四川省成都市2024_2025学年高三数学上学期10月月考试题含解析

这是一份四川省成都市2024_2025学年高三数学上学期10月月考试题含解析，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 命题“，使”的否定是（ ）
A. ，使B. 不存在，使
C. ，使D. ，使
【答案】D
【解析】
【分析】由存在命题的否定是全称命题即可得出答案.
【详解】命题“，使”的否定是，使.
故选：D.
2. 已知等差数列的前项和为，若，且，则（ ）
A. 60B. 72C. 120D. 144
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等差数列性质及前项和公式计算即得.
【详解】在等差数列中，，解得，
所以.
故选：B
3. 若，则（ ）
A 3B. 4C. 9D. 16
【答案】D
【解析】
【分析】利用对数的运算性质化简给定式子求解即可.
【详解】因，所以，
故得，化简得，
所以，故，故D正确.
故选：D.
4. 底面半径为，侧面展开图的扇形圆心角为的圆锥侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面展开图求圆锥的母线长，进而求侧面积.
【详解】因为圆锥的底面半径为，则侧面展开图的弧长为，
又因为侧面展开图的圆心角为，可得圆锥母线长，
所以圆锥的侧面积.
故选：A.
5. 小王每次通过英语听力测试的概率是，且每次通过英语听力测试相互独立，他连续测试3次，那么其中恰有1次通过的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用次独立重复试验中事件恰好发生次概率计算公式求解.
【详解】小王每次通过英语听力测试的概率是，且每次通过英语听力测试相互独立，他连续测试3次，那么其中恰有1次通过的概率是,
故选：A
6. 已知，是方程的两个根，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由根与系数的关系得到，，利用正切和差角公式得到等量关系，建立方程，解得结果.
【详解】由题意可得：，.
又∵
∴，∴.
故选：A
7. 当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中是消光系数，（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度处和海面的光强.已知某海域5米深处的光强是海面光强的，则该海域消光系数的值约为（ ）
（参考数据：）
A. 0.2B. 0.18C. 0.1D. 0.14
【答案】B
【解析】
【分析】理解题意，代值后，将指数式化成对数式，取近似值计算即得.
【详解】依题意得，，
化成对数式，，解得，.
故选：B.
8. 已知函数，方程有四个不同根，且满足，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】做出函数大致图像，由对称性得关系，对数函数的性质的的关系，从而化简代数式，由双勾函数的定义域得出取值范围.
【详解】作出函数图像可得，
从而得，且，从而得，
∴，
∵令，∵，∴
令，则
∵在单调递增，
∴
∴．
故选：D．
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 函数y的值可能为( )
A. ﹣3B. 3C. 1D. ﹣1
【答案】BD
【解析】
【分析】按照角x所在的象限进行分类讨论即可得到答案．
【详解】当x是第一象限角时：1＋1＋1＝3，
当x是第二象限角时：1﹣1﹣1＝﹣1，
当x是第三象限角时：1﹣1＋1＝﹣1，
当x是第四象限角时：1＋1﹣1＝﹣1，
∴y的可能值为：﹣1，3．
故选：BD．
10. 已知椭圆：的离心率为，长轴长为6，，分别是椭圆的左、右焦点，是一个定点，是椭圆上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 椭圆的标准方程为
C. D. 的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】由题意得出的值，得到椭圆方程，由此判断出ABC选项，D选项需要对线段转化为，变成求最大值，从而得出结果.
【详解】由题意可知：，解得，
∴，A选项正确；
∴
∴椭圆：，B选项正确；
∵，∴，C选项错误；
，
当且仅当在之间且它们三点共线时等号成立，D选项正确；
故选：ABD
11. 已知，.若存在，，使得成立，则下列结论中正确的是（ ）
A. 当时，B. 当时，
C. 不存在，使得成立D. 恒成立，则
【答案】AB
【解析】
【分析】A选项，转化同构形式，根据函数在上单调，可得，即；B选项，转化为研究函数的最小值问题即可；C选项，特值验证，找到满足条件即可；D选项，不等式变形、分离参数，转化为恒成立问题，构造函数研究最值即可.
【详解】选项A，，
则，且，
由，得，
当时，，则在上递增，
所以当时，有唯一解，故，
，故A正确；
选项B，由A正确，得，
设，则，
令，解得
易知在上单调递增，在上单调递减，
，，，故B正确；
选项C，由，，
得，又验证知，
故存在，使得，C错误；
选项D，由，恒成立，即恒成立，
令，则，
由在上递增，又，，
存在，使，
在上递减，在上递增（其中满足，即）.
，
要使恒成立，，存在满足题意，故D错误.
故选：AB.
【点睛】方法点睛：在应用导数研究函数的综合题型中，在题干条件中同时出现指数函数和对数函数，通常可以考虑借助幂函数作为桥梁，通过变形转化为相同结构的式子，再构造函数研究问题，即指对同构思想的应用.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 是虚数单位，复数________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据复数除法法则计算出答案.
详解】.
故答案为：
13. 已知函数，若，，且，则的最小值是______
【答案】8
【解析】
【分析】由函数奇偶性的定义可知为奇函数，根据单调性可知，然后结合基本不等式即可求解.
【详解】函数的定义域为，且，
所以为奇函数，又，所以函数单调递增，
又，所以，
所以，即，
所以，
当且仅当，即，，等号成立，
所以的最小值为.
故答案：.
14. 作单位圆的外切和内接正边形，记外切正边形周长的一半为，内接正边形周长的一半为.计算可得，其中是正边形的一条边所对圆心角的一半.
给出下列四个结论：
①；②；
③；④记，则，.
其中正确结论的序号是__________.
【答案】①③④
【解析】
【分析】对于①，在等腰三角形中求出，从而可求出，对于②，分别计算进行判断，对于③，分别计算进行判断，对于④，先计算，再计算化简后，利用换元法，构造函数利用导数可求得结果.
【详解】对于①，等腰三角形中，，则，
所以，所以①正确；
对于②，因为，，所以，，
所以，
，
所以，所以②错误；
对于③，因为，，所以，，，
所以，
，
所以，所以③正确；
对于④，，
所以
，
令（），则
，
所以，
所以在上递增，
所以，所以，所以④正确，
故答案为：①③④.
【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数的综合应用，考查数列的应用，解题的关键是根据题意利用三角函数表示出和，及三角函数恒等变换公式的灵活应用，考查计算能力，属于难题.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知，且.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式和同角三角函数的关系对函数化简得，然后由可求得的值；
（2）由求出，则可求得，再利用正切的二倍角公式可求得，然后利用两角和的正切公式可求得结果
【详解】（1）
，
由，得.
所以
（2）若，
则，则
由，得，
所以.
16. 注重劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，直接决定社会主义建设者和接班人的劳动精神面貌、劳动价值取向和劳动技能水平.某市开辟特色劳动教育基地，指导学生种植豆角，某同学针对“豆角亩产量的增加量y（百千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间的关系”进行研究，得出了y与x具有线性相关关系的结论．现从劳动基地的豆角试验田中随机抽取亩，其亩产增加量与该肥料每亩使用量关系如下表：
（1）求豆角亩产量的增加量y对该液体肥料每亩使用量x的线性回归方程．预测该液体肥料每亩使用量为12千克时，豆角亩产量的增加量为多少百千克？
（2）若豆角亩产量的增加量不低于5百千克的试验田称为“优质试验田”，现从抽取的5亩试验田中随机选出亩，记其中优质试验田的数量为，求的分布列和数学期望．
参考公式：，．参考数据：，.
【答案】（1），6.65百千克
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据公式求出平均值，再求出，最后平均值代入求出即可.
（2）根据超几何分布的概率公式求出概率分布列，最后求出期望即可.
小问1详解】
，，

， 所以，
当时，
所以预测当液体肥料每亩使用量为12千克时，豆角亩产量的增加量为6.65百千克.
【小问2详解】
由表可知，优质试验田有2亩，
所以的可能取值为0，1，2．
；；.
故分布列为
17. 已知如图①，在菱形中，且，为的中点，将沿折起使，得到如图②所示的四棱锥.
（1）求证：平面平面；
（2）若为的中点，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用题中所给的条件证明，，因为，所以，，即可证明平面，进一步可得面面垂直；
（2）先证明平面，以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，利用向量的夹角公式即可求解
【详解】解：（1）在图①中，连接，如图所示：
因为四边形为菱形，，所以是等边三角形.
因为为的中点，所以，.
又，所以.
在图②中，，所以，即.
因为，所以，.
又，，平面.
所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）由（1）知，，.
因为，，平面.
所以平面.
以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系：
则，，，，.
因为为的中点，所以.
所以，.
设平面的一个法向量为，
由得.
令，得，，所以.
设平面的一个法向量为.
因为，
由得
令，，，得
则，
所以二面角的余弦值为.
【点睛】思路点睛：证明面面垂直的思路
（1）利用面面垂直的定义，（不常用）
（2）利用面面垂直的判定定理；
（3）利用性质：，.
18. 过双曲线右焦点的直线与的左､右支分别交于点，与圆：交于（异于）两点.
（1）求直线斜率的取值范围；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设，直线的方程为，与椭圆联立消x得，利用韦达定理结合已知列不等式，根据直线与圆的位置关系列不等式求解m范围，即可得解.
（2）利用弦长公式求解，利用垂径定理求得，从而求得的表达式，然后设，利用二次函数性质求解范围即可.
【小问1详解】
设，由题意可得直线的斜率存在且不为零，
设直线的方程为，
与联立得，
所以，
又两点在轴同一侧，所以.此时，即.
圆的方程为，点到直线的距离，
由得，由得，所以或
因为直线的斜率，所以直线斜率的取值范围是.
【小问2详解】
由（1）可得
.
，
所以
设，则，
所以的取值范围是.

19. 已知函数．
（1）若曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求的值；
（2）若，证明：；
（3）若在上有且仅有一个极值点，求正实数的取值范围．
【答案】（1）或
（2）证明见详解 （3）
【解析】
【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程，进而结合面积列式求解即可；
（2）分析可知原不等式等价于，构建，利用导数分析证明；
（3）构建，分析可知原题意等价于有零点，利用导数分析求解.
【小问1详解】
由题意可知：的定义域为，且，
则，，
即切点坐标为，切线斜率，则切线方程为，
令，可得，
可知切线与两坐标轴围成的三角形的面积为，解得或，
所以的值为或.
【小问2详解】
若，则，
若，等价于，
设，则，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则，即，
所以.
【小问3详解】
由（1）可知：，
令，整理可得，
设，
则，
因为，，所以，
所以函数在上单调递减，且当趋近于，趋近于，
所以只需，得，
所以正实数的取值范围.
【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：
（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；
（2）求导数，得单调区间和极值点；
（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解．
某种液体肥料每亩使用量x（千克）
2
4
5
6
8
豆角亩产量的增加量y（百千克）
3
4
4
5
5
0
1
2