2024年中考数学（重庆）押题预测卷二（含答案）

这是一份2024年中考数学（重庆）押题预测卷二（含答案），共39页。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（共40分）
1．2024相反数的倒数是（ ）
A．B．C．2024D．
2. 2023年10月8日晚，伴随圣火缓缓熄灭，杭州第19届亚运会圆满闭幕，亚运是体育盛会，也是文化旅游的盛会．下列与杭州亚运会有关的图案中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．估计的值应在（ ）
A．和之间B．和之间C．和之间D．和之间
4．如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
5．某商场购进一款年货大礼包，经调研发现，当该款大礼包每盒的售价为45元时，每天可售出100盒，每盒的售价每降低1元，每天的销量增加10盒，要使该款大礼包每天的销售额达到6000元，每盒的售价应降低多少元？若设该款大礼包每盒降价元，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，点是的重心，过点作的平行线，分别交，于点，若，则的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
7．如图，正方形的边长为，点分别在边，上，且平分，，连接，分别交，于点，点．是线段上的一个动点，过点作，垂足为，连接，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为 （ ）
A．B．C． D．
9．若关于的一元一次不等式组恰有个整数解，且关于的分式方程的解是非负数，则所有满足条件的整数的值之和是( )
A．10B．13C．15D．18
10．对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”，例如，对于1，2，3进行“差绝对值运算”，得到：．
①对－2，3，5，9进行“差绝对值运算”的结果是35；②x，，5的“差绝对值运算”的最小值是；
③a，b，c的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种；以上说法中正确的个数为（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题（本大题共8个小题，每题4分，满分32分，将答案填在答题纸上）
11． ．
12．随着科学技术的不断发展，某地探讨并建成两个水果种植基地A和B，为了让农民快速致富，聘请了农科院的四位专家每两人一组分别去A和B基地现场指导，这四位专家分别为王专家、李专家、刘专家和杨专家，该地为了公平、公正，采用抽签的方式随机让两位专家去对应的水果种植基地，由此可知，王专家和李专家分成一组去A基地的概率是
13．叶脉绣是以树叶为载体，以传统刺绣衬托出叶脉美的刺绣工艺品，可谓自然之美与中国传统刺绣结合得相得益彰．实际上，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点是的黄金分割点，如果的长为，那么的长为 ．
14．如图1是我国明末《崇祯历书》之《割圆勾股八线表》中所绘的割圆八线图.如图2，根据割圆八线图，在扇形中，，和都是的切线，点和点是切点，交于点，交于点，．若，则的长为 ．
图1 图2
15．“几处早莺争暖树，谁家春燕啄春泥”，阳春三月，春暖花开，某校决定组织该校七年级全部学生进行春游活动，需要租用甲、乙、丙三种不同型号的巴士出行．已知甲种巴士的载客人数是乙种巴士载客人数的2倍，丙种巴士每辆载客40人，且丙种巴士的载客人数不低于乙种巴士的载客人数，不超过甲种巴士的载客人数．现在学校预计租用甲、丙两种巴士共10辆及若干辆乙种巴士，这样七年级学生刚好能全部坐满每辆车，且乘坐乙种巴士和丙种巴士的有440人．结果在出发前若干学生因故不能参加春游活动，这样学校就可以少租1辆乙种巴士，且有一辆乙种巴士还空了5个位置（其余车辆仍是满载），这样乘坐甲种巴士和乙种巴士的共505人，则该校七年级有______学生．
16．如图，曲线是由函数在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转得到的，过点从的直线与曲线相交于点M、N．若的面积为3，则 ．
17．某投球发射装置斜向上发射进行投球实验，球离地面的高度（米）与球运行时间（秒）之间满足函数关系式，该装置的发射点离地面10米，球筐中心点离地面35米．如图，若某次投球正好中心入筐，球到达球筐中心点所需时间为5秒，那么这次投球过程中球离地面的高度（米）与球运行时间（秒）之间满足的函数关系式为 ．（不要求写自变量的取值范围）；我们把球在每2秒内运行的最高点离地面的高度与最低点离地面的高度的差称为“投射矩”，常用字母“”表示．那么在这次投球过程中，球入筺前的取值范围是 ．
18．如图，菱形的边长为2，，将菱形纸片翻折，使点B落在对角线上的点处，折痕为，连接，当为等腰三角形时，的长为 ．
三、解答题 （本大题共8小题，其中19题8分，其余每题各10分，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（8分）计算：(1)；(2)．
20．（10分）如图，在平行四边形中，是对角线．
(1)用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，分别交，，于点，，（只保留作图痕迹）；
(2)在（1）的图形中，连接，，试猜想线段与的数量关系，并加以证明．（请补全下面的解题过程）
解：猜想证明如下：
__________，，__________．
是的垂直平分线 __________．
在和中，． __________．
四边形是平行四边形．
．．
21．（10分）“安全责任重于泰山”，为切实做好学校消防安全、反恐防暴等安全工作，提高学校的应急处置能力，打造平安校园，培养让学生终身受益的灾害应急能力，某校开展了一次消防、反恐防暴培训及演练活动．为了解此次活动效果，随机抽取了七年级、八年级、九年级学生若干名(抽取的各年级学生人数相同)进行网上问卷测试，并对得分情况进行整理和分析(得分用整数x表示，单位：分)，且分为A，B，C三个等级，分别是：优秀为A等级：；合格为B等级：；不合格为C等级：．分别绘制成如下统计图表，其中七年级学生测试成绩的众数出现在A组．A组测试成绩情况分别为：85，85，87，92，95，95，95，95，97，98，99，100；八年级学生测试成绩中A组共有a个人．
七年级、八年级、九年级三组样本数据的平均数、中位数、众数和方差如表所示：
根据以上信息，解答下列问题：(1)填空： ， ， ；
(2)根据以上数据，估计该学校哪个年级的测试成绩最好，并说明理由；
(3)若该校七年级、八年级、九年级各有200人，请估计该校初中学生中成绩为优秀的学生共有多少人？
22．（10分）如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高为，长度均为的连杆，与始终在同一平面上．
(1)转动连杆，，使成平角，，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度．
(2)将（1）中的连杆再绕点C逆时针旋转，使，此时连杆端点D离桌面l的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到，参考数据：，）
23．（10分）普陀山佛茶又称佛顶山云雾茶，具有提神解乏之功效和一定的药用价值．舟山某茶店用32000元购进A等级茶叶若干盒，用6000元购进B等级茶叶若干盒，所购A等级茶叶比B等级茶叶多10盒，已知A等级茶叶的每盒进价是B等级茶叶每盒进价的4倍．
(1)A，B两种等级茶叶的每盒进价分别为多少元？
(2)当购进的所有茶叶全部售完后，茶店以相同的进价再次购进A，B两种等级茶叶共60盒，但购茶的总预算控制在36000元以内．若A等级茶叶的售价是每盒900元，B等级茶叶的售价为每盒250元，则A，B两种等级茶叶分别购进多少盒时可使获利润最大？最大利润是多少？
24．（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点．与坐标轴交于C、D两点，连接、，已知，的面积为1．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)P是线段的中点，直线向上平移个单位长度后，将的面积分成两部分，求b的值；
(3)我们把只有一组邻边相等，且只有一组对角为直角的四边形，叫作“直角等补形”；设M为y轴负半轴上一点，N为平面内一点，当四边形是直角等补形时，求点M的坐标．
25．（10分）在矩形中，，，点P是边上一点，连接交对角线于点E，
(1)如图1，当时，求的长；
(2)如图2，当时，将线段对折使A、P重合，折痕分别交线段、、、于点M，G，F，N，连接．求的值；
(3)如图3，若将线段对折使A、P重合后，折痕恰好过点D，连接交于点Q，求；
(4)如图4，在（3）的条件下，线段、上有两个动点、，请直接写出的最小值．
26．（10分）如图1，抛物线与x轴交于点，B，与y轴交于点C，直线的解析式为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)P是上方抛物线上一点，过点P作的平行线与交于点E，与x轴交于点Q，若，求点P的坐标；
(3)如图2，P是上方抛物线上一点，过点P作的垂线，交抛物线于另一点D，Q为平面内一点，若直线，与抛物线均只有一个公共点，求证：点Q在某条定直线上．
2024年中考押题预测卷02【重庆卷】
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（共40分）
1．2024相反数的倒数是（ ）
A．B．C．2024D．
【答案】B
【分析】本题考查了相反数和倒数的定义，正确理解相反数和倒数的概念是解题的关键．相反数：只有符号不同的两个数互为相反数， 倒数：如果两个数的乘积等于1，那么这两个数就互为倒数．根据相反数和倒数的概念即可判断答案．
【详解】的相反数是，相反数的倒数是．故选：B．
2.2023年10月8日晚，伴随圣火缓缓熄灭，杭州第19届亚运会圆满闭幕，亚运是体育盛会，也是文化旅游的盛会．下列与杭州亚运会有关的图案中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了中心对称图形的定义，正确理解中心对称图形的定义是解答本题的关键，“ 把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”，根据中心对称图形的定义即可得到结果．
【详解】选项A，图形不是中心对称图形，不符合题意；
选项B，图形是中心对称图形，符合题意；选项C，图形不是中心对称图形，不符合题意；
选项D，图形不是中心对称图形，不符合题意．故选：B．
3．估计的值应在（ ）
A．和之间B．和之间C．和之间D．和之间
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，根据二次根式的运算法则先化简，再利用夹逼法即可估算出无理数的范围，掌握夹逼法是解题的关键．
【详解】解：，，
∵，∴，∴，
即的值在和之间 故选：．
4．如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，首先求出和，再根据平行线的性质求出和即可．
【详解】解：∵，∴，
∵，∴，
∴．故选：C．
5．某商场购进一款年货大礼包，经调研发现，当该款大礼包每盒的售价为45元时，每天可售出100盒，每盒的售价每降低1元，每天的销量增加10盒，要使该款大礼包每天的销售额达到6000元，每盒的售价应降低多少元？若设该款大礼包每盒降价元，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设该款大礼包每盒降价元，根据该款大礼包每天的销售额达到6000元，列出方程即可．
【详解】解：设该款大礼包每盒降价元，根据题意得：，故选：D．
6．如图，点是的重心，过点作的平行线，分别交，于点，若，则的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的重心．熟练掌握三角形重心的性质，相似三角形的判定及性质，是解题的关键．三角形的重心性质；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．
连接并延长交于F，根据三角形重心的性质得到，得到，根据，得到，根据相似三角形的性质得到，然后利用比例的性质即得．
【详解】连接并延长交于F，如图，∵点P是的重心，∴，∴，
∵，∴，∴，∴．故选：C．
7．如图，正方形的边长为，点分别在边，上，且平分，，连接，分别交，于点，点．是线段上的一个动点，过点作，垂足为，连接，则的最小值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、角平行线的定义，线段垂直平分线的判定与性质、勾股定理，连接与交于点，交于点，连接，，证明，得到，，进而可证明，得到，推导出是线段的垂直平分线，得到，由两点之间线段最短可得，当点与点重合时，的值最小，进而由，求出即可求解，确定出点与点重合时，的值最小是解题的关键．
【详解】解：如图，连接与交于点，交于点，连接，，

∵四边形为正方形，∴，，
∵，，，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，∴，
∵平分，∴，∵，∴，，
∴是线段的垂直平分线，∴，当点与点重合时，的值最小，
此时，即的最小值是的长，
∵正方形的边长为，∴，∴
∴的最小值为，故选：．
8．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为 （ ）

A．B．C． D．
【答案】C
【分析】本题考查数字的变化类，根据图形，可以写出和的个数，然后即可发现和的变化特点，从而可以写出十二烷的化学式．
【详解】由图可得，甲烷的化学式中的有1个，有（个，
乙烷的化学式中的有2个，有（个，
丙烷的化学式中的有3个，有（个，，
十二烷的化学式中的有12个，有（个，即十二烷的化学式为，故选：C．
9．若关于的一元一次不等式组恰有个整数解，且关于的分式方程的解是非负数，则所有满足条件的整数的值之和是( )
A．10B．13C．15D．18
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法与分式方程的解法；分别解出一元一次不等式组的解集和分式方程的解，根据题目要求求出a的取值范围，再求出满足条件的整数a的值之和即可．
【详解】解：解一元一次不等式组，得，
∵一元一次不等式组恰有4个整数解，∴，∴，
解分式方程，去分母，得，得，
∵分式方程的解为非负数，∴且，解得且，
综上，满足条件的整数a有，，，∴，故选：B．
10．对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”，例如，对于1，2，3进行“差绝对值运算”，得到：．
①对－2，3，5，9进行“差绝对值运算”的结果是35；②x，，5的“差绝对值运算”的最小值是；
③a，b，c的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种；以上说法中正确的个数为（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
【答案】C
【分析】本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，整式的加减运算．①根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，即可判定；②根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，即可判定；③首先根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，再分类讨论，化简绝对值符号，即可判定．
【详解】①对，3，5，9进行“差绝对值运算”得：，故①正确；
②对，，5进行“差绝对值运算”得：，
表示的是数轴上点到和5的距离之和，的最小值为，
，，5的“差绝对值运算”的最小值是：，故②不正确；
对，，进行“差绝对值运算”得：，
当，，，；
当，，，；
当，，不可能；
当，，，；
当，，，；
当，，，；
当，，不可；
当，，，；
，，的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有7种，故③不正确，综上，故只有1个正确的．故选：C．
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题（本大题共8个小题，每题4分，满分32分，将答案填在答题纸上）
11． ．
【答案】/
【分析】本题考查了实数的混合运算，根据化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，求一个数的立方根，进行计算即可求解．
【详解】解：，故答案为：．
12．随着科学技术的不断发展，某地探讨并建成两个水果种植基地A和B，为了让农民快速致富，聘请了农科院的四位专家每两人一组分别去A和B基地现场指导，这四位专家分别为王专家、李专家、刘专家和杨专家，该地为了公平、公正，采用抽签的方式随机让两位专家去对应的水果种植基地，由此可知，王专家和李专家分成一组去A基地的概率是
【答案】
【分析】本题主要考查概率公式，先求出四位专家两人一组时王专家和李专家分成一组时的概率，再计算王专家和李专家分成一组去A基地的概率即可，
【详解】解：用坐标表示（A，B）表示共有6种情况：
（王专家，李专家）（王专家，刘专家）（王专家，杨专家）（刘专家，李专家）（杨专家，李专家）（刘专家，杨专家），所以王专家和李专家分成一组去A基地的概率为，故答案为：．
13．叶脉绣是以树叶为载体，以传统刺绣衬托出叶脉美的刺绣工艺品，可谓自然之美与中国传统刺绣结合得相得益彰．实际上，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点是的黄金分割点，如果的长为，那么的长为 ．

【答案】
【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【详解】解：点是的黄金分割点，
，，故答案为：．
14．如图1是我国明末《崇祯历书》之《割圆勾股八线表》中所绘的割圆八线图.如图2，根据割圆八线图，在扇形中，，和都是的切线，点和点是切点，交于点，交于点，．若，则的长为 ．

图1 图2
【答案】/
【分析】根据切线的性质，可得，结合，，可得是等边三角形，在和中，根据特殊角的三角函数，即可求得、的长，即可求解，
本题考查了切线的性质，特殊角三角函数，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．
【详解】解：∵和是的切线，∴，
又∵，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
又∵，∴是等边三角形，∴，，
∴，，，∴，故答案为：．
15．“几处早莺争暖树，谁家春燕啄春泥”，阳春三月，春暖花开，某校决定组织该校七年级全部学生进行春游活动，需要租用甲、乙、丙三种不同型号的巴士出行．已知甲种巴士的载客人数是乙种巴士载客人数的2倍，丙种巴士每辆载客40人，且丙种巴士的载客人数不低于乙种巴士的载客人数，不超过甲种巴士的载客人数．现在学校预计租用甲、丙两种巴士共10辆及若干辆乙种巴士，这样七年级学生刚好能全部坐满每辆车，且乘坐乙种巴士和丙种巴士的有440人．结果在出发前若干学生因故不能参加春游活动，这样学校就可以少租1辆乙种巴士，且有一辆乙种巴士还空了5个位置（其余车辆仍是满载），这样乘坐甲种巴士和乙种巴士的共505人，则该校七年级有______学生．
【答案】740
【分析】设甲型巴士a辆，乙型巴士b辆，丙型巴士辆，乙型巴士载x人，甲型巴士载2x人，根据题意，得，求得x，b，后根据不等式的性质，取值的整数性质，讨论计算即可．
【详解】解：设甲型巴士a辆，乙型巴士b辆，丙型巴士辆，乙型巴士载x人，甲型巴士载2x人，
根据题意，得，解得，因为，所以；
因为，且a为整数，b为整数，x为整数，所以，
所以（人），故答案为：740．
【点睛】本题考查了方程组的解法，不等式组的解法，整数的性质，熟练掌握方程组的解法，不等式组的解法是解题的关键．
16．如图，曲线是由函数在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转得到的，过点从的直线与曲线相交于点M、N．若的面积为3，则 ．

【答案】4
【分析】由题意，，，可知：，建立新的坐标系：为轴，为轴，设，，，，利用根与系数的关系和的面积是3，可得结论．
【详解】解：连接，，过作轴于，过作轴于，
点，，，，，，，，
同理得：，，，，
函数在第一象限内的图象绕坐标原点逆时针旋转，
建立新的坐标系：为轴，为轴，则旋转后的函数解析式为：，
在新的坐标系中，，，设直线的解析式为：，
则，解得，直线的解析式为：，
设，，，，由得：，，，
，整理得，
，，，，；故答案为：4．
【点睛】本题考查坐标与图形的性质，反比例函数的性质，一次函数，根与系数的关系，旋转的性质，数形结合．
17．某投球发射装置斜向上发射进行投球实验，球离地面的高度（米）与球运行时间（秒）之间满足函数关系式，该装置的发射点离地面10米，球筐中心点离地面35米．如图，若某次投球正好中心入筐，球到达球筐中心点所需时间为5秒，那么这次投球过程中球离地面的高度（米）与球运行时间（秒）之间满足的函数关系式为 ．（不要求写自变量的取值范围）；我们把球在每2秒内运行的最高点离地面的高度与最低点离地面的高度的差称为“投射矩”，常用字母“”表示．那么在这次投球过程中，球入筺前的取值范围是 ．

【答案】
【分析】由题意可知该二次函数过点，，再利用待定系数法即可求出其解析式；由（1）可知，再根据的取值范围，分别列出，，时的方程式，综合得出的取值范围．
【详解】解：如图，

由题意可知，．则，解得：，
球离地面的高度（米）与球运行时间（秒）之间满足的函数关系式为；
整理可得抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为
当，
当，
当时，
综上，的取值范围为 故答案为：①②
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，一次函数的实际应用，绝对值的性质，不等式的性质，理解题意，正确求出与之间的函数关系式和与之间的函数关系式是解题关键．
18．如图，菱形的边长为2，，将菱形纸片翻折，使点B落在对角线上的点处，折痕为，连接，当为等腰三角形时，的长为 ．

【答案】或
【分析】连接，交于点H，设与的交点为，四边形是菱形，求出，，分和及三种情况讨论．
【详解】解：连接，交于点H，设与的交点为，

点落在对角线上，，即，
是边长为2的菱形，，，
，，，，
由折叠的性质得：，，四边形是菱形，
，，，
当时，此时点重合，，不符合题意；
当时，如图1，则，，
，；
当时，如图2，则，
，，
，，，；
综上，的长为或，故答案为：或．
【点睛】此题主要考查菱形的折叠问题，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形，三角形全等的判定与性质，菱形判定与性质，直角三角形的特征，解题的关键是熟知菱形的性质、折叠的特点．
三、解答题 （本大题共8小题，其中19题8分，其余每题各10分，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．计算：(1)；(2)．
【答案】(1)(2)
【分析】利用单项式乘以多项式，平方差公式，以及完全平方差公式化简，去括号合并同类项得到化简结果；先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再将分式除法转化为乘法，分子分母因式分解约分化简计算即可；
【详解】（1）原式（2分）
（3分）
（4分）
（2）原式（5分）
（6分）
（7分）
（8分）
【点睛】本题考查了单项式乘多项式，乘法公式，分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20．如图，在平行四边形中，是对角线．
(1)用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，分别交，，于点，，（只保留作图痕迹）；
(2)在（1）的图形中，连接，，试猜想线段与的数量关系，并加以证明．（请补全下面的解题过程）

解：猜想证明如下：
__________，，__________．
是的垂直平分线 __________．
在和中，
． __________．
四边形是平行四边形．
．．
【答案】(1)作图见解析(2)四边形是平行四边形；；；
【分析】（1）根据尺规作图的方法步骤按要求作图即可得到答案；
（2）根据平行四边形性质、中垂线性质、全等三角形性质即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示：
（2分）
（2）解：猜想，证明如下：
四边形ABCD是平行四边形，，（4分）
，，（6分）
是的垂直平分线，，（8分）
在和中，
，，（10分）
四边形是平行四边形，，
，．
故答案为：四边形是平行四边形；；；．
【点睛】本题考查平行四边形综合，涉及尺规作图-中垂线、平行四边形性质、中垂线性质及全等三角形性质等知识，熟练掌握中垂线尺规作图方法、平行四边形性质、中垂线性质及全等三角形性质是解决问题的关键．
22．“安全责任重于泰山”，为切实做好学校消防安全、反恐防暴等安全工作，提高学校的应急处置能力，打造平安校园，培养让学生终身受益的灾害应急能力，某校开展了一次消防、反恐防暴培训及演练活动．为了解此次活动效果，随机抽取了七年级、八年级、九年级学生若干名(抽取的各年级学生人数相同)进行网上问卷测试，并对得分情况进行整理和分析(得分用整数x表示，单位：分)，且分为A，B，C三个等级，分别是：优秀为A等级：；合格为B等级：；不合格为C等级：．分别绘制成如下统计图表，其中七年级学生测试成绩的众数出现在A组．A组测试成绩情况分别为：85，85，87，92，95，95，95，95，97，98，99，100；八年级学生测试成绩中A组共有a个人．

七年级、八年级、九年级三组样本数据的平均数、中位数、众数和方差如表所示：
根据以上信息，解答下列问题：(1)填空： ， ， ；
(2)根据以上数据，估计该学校哪个年级的测试成绩最好，并说明理由；
(3)若该校七年级、八年级、九年级各有200人，请估计该校初中学生中成绩为优秀的学生共有多少人？
【答案】(1)13；95；86(2)九年级的成绩比较好，理由见解析
(3)估计该校初中学生中成绩为优秀的学生共有人
【分析】（1）根据抽取的各年级学生人数相同，得出八年级抽取的学生人数，乘以A组所占百分比即可得出a；根据中位数和众数的定义求b和c；（2）根据众数、方差的意义进行比较；（3）利用样本估计总体思想求解．
【详解】（1）解：由题意得，；
把七年级20名学生的成绩从低到高排列处在第10名和第11名的成绩分别为85，87，
∴七年级的中位数；
∵七年级学生测试成绩的众数出现在A组，且七年级成绩在A组中得分为95的人数最多，
∴七年级的众数，故答案为：13；95；86；（3分）
（2）解：九年级的成绩比较好，理由如下：（4分）
∵三个年级中九年级的平均成绩最好，且九年级的众数最大，方差最小，即九年级的成绩更加稳定，
∴九年级的成绩比较好；（7分）
（3）解：人，
∴估计该校初中学生中成绩为优秀的学生共有人．（10分）
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、中位数、众数、方差、利用样本估计总体等，难度一般，掌握各统计量的含义是解题的关键．
22．如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高为，长度均为的连杆，与始终在同一平面上．
(1)转动连杆，，使成平角，，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度．
(2)将（1）中的连杆再绕点C逆时针旋转，使，此时连杆端点D离桌面l的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到，参考数据：，）

【答案】(1)(2)减少了
【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
（1）如图2中，作于O．解直角三角形求出即可解决问题．（2）作DF⊥l于F，于P，于G，于H．则四边形是矩形，求出，再求出即可解决问题．
【详解】（1）如图2中，作于O．

∵，∴四边形是矩形，∴，（2分）
∴，∴，（4分）
∴．（5分）
（2）作DF⊥l于F，于P，于G，于H．则四边形是矩形，（6分）
∵，∴，∵，∴，（7分）
，，（8分）
∴，（9分）
∴下降高度：．（10分）
23．普陀山佛茶又称佛顶山云雾茶，具有提神解乏之功效和一定的药用价值．舟山某茶店用32000元购进A等级茶叶若干盒，用6000元购进B等级茶叶若干盒，所购A等级茶叶比B等级茶叶多10盒，已知A等级茶叶的每盒进价是B等级茶叶每盒进价的4倍．
(1)A，B两种等级茶叶的每盒进价分别为多少元？
(2)当购进的所有茶叶全部售完后，茶店以相同的进价再次购进A，B两种等级茶叶共60盒，但购茶的总预算控制在36000元以内．若A等级茶叶的售价是每盒900元，B等级茶叶的售价为每盒250元，则A，B两种等级茶叶分别购进多少盒时可使获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)A等级茶叶的每盒进价为800元，B等级茶叶的每盒进价为200元；
(2)再次购进A等级茶叶40盒，B等级茶叶20盒时，可使所获利润最大，最大利润是5000元．
【分析】此题考查了分式方程、一次函数、一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）设B等级茶叶的每盒进价为x元，则A等级茶叶的每盒进价为元，根据所购A等级茶叶比B等级茶叶多10盒列分式方程，解方程并检验即可得到答案；
（2）设茶店再次购进m盒A等级茶叶，则购进盒B等级茶叶，先求出m的取值范围，设茶店再次购进的两种等级茶叶全部售出后获得的总利润为w元，列出w关于m的一次函数，根据一次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：设B等级茶叶的每盒进价为x元，则A等级茶叶的每盒进价为元，
根据题意得：10，解得：，（3分）
经检验，是所列方程的解，且符合题意，∴．
答：A等级茶叶的每盒进价为800元，B等级茶叶的每盒进价为200元；（5分）
（2）设茶店再次购进m盒A等级茶叶，则购进盒B等级茶叶，
根据题意得：，解得：，（7分）
设茶店再次购进的两种等级茶叶全部售出后获得的总利润为w元，则，（8分）
即，∵，∴w随m的增大而增大，（9分）
∴当时，w取得最大值，最大值为，此时．
答：再次购进A等级茶叶40盒，B等级茶叶20盒时，可使所获利润最大，最大利润是5000元．（10分）
24．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点．与坐标轴交于C、D两点，连接、，已知，的面积为1．

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)P是线段的中点，直线向上平移个单位长度后，将的面积分成两部分，求b的值；
(3)我们把只有一组邻边相等，且只有一组对角为直角的四边形，叫作“直角等补形”；设M为y轴负半轴上一点，N为平面内一点，当四边形是直角等补形时，求点M的坐标．
【答案】(1)一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为
(2)(3)点M的坐标为或
【分析】本题考查了反比例函数综合，一次函数的应用，反比例函数的应用，相似三角形的判定和性质，待定系数法，勾股定理等，熟练掌握新定义“直角等补形”是解题的关键．
（1）根据三角函数定义即可求得，设，根据三角形面积可得，再利用待定系数法即可求得反比例函数解析式．（2）联立方程组可得，，进而可得，直线的解析式为，将直线向上平移b个单位长度后得到直线，交y轴于F，交于H，交于G，过点A作交y轴于E，则，再由相似三角形性质即可求得答案．（3）运用新定义“直角等补形”，分两种情况：当，时，当时，分别求得点M的坐标．
【详解】（1）解：∵直线与坐标轴交于C、D两点，∴，，∴，，
∵，∴，即，∴，∴一次函数的解析式为，（1分）
设，∵，∴，解得：，∴，
∵直线经过点，∴，解得：，∴反比例函数的解析式为．（2分）
（2）联立方程组，解得：，，∴，，
∵P是线段的中点，∴，∴直线的解析式为，（3分）
将直线向上平移个单位长度后得到直线，交y轴于F，交于H，交于G，如图，过点A作交y轴于E，则，
∵点P是线段的中点，∴，
∵直线向上平移个单位将的面积分成两部分，∴，（4分）
∵，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，代入，得．（5分）
（3）根据“四边形是直角等补形”可知：四边形中只有一组邻边相等，且只有一组对角为直角，当，时，如图，过点A、B分别作y轴，x轴的平行线交于点K，交y轴于L，则，（6分）

∵，，∴，，，
∵，∴，∴，（7分）
∴即，∴，∴，∴，（8分）
当时，如图，过点B作轴于L，
则，，，（9分）
∴，∴，∴．
综上所述，点M的坐标为或．（10分）
25．在矩形中，，，点P是边上一点，连接交对角线于点E，
(1)如图1，当时，求的长；
(2)如图2，当时，将线段对折使A、P重合，折痕分别交线段、、、于点M，G，F，N，连接．求的值；
(3)如图3，若将线段对折使A、P重合后，折痕恰好过点D，连接交于点Q，求；
(4)如图4，在（3）的条件下，线段、上有两个动点、，请直接写出的最小值．
【答案】(1)(2)(3)(4)的最小值为
【分析】（1）证明，然后利用相似三角形的性质即可求解；
（2）解：如图2，过点F作，交于J，交于H，过点M作于K，利用矩形的性质可得，利用平行线分线段成比例、折叠的性质可得，利用中位线的性质求出，利用勾股定理求出，证明，利用相似三角形的性质求出，利用等面积法求出，利用，求出，最后利用正切的定义求解即可；（3）过点F作于G，过点P作，交于H，根据矩形的性质，折叠的性质以及勾股定理可求出，，证明，可求出，，，证明，可求出，证明，可求出，即可求解；
（4）作点关于直线的对称点G，则点G一定在线段上，当点Q、、G在同一条直线上，且时，最小．由（3）中，可求出，，证明，根据等角的正弦值相等得出，求出，即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，∴，，∴，
∵，∴，∴，（1分）
∴，∴，即，∴；（2分）
（2）解：如图2，过点F作，交于J，交于H，过点M作于K，
∵四边形是矩形，∴，，∴，∴，
由折叠得，，∴，
∵是的中位线，∴，∵，∴，（3分）
在中，，
∵，∴，∵，∴，∴，
∵，∴，∴，即，
∴，∴，（4分）
∵，∴，
∵，∴，
∴，∴；（5分）
（3）解：如图3，过点F作于G，过点P作，交于H，

∵四边形是矩形，∴，，，
由折叠可得：，，∴，（6分）
在中，，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴，∴，，∴，
∵，∴，∴，∴，（7分）
∴，即，∴，∵，∴，
∴，∴，
设，，则，∴；（8分）
（4）解：如图4，作点关于直线的对称点G，则点G一定在线段上，当点Q、、G在同一条直线上，且时，最小．
由（3）得：，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，即，∴，∴的最小值为．（10分）
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用转化的思想思考问题．
26．如图1，抛物线与x轴交于点，B，与y轴交于点C，直线的解析式为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)P是上方抛物线上一点，过点P作的平行线与交于点E，与x轴交于点Q，若，求点P的坐标；
(3)如图2，P是上方抛物线上一点，过点P作的垂线，交抛物线于另一点D，Q为平面内一点，若直线，与抛物线均只有一个公共点，求证：点Q在某条定直线上．
【答案】(1)(2)(3)点在定直线上，理由见详解
【分析】（1）根据待定系数法求抛物线的解析式即可；（2）过点作轴交的延长线于点，设，直线的解析式为，设，先求出点，再证明，得，，再求出直线的解析式为，列方程即可；（3）过点分别作轴，轴的平行线交于点，直线与交于点，设，，设直线的解析式为，同理求出直线的解析式．
【详解】（1）解：直线的解析式为．时，时，，
，，解得，故抛物线的解析式为；（2分）
（2）解：过点作轴交的延长线于点，
设，直线的解析式为，设

代入点，得，解得，直线的解析式为，（3分）
，得，，，
，，，，（4分）
，设直线的解析式为，代入得
，解得，故直线的解析式为，（5分）
，设直线的解析式为，代入，
得，直线的解析式为，
时，，解得（舍去），，即；（6分）
（3）解：过点分别作轴，轴的平行线交于点，直线与交于点，
，，，，
，，，（7分）
设，，
，
，，（8分）
，，设直线的解析式为，
联立，得，
该方程有两个相等的实数根，，即，（9分）
直线的解析式为，同理直线的解析式为，
由，得，点在定直线上．（10分）
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作出适当的辅助线是本题的关键．年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
85
c
b
163
八年级
88
95
96
九年级
89
100
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
85
c
b
163
八年级
88
95
96
九年级
89
100