2024年中考数学（成都）押题预测卷二（含答案）

这是一份2024年中考数学（成都）押题预测卷二（含答案），共40页。试卷主要包含了已知反比例函数的图象上两点，等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
A卷（共100分）
第Ⅰ卷（选择题，共32分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分。每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1．的相反数是（ ）
A．2024B．C．D．
2．地月距离是指地球与月球之间的距离，有平均距离、月球与地球近地点的距离、月球与地球远地点的距离三种．其中，地月平均距离约为，用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．某校为了了解全校965名学生的课外作业负担情况，随机对全校100名学生进行了问卷调查，下面说法正确的是（ ）
A．总体是全校965名学生B．个体是每名学生的课外作业负担情况
C．样本是100D．样本容量是100名
5．如图，在四边形中，对角线与相交于点O，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．四张看上去无差别的卡片上分别印有正方形、正三角形、正八边形和圆，现将印有图形的一面朝下，混合均匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片上印有的图形都是中心对称图形的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书（图1）”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．如图2三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等．如图3，这是另一个三阶幻方，则的值为（ ）
A．3B．C．D．6
8．如图，二次函数的图象与x轴的交点的横坐标分别为，3，则下列结论：①；②；③；④对于任意x均有．正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
第Ⅱ卷（非选择题，共68分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．分解因式 ．
10．已知反比例函数的图象上两点，．若，则m的取值范围是 ．
11．两个大小不同的等腰直角三角板按图1所示摆放，将两个三角板抽象成如图2所示的和，其中，点、、依次在同一条直线上，连结．若，，则的面积是 ．
12．已知线段 轴，若点M坐标为，则N点坐标为 ．
13．如图，线段，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧交于点，，作直线，连接，，，．若，则四边形的面积为 ．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（本小题满分12分，每题6分）
(1)计算：；
(2)先化简，再求值：，其中x是方程的根．
15．（本小题满分8分）“安全责任重于泰山”，为切实做好学校消防安全、反恐防暴等安全工作，提高学校的应急处置能力，打造平安校园，培养让学生终身受益的灾害应急能力，某校开展了一次消防、反恐防暴培训及演练活动．为了解此次活动效果，随机抽取了七年级、八年级、九年级学生若干名（抽取的各年级学生人数相同）进行网上问卷测试，并对得分情况进行整理和分析（得分用整数x表示，单位：分），且分为A，B，C三个等级，分别是：优秀为A等级：；合格为B等级：；不合格为C等级：．分别绘制成如下统计图表，其中七年级学生测试成绩的众数出现在A组．A组测试成绩情况分别为：85，85，87，92，95，95，95，95，97，98，99，100；八年级学生测试成绩中A组共有a个人．
七年级、八年级、九年级三组样本数据的平均数、中位数、众数和方差如表所示：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空： ， ， ；
(2)根据以上数据，估计该学校哪个年级的测试成绩最好，并说明理由；
(3)若该校七年级、八年级、九年级各有200人，请估计该校初中学生中成绩为优秀的学生共有多少人？
16．（本小题满分8分）某兴趣小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为，高为，连杆长度为，手臂的长度为，，是转动点，且与始终在同一平面内．
(1)转动连杆，手臂，使，，如图2，求手臂端点离操作台的高度的长（精确到，参考数据：，）．
(2)物品在操作台上，距离底座端的点处，转动连杆，手臂端点能否碰到点？请说明理由．
17．（本小题满分10分）如图所示，的半径为5，点A是上一点，直线l过点A；P是上的一个动点（不与点A重合），过P作于点B，交于点E，直径的延长线交直线l于点F，点A是的中点．
(1)求证：直线l是的切线；
(2)若，求的长．
18．（本小题满分10分）如图，一次函数与反比例函数的图像相交于点，，
(1)求一次函数及反比例函数的解析式；
(2)请直接写出关于x的不等式的解集；
(3)点P是x轴负半轴上一动点，连接、，当面积为12时，求点P的坐标．
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．若是方程的根，则代数式的值是 ．
20．如图，在中，，，，为的角平分线．为边上一动点，为线段上一动点，连接、、，当取得最小值时，的面积为 ．
21．如图，正方形的边长是，是边的中点．将该正方形沿折叠，点落在点处．分别与，，相切，切点分别为，，，则的半径为 ．
22．如图，矩形中，，点E是的中点，点F是边上一动点．将沿着翻折，使得点B落在点处，若点P是矩形内一动点，连接，则的最小值为 ．
​
23．若一个四位正整数的各个数位上的数字均不为0，百位数字的2倍等于千位数字与十位数字的和，个位数字比十位数字大1，则称这样的四位正整数为“吉祥数”．比如2345就是一个“吉祥数”，那么最小的“吉祥数”是 ．若A是一个“吉祥数”，由A的千位数字和百位数字依次组成的两位数与A的十位数字和个位数字依次组成的两位数的和记为，比A的各个数位上的数字之和大2，若为整数，则满足条件中的A的最大值为 ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（本小题满分8分）利群商场准备购进甲、乙两种服装出售，甲种服装每件售价130元，乙种服装每件售价100元，每件甲种服装的进价比乙种服装的进价贵20元，购进3件甲种服装的费用和购进4件乙种服装的费用相等，现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件．
(1)甲、乙两种服装每件的进价分别是多少元？
(2)若购进这100件服装的费用不得超过7500元．
①求甲种服装最多购进多少件；
②利群商场对甲种服装每件降价元，乙种服装价格不变，如果这100件服装都可售完，那么如何进货才能获得最大利润？
25．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且．
(1)试求抛物线的解析式；
(2)直线与轴交于点，与抛物线在第一象限交于点，与直线交于点，记，试求取最大值时点的坐标；
(3)在（2）的条件下，取最大值时，点是轴上的一个动点，点是坐标平面内的一点，是否存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是菱形若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（本小题满分12分）综合与实践
【问题情境】在数学综合实践课上，“希望小组”的同学们以三角形为背景，探究图形
变化过程中的几何问题．如图，在中，，，点D为平面内一点（点A，B，D三点不共线），为的中线．
【初步尝试】（1）如图1，小林同学发现：延长至点M，使得，连接．始终存在以下两个结论，请你在①，②中挑选一个进行证明：
①；②；
【类比探究】（2）如图2，将绕点A顺时针旋转得到，连接．小斌同学沿着小林同学的思考进一步探究后发现：，请你帮他证明：
【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，王老师提出新的探究方向：点D在以点A为圆心，为半径的圆上运动（），直线与直线相交于点G，连接，在点D的运动过程中存在最大值．若，请直接写出的最大值．
2024年中考押题预测卷02【成都卷】
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
A卷（共100分）
第Ⅰ卷（选择题，共32分）
选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分。每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1．的相反数是（ ）
A．2024B．C．D．
【答案】A
【分析】此题考查了相反数的定义．根据相反数的定义“只有符号不同的两个数是互为相反数”解答即可．
【详解】解：的相反数是2024，故选：A．
2．地月距离是指地球与月球之间的距离，有平均距离、月球与地球近地点的距离、月球与地球远地点的距离三种．其中，地月平均距离约为，用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】此题考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法．利用科学记数法的定义解决．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：．故选：C．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了幂的乘方、完全平方公式、单项式与单项式相除、合并同类项，掌握每一种运算法则的正确应用是解题关键．
【详解】解：A、，该选项不符合题意；
B、，该选项不符合题意；
C、，该选项符合题意；
D、与不是同类项，不能合并，该选项不符合题意；
故选：C．
4．某校为了了解全校965名学生的课外作业负担情况，随机对全校100名学生进行了问卷调查，下面说法正确的是（ ）
A．总体是全校965名学生B．个体是每名学生的课外作业负担情况
C．样本是100D．样本容量是100名
【答案】B
【分析】本题主要考查直接利用总体、个体、样本容量、样本的定义，掌握各定义是解题的关键
直接利用总体、个体、样本容量、样本的定义逐项分析即可解答．
【详解】解：A、总体是全校965名学生的课外作业负担情况，故此选项错误；
B、个体是每名学生的课外作业负担情况，故此选项正确；
C、样本是100名学生的课外作业负担情况，故此选项错误；
D、样本容量是100，故此选项错误．
故选B．
5．如图，在四边形中，对角线与相交于点O，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行四边形的判定定理，解答即可，本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
【详解】A. ，可以，不符合题意，
B. ，不可以，符合题意，
C. ，可以，不符合题意，
D. ，可以，不符合题意，
故选B．
6．四张看上去无差别的卡片上分别印有正方形、正三角形、正八边形和圆，现将印有图形的一面朝下，混合均匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片上印有的图形都是中心对称图形的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，中心对称图形的定义，先确定正六边形和圆是中心对称图形，正三角形和正五边形不是中心对称图形，再画树状图分析，最后由概率计算公式进行求解即可．
【详解】解：正方形、正八边形和圆是中心对称图形，正三角形不是中心对称图形，
∵一共有四张卡片，每张卡片被抽到的概率相同，其中印有图形都是中心对称图形的卡片有三张，
设正方形、正三角形、正八边形和圆分别为A、B、C、D，
画树状图如下：

∴从中随机抽取两张，一共有12种结果，其中抽到的卡片上印有图形都是中心对称图形的结果有6种，
∴抽到的卡片上印有图形都是中心对称图形概率为，故选∶C．
7．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书（图1）”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．如图2三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等．如图3，这是另一个三阶幻方，则的值为（ ）
A．3B．C．D．6
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．
根据幻方中的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，可得关于a，b的一元一次方程，解之即可．
【详解】解：如图所示．
∵三阶幻方的每行，每列及每条对角线上的三个数之和都相等，且都等于中间数的三倍
∴，解得：
∵
∴，解得：
∴，故选：．
8．如图，二次函数的图象与x轴的交点的横坐标分别为，3，则下列结论：①；②；③；④对于任意x均有．正确的有（ ）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与轴的交点问题，解题关键是掌握二次函数的图象与性质．根据二次函数抛物线的开口方向判断出，再根据抛物线与轴的交点，即可得时，的取值范围是，令，即可判定的值，进而对结论①进行判断；求出抛物线的对称轴为，得，即可对结论②和④进行判断；由时，得的取值范围，即可对结论③进行判断．
【详解】解：由题意得二次函数抛物线开口向上，，
又二次函数的图象与x轴的交点的横坐标分别为，3，
当时，，
时，，
，故结论①正确；
抛物线的对称轴为，
，，
，故结论②正确；
当时，，
当时，，故结论③正确；
抛物线的对称轴为，，
当时，二次函数的值最小，
，即，故结论④正确；
综上所述得正确的结论有①，②，③，④，故选：D．
第Ⅱ卷（非选择题，共68分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．分解因式 ．
【答案】
【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
先提取公因式m，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【详解】解：，故答案为：．
10．已知反比例函数的图象上两点，．若，则m的取值范围是
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的性质， 根据反比例函数的性质，可以得到关于m的不等式，从而可以求得m的取值范围．
【详解】解∶∵反比例函数的图象上两点，，，
∴，解得，故答案为∶ ．
11．两个大小不同的等腰直角三角板按图1所示摆放，将两个三角板抽象成如图2所示的和，其中，点、、依次在同一条直线上，连结．若，，则的面积是 ．
【答案】6
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，根据证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案．
【详解】解：，
，即，
在和中，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，故答案为：6．
12．已知线段 轴，若点M坐标为，则N点坐标为 .
【答案】或
【分析】本题主要考查了平行于坐标轴的点的坐标的特点，解题的关键是熟知：与y轴平行的直线，其横坐标均相等．
根据平行于y轴的直线的坐标特点及两点间距离的表示法即可求得答案．
【详解】解：∵轴，，
∴点N的横坐标也为，
又，设N点的纵坐标为a，则，
∴，
∴或．
∴N点的坐标为或．故答案为：或．
13．如图，线段，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧交于点，，作直线，连接，，，．若，则四边形的面积为 ．
【答案】24
【分析】本题主要考查了作图基本作图及中垂线的性质．由作图可知是线段的中垂线，四边形是菱形，利用求解即可．
【详解】解：如图，
由作图可知是线段的垂直平分线，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，故答案为：24．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（本小题满分12分，每题6分）
(1)计算：
(2)先化简，再求值：，其中x是方程的根．
【答案】(1)13；(2)
【分析】本题考查分式化简求值、解一元二次方程、实数的运算、负整数指数幂、及特殊角三角函数值、绝对值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）先计算绝对值、锐角三角函数、负整数指数幂，再进行加减计算即可；
（2）先利用分式的性质进行化简，再解一元二次方程求出x的值，再代入分式进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
，
解方程得，，
∵时，分式无意义
∴，
当时，原式．
15．（本小题满分8分）“安全责任重于泰山”，为切实做好学校消防安全、反恐防暴等安全工作，提高学校的应急处置能力，打造平安校园，培养让学生终身受益的灾害应急能力，某校开展了一次消防、反恐防暴培训及演练活动．为了解此次活动效果，随机抽取了七年级、八年级、九年级学生若干名（抽取的各年级学生人数相同）进行网上问卷测试，并对得分情况进行整理和分析（得分用整数x表示，单位：分），且分为A，B，C三个等级，分别是：优秀为A等级：；合格为B等级：；不合格为C等级：．分别绘制成如下统计图表，其中七年级学生测试成绩的众数出现在A组．A组测试成绩情况分别为：85，85，87，92，95，95，95，95，97，98，99，100；八年级学生测试成绩中A组共有a个人．
七年级、八年级、九年级三组样本数据的平均数、中位数、众数和方差如表所示：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空： ， ， ；
(2)根据以上数据，估计该学校哪个年级的测试成绩最好，并说明理由；
(3)若该校七年级、八年级、九年级各有200人，请估计该校初中学生中成绩为优秀的学生共有多少人？
【答案】(1)；(2)九年级学生的测试成绩更稳定，理由见详解；(3)估计该校初中名学生中成绩为优秀的学生共有390名
【分析】本题考查了方差，众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义和方差的意义是解题的关键．
（1）根据条形统计图可得随机抽取各年级人数，再乘可得的值；根据中位数和众数的定义可得、的值；
（2）可从平均数、中位数、众数、方差角度分析求解；
（3）用样本估计总体解答即可．
【详解】（1）解：由题意可知，；
七年级学生测试成绩从小到大排列，排在中间的两个数是、，
故中位数，众数；故答案为：；；；
（2）九年级学生的测试成绩更稳定，理由如下：
①九年级测试成绩的平均数、中位数和众数均大于七、八年级；
②九年级测试成绩的方差均小于七、八年级；
（3）(名)，
答：估计该校初中名学生中成绩为优秀的学生共有390名．
16．（本小题满分8分）某兴趣小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为，高为，连杆长度为，手臂的长度为，，是转动点，且与始终在同一平面内．

(1)转动连杆，手臂，使，，如图2，求手臂端点离操作台的高度的长（精确到，参考数据：，）．
(2)物品在操作台上，距离底座端的点处，转动连杆，手臂端点能否碰到点？请说明理由．
【答案】(1)；(2)手臂端点不能碰到点，理由见解析．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，矩形的性质，掌握锐角三角函数及勾股定理是解题的关键．
（1）过点作于点，过点作于点，在中，，再根据即可解答；
（2）当，，共线时，根据勾股定理可得的长，进而可进行判断．
【详解】（1）解：过点作于点，过点作于点，如图：

∵，
∴，
∵长度为，
∴在中，，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：手臂端点不能碰到点，理由如下：
由题意得，当，，共线时，手臂端点能碰到距离最远，
如图：

∵高为，长度为，手臂的长度为，
∴，，
∴在中，，
∵距离底座端的点处，
∴，
，手臂端点不能碰到点．
17．（本小题满分10分）如图所示，的半径为5，点A是上一点，直线l过点A；P是上的一个动点（不与点A重合），过P作于点B，交于点E，直径的延长线交直线l于点F，点A是的中点．
(1)求证：直线l是的切线；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是：
（1）利用圆周角定理可得出，利用等边对等角可得出，则，进而可证，利用平行线的性质可证，最后根据切线的判定即可得证；
（2）证明，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明∶连接，
，
∵点A是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又是的半径，
∴直线l是的切线；
（2）解：连接，
∵是直径，
∴，
又，
∴，
又，
∴，
∴，即，
∴．
18．（本小题满分10分）如图，一次函数与反比例函数的图像相交于点，，

(1)求一次函数及反比例函数的解析式；
(2)请直接写出关于x的不等式的解集；
(3)点P是x轴负半轴上一动点，连接、，当面积为12时，求点P的坐标．
【答案】(1)反比例函数表达式为：，一次函数的表达式为：；(2)或；(3)
【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合运用，涉及到面积的计算、待定系数法求函数表达式，利用图象法求不等式解集，综合性强，难度适中．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）观察函数图象即可求解；
（3）由面积，即可求解．
【详解】（1）解：将代入双曲线，
∴，
∴双曲线的解析式为，
将点代入，
∴，
∴，
将代入，
，解得，
∴直线解析式为；
（2）解：观察函数图象知，不等式的解集为：或；
（3）解：设直线交轴于点，设点，

由直线的表达式知，点，
则面积，解得：，
即点的坐标为：．
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．若是方程的根，则代数式的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查代数式求值，涉及方程根的定义、整体代入法求代数式值、分式的混合运算等知识，根据题中所给代数式的结构特征，结合已知条件，恒等变形代值求解即可得到答案，熟练掌握分式混合运算法则化简求值是解决问题的关键．
【详解】解：是方程的根，
，即，
，故答案为：．
20．如图，在中，，，，为的角平分线．为边上一动点，为线段上一动点，连接、、，当取得最小值时，的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了轴对称最短路线问题．在上取点，使．作，交于点．则，，即为的最小值．再根据，列出比例式求出，即可求出的面积．
【详解】解：如图，在上取点，使．作，交于点．
则，
，
即为的最小值．
，，
，
，
，，
∴，
，
，
，
的面积为：．故答案为：．
21．如图，正方形的边长是，是边的中点．将该正方形沿折叠，点落在点处．分别与，，相切，切点分别为，，，则的半径为 ．
【答案】1
【分析】如图所示，延长交于M，连接，先证明得到，设设，则，，利用勾股定理建立方程，解方程求出，如图所示，连接，利用等面积法求出半径即可．
【详解】解：如图所示，延长交于M，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∵E为的中点，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得，
∴，解得，
∴，
如图所示，连接
∵分别与，，相切，切点分别为，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的半径为，故答案为；1．
22．如图，矩形中，，点E是的中点，点F是边上一动点．将沿着翻折，使得点B落在点处，若点P是矩形内一动点，连接，则的最小值为 ．
​
【答案】
【分析】本题考查了图形的折叠与旋转，两点之间线段最短的应用，勾股定理等知识点，将绕点C顺时针旋转得到，连接，连接，由等腰三角形得出，再由折叠得出点的轨迹在以点E为圆心，为半径的圆周上，所以的最小值为，即的最小值为，经计算得出答案即可，熟练掌握图形的旋转及图形的折叠对称的性质是解决此题的关键．
【详解】将绕点C顺时针旋转得到，连接，连接，
则三点共线，，
∴，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∵，
∴，
由折叠成，
∴，
∴点在以点E为圆心，为半径的圆上，
∴，
∵两点间线段最短，
∴，
即，
∴，
∴，
则的最小值为，
故答案为：．
23．若一个四位正整数的各个数位上的数字均不为0，百位数字的2倍等于千位数字与十位数字的和，个位数字比十位数字大1，则称这样的四位正整数为“吉祥数”．比如2345就是一个“吉祥数”，那么最小的“吉祥数”是 ．若A是一个“吉祥数”，由A的千位数字和百位数字依次组成的两位数与A的十位数字和个位数字依次组成的两位数的和记为，比A的各个数位上的数字之和大2，若为整数，则满足条件中的A的最大值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程的解，整式的加减，根据最大的四位数和最小的四位数的特点，结合题意，依次确定百位数和十位数，进而即可求解．
【详解】解：依题意，一个四位正整数的各个数位上的数字均不为0，
∴最小四位数的千位与百位数字为，
∵百位数字的2倍等于千位数字与十位数字的和，
∴十位数字为，
∵个位数字比十位数字大1，
∴个位数字为，
∴这个数为；
依题意，设
∴，
∵比A的各个数位上的数字之和大2，
∴
∴又∵为整数，
∴能被整除
要使得最大，则，
当时，能被整除
∴
∴，
∴满足条件中的A的最大值为
故答案为：，．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（本小题满分8分）利群商场准备购进甲、乙两种服装出售，甲种服装每件售价130元，乙种服装每件售价100元，每件甲种服装的进价比乙种服装的进价贵20元，购进3件甲种服装的费用和购进4件乙种服装的费用相等，现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件．
(1)甲、乙两种服装每件的进价分别是多少元？
(2)若购进这100件服装的费用不得超过7500元．
①求甲种服装最多购进多少件；
②利群商场对甲种服装每件降价元，乙种服装价格不变，如果这100件服装都可售完，那么如何进货才能获得最大利润？
【答案】(1)甲种服装每件的进价80元，乙种服装每件的进价60元；
(2)①甲种服装最多购进75件；②当时，购进甲种服装75件，乙种服装25件利润最大；当时，所有进货方案利润都是4000元；时，购进甲种服装65件，乙种服装35件利润最大．
【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是分类讨论思想的应用．
（1）设甲种服装每件的进价元，根据题意得：，解出的值可得答案；
（2）①设甲种服装购进件，根据甲种服装不少于65件，购进这100件服装的费用不得超过7500元得不等式组，求出范围可知甲种服装最多购进75件；
②设获得利润为元，根据题意得，分三种情况讨论可得答案．
【详解】（1）解：设甲种服装每件的进价元，则乙种服装每件的进价元，
根据题意得：，解得，
，
甲种服装每件的进价80元，乙种服装每件的进价60元；
（2）解：①设甲种服装购进件，
甲种服装不少于65件，购进这100件服装的费用不得超过7500元，
，解得；
甲种服装最多购进75件；
②设获得利润为元，
根据题意得：，
当时，随的增大而增大，
当时，取最大值，此时购进甲种服装75件，乙种服装25件利润最大；
当时，所有进货方案利润都是4000元；
当时，随增大而减小，
当时，取最大值，此时购进甲种服装65件，乙种服装35件利润最大．
综上所述，当时，购进甲种服装75件，乙种服装25件利润最大；当时，所有进货方案利润都是4000元；时，购进甲种服装65件，乙种服装35件利润最大．
25．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且．
(1)试求抛物线的解析式；
(2)直线与轴交于点，与抛物线在第一象限交于点，与直线交于点，记，试求取最大值时点的坐标；
(3)在（2）的条件下，取最大值时，点是轴上的一个动点，点是坐标平面内的一点，是否存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是菱形若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)；(3)点坐标为或或或
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过点作轴交于点，则，根据已知可得，设，求，进而根据二次函数的性质，即可求解；
（3）当DP为菱形的边时，，，，则或；当，时，根据对称性得出；当为菱形的对角线时，交于点，过点作轴交轴于点，则，由，可求，则的纵坐标为，即可求解．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
，
将，，代入，
，解得，
抛物线的解析式为；
（2）当，则，
，
如图1，过点作轴交于点，
，
，
，
，
设，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
，
，
，
当时，有最大值，此时；
（3）存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是菱形，理由如下：
，，
，
当为菱形的边时，，，
或；
当，时，
点和点关于轴对称轴，则；
当为菱形的对角线时，交于点，
，
过点作轴交轴于点，则，
，，
，
，
，
，
，则的纵坐标为，；
综上所述：点坐标为或或或．
26．（本小题满分12分）综合与实践
【问题情境】在数学综合实践课上，“希望小组”的同学们以三角形为背景，探究图形
变化过程中的几何问题．如图，在中，，，点D为平面内一点（点A，B，D三点不共线），为的中线．
【初步尝试】（1）如图1，小林同学发现：延长至点M，使得，连接．始终存在以下两个结论，请你在①，②中挑选一个进行证明：
①；②；
【类比探究】（2）如图2，将绕点A顺时针旋转得到，连接．小斌同学沿着小林同学的思考进一步探究后发现：，请你帮他证明：
【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，王老师提出新的探究方向：点D在以点A为圆心，为半径的圆上运动（），直线与直线相交于点G，连接，在点D的运动过程中存在最大值．若，请直接写出的最大值．
【答案】（1）见详解（2）见详解（3）
【分析】（1）选①证明，由中线得出，再用证明，利用全等的性质得出，由等量代换得出．
（2）由（1）①得结论得出，从而得出，由平行的性质得出，由旋转的性质得出，进一步可得出，利用，由全等的性质得出，最后等量代换可得出．
（3）延长至点M，使得，连接，同（2）可得∶， 由全等的性质得出，，由旋转的性质得出，当点G在上时和当点G在的延长线上时，分别求出，则在点D的运动过程中，点G在以为直径的上运动．取的中点O，连接，，由三角形三边关系得出
，当G，O，B三点共线时(如图3所示)，最大．解直角，即可求出，进一步即可求出．
【详解】解：（1）选择结论①
证明： ∵为的中线
∴，
在和中，
，∴
∴，
∵，
∴．
（2）延长至M，使得，连接，
由（1）得：，
∴，
∴，
∴，
∵，绕点A顺时针旋转得到，
∴，
∴，
∵
∴，
在和中，
，∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）如图2，延长至点M，使得，连接，
同（2）可得∶．
∴，
∵绕点A顺时针旋转得到，
∴，
∴，
∴，
当点G在上时，
∴，
当点G在的延长线上时，
∴，
在点D的运动过程中，点G在以为直径的上运动．
取的中点O，连接，，
∵
当G，O，B三点共线时(如图3所示)，最大．
∵，
∴为直角三角形．
∵，
∴．
∵为直径,∴，
∴，
∴．
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
85
c
d
163
八年级
88
91
96
95.1
九年级
89
91.5
100
77.7
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
85
c
d
163
八年级
88
91
96
95.1
九年级
89
91.5
100
77.7