2024年中考数学（海南）押题预测卷一（含答案）

这是一份2024年中考数学（海南）押题预测卷一（含答案），共39页。试卷主要包含了下列运算正确的是，方程的解为，若反比例函数的图象经过点等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．在实数0、﹣4、﹣π、﹣中，最小的数是（ ）
A．0B．﹣4C．﹣πD．﹣
2．若代数式x+2的值为1，则x的值为（ ）
A．﹣1B．﹣3C．1D．3
3．从提出北斗建设工程开始，北斗导航卫星研制团队攻坚克难，突破重重关键技术，建成独立自主，开放兼容的全球卫星导航系统，成为世界上第三个独立拥有全球卫星导航系统的国家，现在每分钟200多个国家和地区的用户访问使用北斗卫星导航系统超70000000次．其中70000000用科学记数法表示为（ ）
A．7×103B．7×105C．7×106D．7×107
4．由6个完全相同的小正方体组成的几何体如图所示，则从上面看得到的平面图形是（ ）
A． B． C． D．
5．下列运算正确的是（ ）
A．（﹣ab2）3＝﹣a3b6B．2a+3a＝5a2
C．（a+b）2＝a2+b2D．a2•a3＝a6
6．某校男子篮球队10名队员进行定点投篮练习，每人投篮10次，他们投中的次数统计如表：
则这些队员投中次数的众数、中位数分别为（ ）
A．5，5B．2，6C．5，6D．5，5.5
7．方程的解为（ ）
A．x＝﹣1B．x＝0C．x＝2D．x＝1
8．若反比例函数的图象经过点（﹣3，2），则这个函数的图象一定经过点（ ）
A．（﹣2，﹣3）B．（3，2）C．（，12）D．（，﹣12）
9．一根直尺和一个45°角的三角板按如图方式叠合在一起，若∠1＝28°，则∠2的度数是（ ）
A．62°B．56°C．45°D．28°
10．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点E，过点E作EF⊥BC于点F，AC＝5，∠CAB＝90°，按以下步骤作图：分别以点A，F为圆心，大于AF的长为半径作弧，两弧交于点P，Q，作直线PQ，若点B，E在直线PQ上，且AE：EC＝2：3，则BC的长为（ ）
A．2B．3C．8D．13
11．如图，点A在x轴上，∠OAB＝90°，∠B＝30°，OB＝6，将△OAB绕点O按顺时针方向旋转120°得到△OA'B'，则点B'的坐标是（ ）
A．B．C．D．
12．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，E为AB上一点，CE的垂直平分线交AD于点F，若AB＝2，记△AEF的面积最大值为S，周长最小值为l，则（ ）
A．S＝B．S＝C．l＝2D．l＝3﹣
第Ⅱ卷
二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）
13．分解因式：mx2﹣my2＝ ．
14．一个多边形的每个外角都等于40°，则它的内角和是 °．
15．如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AB，交AC于点D．过点B作⊙O的切线与AC的延长线交于点E，若CD＝OD，CE＝1，则AB的长为 ．
16．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，点H是CD上一点，且DH＝CD．
（1）连接CG，则∠DCG＝ ．
（2）连接GH，GH的最小值为 ．
三．解答题（共6小题，满分72分，每小题12分）
17．（12分）（1）计算：；
（2）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来，并写出它的整数解．
18．（10分）李老师有一辆电动汽车，为了充电方便，他安装了家庭充电桩．该充电桩峰时充电的电价为0.5元/度，谷时充电的电价为0.3元/度，某月李老师的电动汽车在家庭充电桩的充电量合计为180度，共花电费64元．求这个月李老师的电动汽车峰时和谷时的充电量．
19．（10分）为全面增强中学生体质健康，掌握多项活动要领，每月课外活动选择一项侧重训练．A．跳绳；B．篮球；C．排球；D．足球．某校开学初共有100名男生选择了A项目，两周后从这100名男生中随机抽取了30人在操场进行测试，并将他们的成绩x（个/min）绘制成频数分布直方图．
（1）若抽取的同学的测试成绩x落在160≤x＜165这一组的数据为160，162，161，163，162，164，则这组数据的中位数是 ，众数是 ；
（2）根据题中信息，估计选择B项目的男生共有 人，扇形统计图中D项目所占的圆心角为 度；
（3）学校准备在不低于175（个/min）的组中推荐2名参加全区的跳绳比赛，请用树状图或列表法求其中的甲和乙同时被选中的概率．
20．（10分）无人机在实际生活中应用广泛．如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，
无人机在空中P处，测得楼CD楼顶D处的俯角为45°，测得楼AB楼顶A处的俯角为60°已知楼AB和楼CD之间的距离BC为90米，楼AB的高度为10米，从楼AB的A处测得楼CD的D处的仰角为30°（点A、B、C、D、P在同一平面内）．
（1）填空：∠APD＝ °，∠ADC＝ ；
（2）求楼CD的高度（结果保留根号）；
（3）求此时无人机距离地面BC的高度．
21．（15分）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF，则EF＝BE+DF，试说明理由．
（1）思路梳理
∵AB＝CD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．
∵∠ADC＝∠B＝90°，
∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线．
根据 ，易证△AFG≌ ，得EF＝BE+DF．
（2）类比引申
如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系 时，仍有EF＝BE+DF．
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．
22．（15分）抛物线y＝ax2+bx+c过A（2，3），B（4，3），C（6，﹣5）三点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图①，抛物线上一点D在线段AC的上方，DE⊥AB交AC于点E，若满足，求点D的坐标；
（3）如图②，F为抛物线顶点，过A作直线l⊥AB，若点P在直线l上运动，点Q在x轴上运动，是否存在这样的点P、Q，使得以B、P、Q为顶点的三角形与△ABF相似，若存在，请直接写出点P的坐标．若不存在，说明理由．
2024年中考押题预测卷
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．在实数0、﹣4、﹣π、﹣中，最小的数是（ ）
A．0B．﹣4C．﹣πD．﹣
【分析】先估算出的值的范围，然后进行比较即可解答．
【解答】解：∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，
∵3.52＝12.25，
∴3.5＜＜4，
∴﹣4＜﹣＜﹣3.5，
∴在实数0、﹣4、﹣π、﹣中，0＞﹣π＞﹣＞﹣4，
∴最小的数是﹣4，
故选：B．
2．若代数式x+2的值为1，则x的值为（ ）
A．﹣1B．﹣3C．1D．3
【分析】首先根据题意，可得：x+2＝1；然后根据解一元一次方程的方法，求出x的值为多少即可．
【解答】解：根据题意，可得：x+2＝1，
移项，可得：x＝1﹣2，
合并同类项，可得：x＝﹣1．
故选：A．
3．从提出北斗建设工程开始，北斗导航卫星研制团队攻坚克难，突破重重关键技术，建成独立自主，开放兼容的全球卫星导航系统，成为世界上第三个独立拥有全球卫星导航系统的国家，现在每分钟200多个国家和地区的用户访问使用北斗卫星导航系统超70000000次．其中70000000用科学记数法表示为（ ）
A．7×103B．7×105C．7×106D．7×107
【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．
【解答】解：70000000＝7×107．
故选：D．
4．由6个完全相同的小正方体组成的几何体如图所示，则从上面看得到的平面图形是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】从上面看，可以看到三行，中间一行有3个小正方形，上面一行最右侧有1个小正方形，下面一行最左侧有1个小正方形．
【解答】解：从上面看得到的平面图形为：．
故选：B．
5．下列运算正确的是（ ）
A．（﹣ab2）3＝﹣a3b6B．2a+3a＝5a2
C．（a+b）2＝a2+b2D．a2•a3＝a6
【分析】分别根据积的乘方运算法则，合并同类项法则，完全平方公式以及同底数幂的乘法法则逐一判断即可．
【解答】解：A、（﹣ab2）3＝﹣a3b6，故本选项符合题意；
B、2a+3a＝5a，故本选项不合题意；
C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故本选项不合题意；
D、a2•a3＝a5，故本选项不合题意；
故选：A．
6．某校男子篮球队10名队员进行定点投篮练习，每人投篮10次，他们投中的次数统计如表：
则这些队员投中次数的众数、中位数分别为（ ）
A．5，5B．2，6C．5，6D．5，5.5
【分析】根据众数、中位数的意义求解即可．
【解答】解：这些队员投中次数出现次数最多的是5次，共有3人，因此这些队员投中次数的众数是5，
将这10名队员投中次数从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是6，因此中位数是6，
故选：C．
7．方程的解为（ ）
A．x＝﹣1B．x＝0C．x＝2D．x＝1
【分析】先化为整式方程，再解方程，最后要检验．
【解答】解：，
∴6x＝5x+1，
解得：x＝1，经检验是原方程的解．
故选：D．
8．若反比例函数的图象经过点（﹣3，2），则这个函数的图象一定经过点（ ）
A．（﹣2，﹣3）B．（3，2）C．（，12）D．（，﹣12）
【分析】首先将点（﹣3，2）代入反比例函数y＝之中求出反比例函数的表达式，然后再逐一将四个选项中的点代入反比例函数的表达式进行检验即可得出答案．
【解答】解：∵反比例函数y＝k/x的图象经过点（﹣3，2），
∴k＝﹣2×3＝﹣6，
∴反比例函数y＝k/x的表达式为：y＝，
对于选项A，由于（﹣2）×（﹣3）＝6≠k，故反比例函数y＝的图象不经过点（2，﹣3）；
对于选项B，由于3×2＝6≠k，故反比例函数y＝的图象不经过点（3，2）；
对于选项C，由于×12＝6≠k，故反比例函数y＝的图象不经过点（，12）；
对于选项D，由于×（﹣12）＝﹣6≠k，故反比例函数y＝的图象一定经过点（，﹣12）；
故选：D．
9．一根直尺和一个45°角的三角板按如图方式叠合在一起，若∠1＝28°，则∠2的度数是（ ）
A．62°B．56°C．45°D．28°
【分析】根据题意得：AB∥CD，∠4＝90°，根据平行线的性质可得∠2＝∠3，再由平角的定义，即可求解．
【解答】解：如图，
根据题意得：AB∥CD，∠4＝90°，
∴∠2＝∠3，∠1+∠3＝90°，
∵∠1＝28°，
∴∠2＝∠3＝90°﹣28°＝62°．
故选：A．
10．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点E，过点E作EF⊥BC于点F，AC＝5，∠CAB＝90°，按以下步骤作图：分别以点A，F为圆心，大于AF的长为半径作弧，两弧交于点P，Q，作直线PQ，若点B，E在直线PQ上，且AE：EC＝2：3，则BC的长为（ ）
A．2B．3C．8D．13
【分析】根据作图过程可得PQ是AF的垂直平分线，再根据已知条件即可求得AE、EC的长，根据勾股定理即可求解．
【解答】解：根据作图过程可知：
PQ是AF的垂直平分线，
∴AE＝EF，AB＝FB，
∵AE：EC＝2：3，AC＝5，
∴AE＝2，EC＝3，
∴FC＝＝．
∵AB2+AC2＝BC2
即BF2+25＝（BF+）2
解得BF＝2
∴BC＝BF+FC＝3．
则BC的长为3．
故选：B．
11．如图，点A在x轴上，∠OAB＝90°，∠B＝30°，OB＝6，将△OAB绕点O按顺时针方向旋转120°得到△OA'B'，则点B'的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据含30°的直角三角形三边的关系得到OA＝OB＝3，AB＝OA＝3，则B点坐标为（3，3），再根据旋转的性质得到∠B′OB＝120°，OB′＝OB＝6，则∠AOB′＝60°，于是可判断点B′和点B关于x轴对称，然后根据关于x轴对称的点的坐标特征写出点B′的坐标．
【解答】解：∵∠OAB＝90°，∠B＝30°，OB＝6，
∴∠AOB＝60°，OA＝OB＝3，AB＝OA＝3，
∴B点坐标为（3，3），
将△OAB绕点O按顺时针方向旋转120°得到△OA'B'，
∴∠B′OB＝120°，OB′＝OB＝6，
∴∠AOB′＝60°，
∴点B′和点B关于x轴对称，
∴点B′的坐标为（3，﹣3）．
故选：D．
12．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，E为AB上一点，CE的垂直平分线交AD于点F，若AB＝2，记△AEF的面积最大值为S，周长最小值为l，则（ ）
A．S＝B．S＝C．l＝2D．l＝3﹣
【分析】连接CF，过点C作CG⊥FD于点G，过点E作EH⊥AD，交AD的延长线于点H，利用菱形的性质和含30°角的直角三角形的性质求得AG，CG，设AF＝x，则FG＝1﹣x，利用勾股定理求得CF，利用线段垂直平分线的性质得到EF；设AH＝y，利用菱形的性质和含30°角的直角三角形的性质求得EF，得到关于x，y的方程，解得y＝1﹣x，利用三角形的面积公式表示出△AEF的面积，利用配方法求得△AEF的面积最大值；求得△AEF的周长，利用非负数的意义就看得出l值．
【解答】解：连接CF，过点C作CG⊥FD于点G，过点E作EH⊥AD，交AD的延长线于点H，如图，
∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，
∴AD＝CD＝AB＝2，∠D＝∠ABC＝60°，∠BAD＝120°．
∵CG⊥AD，
∴CD＝CD＝1，CG＝，
∴AG＝1．
设AF＝x，则FG＝1﹣x，
∴FC＝．
∵CE的垂直平分线交AD于点F，
∴EF＝CF＝．
设AH＝y，
∵∠BAD＝120°，
∴∠HAE＝60°，
∴∠AEH＝30°，
∴AE＝2y，EH＝y．
∵FH＝AH+AF＝x+y，
∴EF＝＝，
∴＝，
∴y＝1﹣x．
∴EH＝（1﹣x），AE＝2y＝2﹣x．
∴△AEF的面积＝AF•EH＝x（1﹣x）＝﹣，
∵＜0．
∴当x＝1时，即F为AD的中点时，△AEF的面积取得最大值为S＝．
∵△AEF的周长＝EF+AF+AE＝+x+2﹣x＝2+，
∴当x＝1时，即F为AD的中点时，周长取得最小值l＝2+．
故选：B．
二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）
13．分解因式：mx2﹣my2＝ m（x+y）（x﹣y） ．
【分析】直接提取公因式m，再利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：mx2﹣my2＝m（x2﹣y2）
＝m（x+y）（x﹣y）．
故答案为：m（x+y）（x﹣y）．
14．一个多边形的每个外角都等于40°，则它的内角和是 1260 °．
【分析】由一个多边形的每个外角都等于40°，根据n边形的外角和为360°计算出多边形的边数n，然后根据n边形的内角和定理计算即可．
【解答】解：设这个多边形是n边形，则
40°×n＝360°，
解得n＝9．
这个多边形的内角和为（9﹣2）×180°＝1260°．
答：这个多边形的内角和为1260°．
故答案为：1260．
15．如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AB，交AC于点D．过点B作⊙O的切线与AC的延长线交于点E，若CD＝OD，CE＝1，则AB的长为 2 ．
【分析】连接BD，先由线段垂直平分线的性质得AD＝DB，再证∠A＝∠ABD＝∠CBD＝30°，得BE＝2CE＝2，即可得出答案．
【解答】解：连接BD，如图：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC⊥CD，
∵OD⊥AB，CD＝OD，
∴BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵OA＝OB，OD⊥AB，
∴AD＝DB，
∴∠A＝∠ABD＝∠CBD，
又∵∠A+∠ABC＝90°，
∴∠A+∠ABD+∠CBD＝90°，
∴∠A＝∠ABD＝∠CBD＝30°，
∵BE是⊙O的切线，
∴∠ABE＝90°，
∴∠CBE＝90°﹣2×30°＝30°，
∵∠BCE＝90°，
∴BE＝2CE＝2，
∵∠A＝30°，
∴AE＝4，
∴AB＝＝2，
故答案为：2．
16．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，点H是CD上一点，且DH＝CD．
（1）连接CG，则∠DCG＝ 45° ．
（2）连接GH，GH的最小值为 ．
【分析】（1）证明△ADE≌△CDG，推出∠DCG＝∠DAE＝45°即可；
（2）由∠DCG＝45°推出点G的运动轨迹是射线CG，根据垂线段最短可知，当GH⊥CG时，GH的值最小．
【解答】解：（1）解：∵四边形ABCD是正方形，四边形DECG是正方形，
∴DA＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠EDG＝90°，∠DAC＝45°，
∴∠ADE＝∠CDG，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴∠DCG＝∠DAE＝45°，
故答案为：45°；
（2）∵∠DCG＝45°，
∴点G的运动轨迹是射线CG，
根据垂线段最短可知，当GH⊥CG时，GH的值最小，
∵DH＝CD，
∴CH＝CD﹣DH＝CD＝，
∴GH最小值＝CH•sin45°＝×＝．
故答案为：．
三．解答题（共6小题，满分72分，每小题12分）
17．（12分）（1）计算：；
（2）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来，并写出它的整数解．
【分析】（1）根据实数的运算法则解答即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）
＝
＝﹣2
＝﹣；
（2），
解不等式①得，x≤6，
解不等式②得，x＞2，
把不等式①、②的解集表示在数轴上如下：
所以不等式组的解集是2＜x≤6，
所以它的整数解是3，4，5，6．
18．（10分）李老师有一辆电动汽车，为了充电方便，他安装了家庭充电桩．该充电桩峰时充电的电价为0.5元/度，谷时充电的电价为0.3元/度，某月李老师的电动汽车在家庭充电桩的充电量合计为180度，共花电费64元．求这个月李老师的电动汽车峰时和谷时的充电量．
【分析】设这个月李老师的电动汽车峰时为x度，谷时的充电量为y度，根据某月李老师的电动汽车在家庭充电桩的充电量合计为180度，共花电费64元．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设这个月李老师的电动汽车峰时为x度，谷时的充电量为y度，
由题意得：，
解得：，
答：这个月李老师的电动汽车峰时为50度，谷时的充电量为130度．
19．（10分）为全面增强中学生体质健康，掌握多项活动要领，每月课外活动选择一项侧重训练．A．跳绳；B．篮球；C．排球；D．足球．某校开学初共有100名男生选择了A项目，两周后从这100名男生中随机抽取了30人在操场进行测试，并将他们的成绩x（个/min）绘制成频数分布直方图．
（1）若抽取的同学的测试成绩x落在160≤x＜165这一组的数据为160，162，161，163，162，164，则这组数据的中位数是 162 ，众数是 162 ；
（2）根据题中信息，估计选择B项目的男生共有 175 人，扇形统计图中D项目所占的圆心角为 108 度；
（3）学校准备在不低于175（个/min）的组中推荐2名参加全区的跳绳比赛，请用树状图或列表法求其中的甲和乙同时被选中的概率．
【分析】（1）根据中位数和众数的定义可得答案．
（2）先用选择A项目的男生人数除以扇形统计图中A的百分比可得全校的男生人数，再用全校的男生人数乘以扇形统计图中B的百分比可得选择B项目的男生人数；用360°乘以扇形统计图中D得百分比即可．
（3）画树状图得出所有等可能的结果数以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）将这组数据按照从小到大的顺序排列：
160，161，162，162，163，164，
排在第3和第4的为162和162，
∴该组数据的中位数是（162+162）÷2＝162；
该组数据中出现次数最多的为162，
∴该组数据的众数为162．
故答案为：162，162；
（2）全校的男生人数为100÷20%＝500（人），
∴选择B项目的男生共有500×35%＝175（人）．
扇形统计图中D项目所占圆的圆心角为360°×（1﹣20%﹣35%﹣15%）＝108°．
故答案为：175，108；
（3）不低于175（个/min）的组中有四名学生，分别记为甲、乙、丙、丁，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，
∴甲和乙同学同时被选中的概率为．
20．（10分）无人机在实际生活中应用广泛．如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，
无人机在空中P处，测得楼CD楼顶D处的俯角为45°，测得楼AB楼顶A处的俯角为60°已知楼AB和楼CD之间的距离BC为90米，楼AB的高度为10米，从楼AB的A处测得楼CD的D处的仰角为30°（点A、B、C、D、P在同一平面内）．
（1）填空：∠APD＝ 75 °，∠ADC＝ 60° ；
（2）求楼CD的高度（结果保留根号）；
（3）求此时无人机距离地面BC的高度．
【分析】（1）由平角的性质可得∠APD；过点A作AE⊥CD于点E．则∠DAE＝30°，根据三角形内角和定理可得∠ADC．
（2）由题意可得AE＝BC＝100米，EC＝AB＝10米，在Rt△AED中，tan30°＝，解得DE＝，结合CD＝DE+EC可得出答案．
（3）过点P作PG⊥BC于点G，交AE于点F，证明△APF≌△DAE，可得PF＝AE＝90米，再根据PG＝PF+FG可得出答案．
【解答】解：（1）∵∠MPA＝60°，∠NPD＝45°，
∴∠APD＝180°﹣∠MPA﹣∠NPD＝75°．
过点A作AE⊥CD于点E，
则∠DAE＝30°，
∴∠ADC＝180°﹣90°﹣30°＝60°．
故答案为：75；60°．
（2）由题意可得AE＝BC＝90米，EC＝AB＝10米，
在Rt△AED中，∠DAE＝30°，
tan30°＝＝＝，
解得DE＝30，
∴CD＝DE+EC＝（30+10）米．
∴楼CD的高度为（30+10）米．
（3）过点P作PG⊥BC于点G，交AE于点F，
则∠PFA＝∠AED＝90°，FG＝AB＝10米，
∵MN∥AE，
∴∠PAF＝∠MPA＝60°，
∵∠ADE＝60°，
∴∠PAF＝∠ADE，
∵∠DAE＝∠30°，
∴∠PAD＝30°，
∵∠APD＝75°，
∴∠ADP＝75°，
∴∠ADP＝∠APD，
则AP＝AD，
∴△APF≌△DAE（AAS），
∴PF＝AE＝90米，
∴PG＝PF+FG＝90+10＝100（米）．
∴此时无人机距离地面BC的高度为100米．
21．（15分）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF，则EF＝BE+DF，试说明理由．
（1）思路梳理
∵AB＝CD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．
∵∠ADC＝∠B＝90°，
∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线．
根据 SAS ，易证△AFG≌ △AFE ，得EF＝BE+DF．
（2）类比引申
如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系 ∠B+∠D＝180° 时，仍有EF＝BE+DF．
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．
【分析】（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，再证明△AFG≌△AFE进而得到EF＝FG，即可得EF＝BE+DF；
（2）∠B+∠D＝180°时，EF＝BE+DF，与（1）的证法类同；
（3）根据△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，根据旋转的性质，可知△AEC≌△ABE′得到BE′＝EC，AE′＝AE，∠C＝∠ABE′，∠EAC＝∠E′AB，根据Rt△ABC中的，AB＝AC得到∠E′BD＝90°，所以E′B2+BD2＝E′D2，证△AE′D≌△AED，利用DE＝DE′得到DE2＝BD2+EC2；
【解答】（1）证明：∵AB＝AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．
∴∠BAE＝∠DAG，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠EAF＝∠FAG，
∵∠ADC＝∠B＝90°，
∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线，
在△AFE和△AFG中
，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF＝FG，
即：EF＝BE+DF．
故答案为：SAS，△AFE．
（2）解：∠B+∠D＝180°时，EF＝BE+DF；
∵AB＝AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，
∴∠BAE＝∠DAG，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠EAF＝∠FAG，
∵∠ADC+∠B＝180°，
∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线，
在△AFE和△AFG中
，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF＝FG，
即：EF＝BE+DF．
故答案为：∠B+∠D＝180°；
（3）解：猜想：DE2＝BD2+EC2．
理由：把△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，连接DE′，
∴△AEC≌△ABE′，
∴BE′＝EC，AE′＝AE，
∠C＝∠ABE′，∠EAC＝∠E′AB，
在Rt△ABC中，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ABC+∠ABE′＝90°，
即∠E′BD＝90°，
∴E′B2+BD2＝E′D2，
又∵∠DAE＝45°，
∴∠BAD+∠EAC＝45°，
∴∠E′AB+∠BAD＝45°，
即∠E′AD＝45°，
在△AE′D和△AED中，
∴△AE′D≌△AED（SAS），
∴DE＝DE′，
∴DE2＝BD2+EC2．
22．（15分）抛物线y＝ax2+bx+c过A（2，3），B（4，3），C（6，﹣5）三点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图①，抛物线上一点D在线段AC的上方，DE⊥AB交AC于点E，若满足，求点D的坐标；
（3）如图②，F为抛物线顶点，过A作直线l⊥AB，若点P在直线l上运动，点Q在x轴上运动，是否存在这样的点P、Q，使得以B、P、Q为顶点的三角形与△ABF相似，若存在，请直接写出点P的坐标．若不存在，说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）过点A作AF⊥AB，交x轴于点H，交过点E且平行于x轴的直线于点F，设D（m，﹣m2+6m﹣5），利用待定系数法求得直线AC的解析式，用含m的代数式表示出DE，AE，再利用已知条件得到关于m的方程，解方程即可得出结论；
（3）利用点的坐标和等腰直角三角形的判定定理得到：△FAB为等腰直角三角形，则△PBQ为等腰直角三角形，利用分类讨论的方法分5种情形讨论解答：利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质求得线段PD的长度，则结论可求．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c过A（2，3），B（4，3），C（6，﹣5）三点，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+6x﹣5；
（2）∵A（2，3），B（4，3），
∴AB∥x轴，
过点A作AF⊥AB，交x轴于点H，交过点E且平行于x轴的直线于点F，如图，
设D（m，﹣m2+6m﹣5），
设直线AC的解析式为y＝kx+n，
∴．
∴，
∴直线AC的解析式为y＝﹣2x+7，
∴E（m，﹣2m+7），
∴DE＝（﹣m2+6m﹣5）﹣（﹣2m+7）＝﹣m2+8m﹣12．
∵A（2，3），E（m，﹣2m+7），
∴EF＝m﹣2，AF＝3﹣（﹣2m+7）＝2m﹣4＝2（m﹣2），
∴AE＝＝（m﹣2），
∵，
∴，
∴m＝2（不合题意，舍去）或m＝．
∴．
∴D（，）；
（3）存在这样的点P、Q，使得以B、P、Q为顶点的三角形与△ABF相似，点P的坐标为（2，﹣2）或（2，﹣5）或（2，2）或（2，﹣1）．理由：
∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，
∴F（3，4），
过点F作FH⊥AB于点H，则AH＝BH＝1，FH＝1，AB＝2，
∴AB＝BH＝FH＝AB，
∴△FAB为等腰直角三角形．
∵以B、P、Q为顶点的三角形与△ABF相似，
∴△PBQ为等腰直角三角形．
①当∠QPB＝90°，PQ＝PB时，如图，
设直线l交x轴于点D，
∵∠QPD+∠APB＝90°，∠APB+∠ABP＝90°，
∴∠QPD＝∠ABD．
在△QPD和△PBA中，
，
∴△QPD≌△PBA（AAS），
∴PD＝AB＝2，
∴P（2，﹣2）；
②当∠BQP＝90°，PQ＝QB时，如图，
过点Q作QM⊥AB，交BA的延长线于点M，过点P作PN⊥MQ，交MQ的延长线于点N，
则四边形AMQD为矩形，四边形AMNP为矩形，四边形PNQD为矩形，
∴MQ＝AD＝3，AM＝NP，PD＝NQ．
∵∠QPN+∠PQN＝90°，∠PQN+∠MQB＝90°，
∴∠QPN＝∠MQB．
在△QPN和△BQM中，
，
∴△QPN≌△BQM（AAS），
∴NP＝MQ＝3，QN＝BM．
∴AM＝NP＝3，
∴BM＝AM+AB＝5，
∴NQ＝BM＝5，
∴P（2，﹣5）；
③当∠QPB＝90°，PQ＝PB时，如图，
∵∠QPD+∠APB＝90°，∠APB+∠ABP＝90°，
∴∠QPD＝∠ABD．
在△QPD和△PBA中，
，
∴△QPD≌△PBA（AAS），
∴PD＝AB＝2，
∴P（2，2）；
④当∠PQB＝90°，PQ＝QB时，如图，
过点B作BM⊥OQ于点M，
∵∠BQD+∠PQD＝90°，∠BQD+∠QBM＝90°，
∴∠PQD＝∠QBM．
在△QPD和△QBM中，
，
∴△QPD≌△QBM（AAS），
∴QD＝BM＝3，PD＝QM，
∴OQ＝OD+QD＝5，
∵OM＝4，
∴QM＝OQ﹣OM＝1，
∴PD＝QM＝1，
∴P（2，﹣1）；
⑤当∠PQB＝90°，PQ＝QB时，如图，
过点Q作QM⊥AB，交AB的延长线于点M，显然MQ＝3，AB＝2，
∴MQ≠AB，
∴此种情形不存在．
综上，存在这样的点P、Q，使得以B、P、Q为顶点的三角形与△ABF相似，点P的坐标为（2，﹣2）或（2，﹣5）或（2，2）或（2，﹣1）．投中次数
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