A、F、E、B在同一条直线上，CE与DF交于点M，AE=BF，AC=BD,CE=DF，若∠FME=60°，求证：△MFE是等边三角形．
【答案】见详解
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，先根据三边分别相等的三角形是全等三角形，则∠CEA=∠DFB，故FM=ME，再结合有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，即可作答．
【详解】解：∵AE=BF，AC=BD,CE=DF，
∴△ACE≌△BDF，
∴∠CEA=∠DFB，
∴FM=ME，
∵∠FME=60°，
∴△MFE是等边三角形．
【变式4-2】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AD，AC于点F，E，求证：△AEF是等边三角形．
【答案】见解析
【分析】此题考查了等边三角形的判定、直角三角形的性质以及三角形外角的性质．由在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，易得∠BAD=∠C=30°，∠CAD=60°，又由BE平分∠ABC，∠AFE=∠ABF+∠BAD，∠AEF=∠CBE+∠C，即可证得∠AFE=∠AEF，继而证得：△AEF为等边三角形．
【详解】证明：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠BAD+∠CAD=90°，∠CAD+∠C=90°，
∴∠BAD=∠C=30°，∠CAD=60°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBE，
∵∠AFE=∠ABF+∠BAD，∠AEF=∠CBE+∠C，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AF=AE，
∵∠CAD=60°，
∴△AEF为等边三角形．
【变式4-3】（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，在△ABC中，AB=AC,∠ACB>60°，在AC边上取点D，连接BD，使BD=BC．以AD为一边作等边△ADE，且使点E与点B位于直线AC的同侧，∠EAB=2∠BAC．
(1)求∠BDE的度数；
(2)点F在AB上，连接DF,DF=BD，请判断△BDF是否是等边三角形，并说明理由．
【答案】(1)40°
(2)等边三角形，理由见解析
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识．灵活运用等边三角形的判定与性质是解答本题的关键．
（1）利用等边三角形的性质求出∠BAC的度数，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠ABC=∠C=∠BDC=80°，从而根据∠BDE=180°-∠BDC-∠ADE求解即可；
（2）利用等腰三角形的性质求出∠ABD=60°，然后根据DF=BD证明△BDF是等边三角形即可．
【详解】（1）解：在等边 △ADE 中， ∠EAC=∠ADE=60° ，
∵∠EAB=2∠BAC ，
∴∠BAC=20° ，
∵AB=AC ，
∴∠ABC=∠ACB=80° ，
∵BD=BC ，
∴∠BDC=∠ACB=80° ，
∴∠BDE=180°-∠BDC-∠ADE=40° ．
（2）解：△BDF 是等边三角形． 理由如下：
由 （1）可得 ∠BDC=∠ACB=80° ，
∴∠CBD=180°-∠BDC-∠ACB=20° ，
∵∠ABC=80° ，
∴∠FBD=∠ABC-∠CBD=60° ，
∵DF=BD ，
∴△BDF是等边三角形．
【题型5 与等边三角形有关的折叠问题】
【例5】如图，将等边△ABC折叠，使得点B恰好落在AC边上的点D处，折痕为EF，O为折痕EF上一动点，若AD=1，AC=3，△OCD周长的最小值是 ．
【答案】5
【分析】如图，连接BD，OB，由折叠的性质可得EF是BD的对称轴，可得OB=OD，当点B，点O，点C共线时，△OCD周长最小值=2+BC=5．
【详解】解：如图，连接BD，OB，
∵将等边△ABC折叠，使得点B恰好落在AC边上的点D处，
∴EF是BD的对称轴，
∴OB=OD，
∵AD=1，AC=3，
∴CD=2，
∵△OCD周长=CD+OD+OC=2+BO+OC，
∴当点B、O、C共线时，△OCD周长最小值=2+BC=5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了翻折变换，考查了折叠的性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．
【变式5-1】如图是一个等边△ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠后使点A落在BC边上的点D位置，若此时∠BFD=80°，则∠DEF= °．
【答案】70°/70度
【分析】本题考查等边三角形的性质，折叠的性质，三角形的内角和等知识，先由等边三角形的性质可知∠A=60°，利用∠BFD=80°，求出∠AFE，从而利用三角形的内角和求出∠AEF，也就是∠DEF的角度，掌握折叠的性质是解题的关键．
【详解】解： ∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
由折叠的性质可知：∠AFE=∠DFE，∠AEF=∠DEF，
又∵ ∠BFD=80°，
∴∠AFE=∠DFE=180°-∠BFD2=50°，
∴∠DEF=∠AEF=180°-∠A-∠AFE=70°，
故答案为：70°
【变式5-2】如图，已知等边△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B'处，DB'，EB'分别交边AC于点F，G.若∠ADF=80°，则∠GEC的度数为 度．

【答案】40
【分析】根据等边三角形的性质，折叠的性质，得到∠A=∠B'=∠C=60°，结合∠ADF=80°，根据三角形内角和定理，对顶角的性质得∠AFD=∠GFB'=40°，根据∠EGC=∠FGB'得∠GEC=∠GFB'=40°，计算即可．
【详解】∵等边△ABC，△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B'处，
∴∠A=∠B'=∠C=60°，
∵∠ADF=80°，
根据三角形内角和定理，对顶角的性质得
∴∠AFD=∠GFB'=40°，
∵∠EGC=∠FGB'，
∴∠GEC=∠GFB'=40°，
故答案为：40．
【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理，对顶角的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【变式5-3】如图，在一个等边三角形纸片中取三边的中点，以虚线为折痕折叠纸片，图中阴影部分的面积是整个图形面积的 ．

【答案】38
【分析】根据中点和等边三角形的性质得到AF⊥BC，S△ABF=S△ACF=12S△ABC，再求出S△BDF=S△ADF=12S△ABF=14S△ABC，根据直角三角形斜边中线的性质和三线合一求出S△ADO=S△FDO=12S△ADF=18S△ABC，从而根据S阴影=S△BDF+S△FDO可得结果．
【详解】解：如图，∵F分别为BC中点，△ABC是等边三角形，
∴AF⊥BC，S△ABF=S△ACF=12S△ABC，
∵D为AB边中点，
∴S△BDF=S△ADF=12S△ABF=14S△ABC，AD=BD=DF，
∵E为AC中点，
∴D，E关于AF对称，
∴AF垂直平分DE，
∴AO=FO，
∴S△ADO=S△FDO=12S△ADF=18S△ABC，
∴S阴影=S△BDF+S△FDO=14S△ABC+18S△ABC=38S△ABC，
故答案为：38．

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线，三角形面积，解题的关键是掌握基本定理，用边的关系找出面积的关系．
【题型6 等边三角形中的动点问题】
【例6】如图，等边△ABC的边长为4cm，点Q是AC的中点，若动点P以2cm/秒的速度从点A出发沿A→B→A方向运动设运动时间为t秒，连接PQ，当△APQ是等腰三角形时，则t的值为 秒．
【答案】1或3/3或1
【分析】此题考查了等边三角形的性质和判定．此题属于动点问题，难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用．
由等边△ABC的边长为4cm，点Q是AC的中点，可求得AQ的长，然后∠A=60°，可得△APQ为等边三角形，分析△APQ为等边三角形即可求得答案．
【详解】解：∵等边△ABC的边长为4cm，点Q是AC的中点，
∴AQ=12AC=2cm，∠A=60°，
∴当△APQ是等腰三角形时，可得三角形APQ为等边三角形，
∴AP=AQ=PQ，
∵AQ=2，
∴AP=2，
∵动点P的速度为2cm/秒，
∴当P从A→B时，t=2÷2=1，当P从B→A时，t=4+2÷2=3．
故答案为：1或3．
【变式6-1】如图，在△ABC中，∠A=90°,∠B=30°,AC=6厘米，点D从点A开始以1厘米/秒的速度向点C运动，点E从点C开始以2厘米秒的速度向点B运动，两点同时运动，当运动时间为 秒时，△DEC是等边三角形．
【答案】2
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，设运动时间为t秒，则AD=tcm，CE=2tcm，则CD=6-tcm，根据等边三角形的性质得到CE=CD，则6-t=2t，解方程即可得到答案．
【详解】解：设运动时间为t秒，
由题意得，AD=tcm，CE=2tcm，则CD=AC-AD=6-tcm
∵△DEC是等边三角形，
∴CE=CD，
∴6-t=2t，
解得t=2，
∴当运动时间为2秒时，△DEC是等边三角形．
故答案为：2．
【变式6-2】如图，等边三角形ABC的边长为2cm，电子蚂蚁P从点A以1cm/秒的速度沿等边三角形的边顺时针运动，同时电子蚂蚁Q从点A以5cm/秒的速度沿等边三角形的边逆时针运动，则电子蚂蚁P和Q第2023次相遇在 ．
【答案】AC的中点处
【分析】根据题意可得当电子蚂蚁P和Q第1次相遇时，相遇点在AC的中点处，当电子蚂蚁P和Q第2次相遇时，相遇点在点C处，当电子蚂蚁P和Q第3次相遇时，相遇点在BC的中点处，当电子蚂蚁P和Q第4次相遇时，相遇点在点B处，当电子蚂蚁P和Q第5次相遇时，相遇点在AB的中点处，当电子蚂蚁P和Q第6次相遇时，相遇点在点A处，当电子蚂蚁P和Q第7次相遇时，相遇点在AC的中点处，……，由此可得每六个一循环，即可求解．
【详解】解：根据题意得：每间隔1秒，电子蚂蚁P和Q相遇，
当电子蚂蚁P和Q第1次相遇时，相遇点在AC的中点处，
当电子蚂蚁P和Q第2次相遇时，相遇点在点C处，
当电子蚂蚁P和Q第3次相遇时，相遇点在BC的中点处，
当电子蚂蚁P和Q第4次相遇时，相遇点在点B处，
当电子蚂蚁P和Q第5次相遇时，相遇点在AB的中点处，
当电子蚂蚁P和Q第6次相遇时，相遇点在点A处，
当电子蚂蚁P和Q第7次相遇时，相遇点在AC的中点处，
……，
∴每六个一循环，
∵2023÷6=337⋯1，
∴电子蚂蚁P和Q第2023次相遇在AC的中点处．
故答案为：AC的中点处
【变式6-3】（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在等边△ABC中，点D是BC边上一点（点D不与端点重合）．作点D关于直线AB的对称点E，连接AE，在射线DA上取一点F，使∠EFD=60°，EF与AC所在直线交于点G．
(1)求证：∠CAD=∠AHG；
(2)若AD=2，求EG的长；
(3)当D在BC边上运动时，判断△ABC，△ABD，△AEG面积之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)EG的长为2；
(3)S△ABC=2S△ABD+S△AEG，理由见解析；
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等边三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，掌握知识点的应用及正确添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
（1）由等边三角形的性质和已知可得∠BAC=∠EFD=60°，从而∠HAF+∠CAD=∠HAF+∠AHG，从而得出∠CAD=∠AHG；
（2）设∠BAE=∠BAD=α，从而得出∠EAG=∠BAC+∠BAE=60°+α，∠FAG=∠BAC-∠BAD=60°-α，从而得出
∠AGF=180°-∠AFG-∠FAG=180°-60°-60°-α=60°+α，进而得出∠EAG=∠AGF，进一步得出结果；
（3）在BC上截取CQ=BD，设∠BAE=∠BAD=x，可证得△ABD≌△ACQ，从而得出∠CAQ=∠BAD=x，AD=AQ，可证得∠AEG=∠DAQ=60°-2x，从而得出△EAG≌△ADQ，进一步得出结果．
【详解】（1）证明: ∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵∠EFD=60°，
∴∠BAC=∠EFD，
∴∠HAF+∠CAD=∠HAF+∠AHG，
∴∠CAD=∠AHG；
（2）解：∵点D关于直线AB的对称点E，
∴AE=AD=2，∠BAE=∠BAD，
设∠BAE=∠BAD=α，
∴∠EAG=∠BAC+∠BAE=60°+α，∠FAG=∠BAC-∠BAD=60°-α，
∴∠AGF=180°-∠AFG-∠FAG=180°-60°-60°-α=60°+α，
∴∠EAG=∠AGF，
∴EG=AE=2，
∴EG的长为2；
（3）解：S△ABC=2S△ABD+S△AEG，理由如下，
如图，在BC上截取CQ=BD，设∠BAE=∠BAD=x，
∵AC=AB，∠ABC=∠C，
∴△ABD≌△ACQSAS，
∴S△ABD=S△ACQ，∠CAQ=∠BAD=x，AD=AQ，
∴∠DAQ=60°-2x，
同（2）理得∠EAG=∠AGF=60°+x，
∴∠AEG=180°-260°+α=60°-2x，
∴∠AEG=∠DAQ，
∵AE=AD=EG=AQ，
∴△EAG≌△ADQSAS，
∴S△AEG=S△ADQ，
∴S△ABC=S△BAD+S△ACQ+S△ADQ=2S△ABD+S△AEG．
【题型7 等边三角形中的多结论问题】
【例7】如图，已知等边△ABC，AB=2，点D在AB上，点F在AC的延长线上，BD=CF，DE⊥BC于E，FG⊥BC于G，DF交BC于点P，则以下结论：①BE=CG；②△EDP≌GFP；③∠EDP=60°；④EP=1中，一定正确的是（ ）
A．①③B．②④C．①②③D．①②④
【答案】D
【分析】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明三角形全等．
根据等边三角形的性质可以得出△BDE≌△CFG，得BE=CG,DE=FG，可用AAS得△EDP≌△GFP，得出PE=PG，根据边之间的关系即可得EP=1，综上，即可得．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠A=∠B=∠ACB=60°．
∵∠ACB=∠GCF，DE⊥BC，FG⊥BC，
∴∠DEB=∠FGC=∠DEP=90°．
在△DEB和△FGC中，
∠DEB=∠FGC∠B=∠GCFBD=CF，
∴△DEB≌△FGC(AAS)，
∴BE=CG，DE=FG，故①正确；
在△DEP和△FGP中，
∠DEP=∠FGP∠DPE=∠FPGDE=FG，
∴△DEP≌△FGP(AAS)，故②正确；
∴EP=PG，
∠EDP不一定等于60°，当PD⊥AB时，∠EDP=60°，故③错误；
∵PG=PC+CG，
∴PE=PC+BE．
∵PE+PC+BE=2，
∴PE=1．故④正确．
正确的有①②④，
故选：D．
【变式7-1】（24-25八年级下·江西抚州·期中）已知，如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，下列说法：①∠APE=∠C，②BQ=AQ，③BP=2PQ，④BA=AE+BD，其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
【答案】C
【分析】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是根据等边三角形的性质证明△ABE≅△CAD，再根据全等三角形的性质逐个判断即可．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠CAB=∠ACB=60°，
∵AE=CD，
∴△ABE≅△CAD，
∴∠ABE=∠DAC，
∴∠APE=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°，
∴∠APE=∠C，①正确；
∴∠APE=∠BPQ=60°，
∵BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°，∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ，③正确；
∵AB=BC，AE=CD，
∴BA=AE+BD，④正确；
只有当∠BAQ=45°时，BQ=AQ，②不一定正确；
故选：C．
【变式7-2】（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，对于△ABC，若存在点D, E, F分别在AB, BC, AC上，使得∠1=∠2, ∠3=∠4, ∠5=∠6，则称△DEF为△ABC的“反射三角形”．下列关于“反射三角形”的说法中，①若△ABC的“反射三角形”存在，则△ABC必为锐角三角形；②等边三角形的“反射三角形”必为等边三角形；③直角三角形的“反射三角形”必为直角三角形；④等腰三角形的“反射三角形”必为等腰三角形，正确的是 ．
【答案】①②④
【分析】本题主要考查了“反射三角形”，属于新定义问题，还涉及到三角形内角和定理，等腰及等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，读懂题意，合理利用三角形内角和定理是解决问题的关键．根据反射三角形的定义及三角形内角和定理求出∠1=∠2=∠C，∠3=∠4=∠B，∠5=∠6=∠A，再逐个判断即可．
【详解】解：∵∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6，
∴∠3=∠4=180°-∠A-∠1
∴∠5=∠6=180°-∠B-∠1
∵∠4+∠5+∠C=180°
∴180°-∠B-∠1+180°-∠A-∠1+∠C=180°
∴∠C=∠1=∠2
∴∠3=∠4=180°-∠A-∠C=∠B
∴∠5=∠6=180°-∠B-∠C=∠A
∵∠5+∠6+∠DEF=180°
∴∠DEF=180°-2∠A
当∠A≥90°时，∠DEF=180°-2∠A≤0°，
∴钝角三角形或直角三角形不存在反射三角形，
∴只有锐角三角形存在反射三角形，
故①正确，符合题意；
当△ABC是等边三角形时，∠C=∠1=∠2=60°,∠B=∠3=∠4=60°，
∴∠DEF=∠EDF=∠DFE=60°
∴△DEF是等边三角形，
故②正确，符合题意；
当∠A=90°时，∠DEF=180°-2∠A=0°，
∴直角三角形不存在反射三角形
故③错误，不符合题意；
当△ABC是等腰三角形时，假设AB=AC,∠B=∠C，
∵∠5=∠6
∴∠2=∠4
∴∠1=∠3
∴AD=AF
∴BD=CF
∴△EDB≌△EFC(AAS)
∴DE=EF
∴等腰三角形的“反射三角形”必为等腰三角形，
故④正确，符合题意；
故选：①②④．
【变式7-3】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，点B、C、E依次在同一条直线上，△ABC与△CDE在直线BE的同侧且都是等边三角形，给出下面四个结论：①△ACE≌△BCD，②∠AOB=60°，③DE=DG，④BG=AF．上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【分析】根据△ABC与△CDE都是等边三角形，可得AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°，进而得到∠ACE=∠BCD，即可证明①；根据△ACE≌△BCDSAS可得∠AEC=∠BDC，利用三角形外角的性质可得∠AOB=∠OBC+∠AEC=∠OBC+∠BDC=∠DCE=60°，即可证明②；根据条件可证明∠ACD=60°，利用对顶角相等和三角形外角可得∠AGB=∠GBC+∠ACB>60°，即可证明③；根据条件证明△FCE≌△GCDASA，可得DG=EF，即可证明④．
【详解】∵△ABC与△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠ACE=∠BCD
∴△ACE≌△BCDSAS，故①正确；
∵△ACE≌△BCDSAS
∴∠AEC=∠BDC
∴∠AOB=∠OBC+∠AEC=∠OBC+∠BDC=∠DCE=60°，故②正确；
∵△ABC与△CDE都是等边三角形，
∴CD=DE,∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACD=60°
∵∠AGB=∠GBC+∠ACB>60°
∴∠DGC=∠AGB>60°≠∠ACD
∴DG≠DC，即DE≠DG，故③错误；
∵△ABC与△CDE都是等边三角形，
∴CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACD=60°
由①得：△ACE≌△BCDSAS
∴∠AEC=∠BDC，BD=AE
∴△FCE≌△GCDASA
∴DG=EF
∴BD-DG=AE-EF，即BG=AF，故④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角等，灵活运用所学知识是解题关键．