2024年中考数学（成都）押题预测卷一（含答案）

这是一份2024年中考数学（成都）押题预测卷一（含答案），共43页。试卷主要包含了因式分解等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
A卷（共100分）
第Ⅰ卷（选择题，共32分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分。每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1．的绝对值是（ ）
A．B．C．D．2024
2．PM2.5是指大气中直径小于或等于的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们含有大量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境有很大危害，用科学记数法可表示为（ ）m．
A．B．C．D．
3．下列计算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．2016年5月份，某市测得一周大气的的日均值（单位：微克/立方米）如下：31，35，31，33，30，33，31．对于这组数据下列说法正确的是（ ）
A．众数是30B．中位数是31 C．平均数是33 D．方差是32
5．如图，的对角线、相交于点，如果添加一个条件使得是矩形，那么下列添加的条件中正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．有8张红心、m张黑桃扑克牌，背面朝上放在桌子上，从中任意摸出一张，若摸到红心的可能性比摸到黑桃的可能性大，则m的值不可能是（ ）
A．10B．5C．3D．1
7．我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？设城中人家的户数为x户，下面所列方程符合题意的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，二次函数的图象经过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若两点在该二次函数的图象上，则．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
第Ⅱ卷（非选择题，共68分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．因式分解： ．
10．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点A，若点A的坐标为，则关于x的不等式的解集是 ．
11．如图，中，是中点，平分，则 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，有三点，，，则 ．
13．如图，四边形是平行四边形，以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交和于点、点，以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点；分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线交边于点，连接，交于点，连接，若，，则 ．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（本小题满分12分，每题6分）
（1）计算：；
(2)解不等式组，并写出它的整数解．
15．（本小题满分8分）
某校学生的上学方式分为“A步行、B骑车、C乘公共交通工具、D乘私家车、E其它”，该校数学兴趣小组成员在全校随机抽取了若干名学生进行抽样调查，并整理样本数据，得到如下两幅不完整的统计图：
(1)本次抽样调查的人数为______人，并补全条形统计图；
(2)扇形统计图中“A步行”上学方式所对的圆心角是______度；
(3)若该校共2000名学生，请估计该校“B骑车”上学的人数约是______人；
(4)该校数学兴趣小组成员结合调查获取的信息，向学校提出了一些建议．
如：骑车上学的学生超过全校学生总人数的30%，建议学校合理安排自行车停车场地．
请你结合上述统计的全过程，再提出一条合理化建议．
16．（本小题满分8分）
数学兴趣小组在学习解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识进行综合实践活动．他们选择测量一座砖塔的高度，在点C处测得砖塔顶端A的仰角为，再从C点出发沿斜坡走到达斜坡上的D点，在点D处测得砖塔顶端A的仰角为．若斜坡的坡比，，且点B，C，E在同一水平线上．．
(1)求点D到水平线的距离；
(2)求砖塔的高度（结果保留根号）．
17．（本小题满分10分）
已知是的直径，且，点是上一点，过点作的切线，与的延长线交于点，连接．
(1)如图①，若，求的大小和的长；
(2)如图②，若，过点作交于点，连接交于点，求的长．
18．（本小题满分10分）
如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于，B两点，与反比例函数交于点C，D，且点C的坐标为．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若点M在y轴上，且使得，求点M的坐标；
(3)点P在第二象限的反比例函数图象上，若，求点P的坐标．
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．已知，则的值为 ．
20．如图为一机器零件的三视图，它的俯视图为正三角形，根据图中所标的尺寸，计算这个几何体的表面积是 ．（结果保留根号）
21．如图，将半径为4，圆心角为的扇形绕弧的中点逆时针旋转，点，的对应点分别为点，点落在上，点落在上，则图中阴影部分的面积为___________．
22．如图，点P为矩形的对角线上一动点，点E为的中点，连接，，若，，则的最小值为_________．
23．若一个四位正整数的各个数位上的数字不同，且各个数位上的数字之和为完全平方数，则称这个四位数为“和平数”，那么最大的“和平数”为 ；将一个“和平数”M的前两位数字组成的两位数记为，后两位数字组成的两位数记为，规定，，若、都是整数，则满足条件的M的最大值和最小值的差为 ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（本小题满分8分）
某商店经销甲、乙两种坚果，其中甲坚果每盒进价比乙坚果多8元，甲、乙坚果每盒售价分别是68元和50元，若该商场用1920元购进乙坚果比用1920元购进甲坚果多8盒．
(1)分别求出甲、乙坚果每盒的进价；
(2)若超市用6000元购进了甲、乙两种坚果，其中乙坚果数量不小于甲坚果数量的3倍，在两种坚果全部售完的情况下，求总利润的最大值；
(3)因甲坚果市场反应良好，超市第二次购进的甲坚果与乙坚果的数量比为，为回馈消费者，超市计划将甲坚果每盒售价降低元（为正整数），但甲坚果每盒的利润率需高于乙坚果每盒的利润率，已知第二次两种坚果全部售完后获得的总利润为3600元，求的值．
25．（本小题满分10分）
如图，抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)作射线，将射线绕点A顺时针旋转交抛物线于另一点D，在射线上是否存在一点H，使的周长最小，若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在（2）的条件下，点Q为抛物线的动点，过Q点作x轴的垂线交射线与P点，点Q从A点出发，P点随之运动，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出Q点的坐标．
26．（本小题满分12分）
李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．
(1)问题背景
如图1，正方形中，点为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点A落在点处，当时， ；
如图2，连接，当点恰好落在上时，其他条件不变，则 ；
(2)探究迁移
如图3，在（1）的条件下，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，请写出与之间的数量关系式（用含的式子表示），并说明理由；
(3)拓展应用
如图4，在（1）的条件下，若把正方形改成菱形，且，，其他条件不变，当时，请直接写出的长．
2024年中考押题预测卷01【成都卷】
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
A卷（共100分）
第Ⅰ卷（选择题，共32分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分。每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1．的绝对值是（ ）
A．B．C．D．2024
【答案】A
【分析】本题考查绝对值，根据绝对值的性质求解即可．
【详解】解：的绝对值是，故选：A．
2．PM2.5是指大气中直径小于或等于的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们含有大量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境有很大危害，用科学记数法可表示为（ ）m．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解：，故选：B．
3．下列计算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了积的乘方、同底数幂相乘，幂的乘方以及平方差公式，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、，故该选项是正确的；
B、，故该选项是错误的；
C、，故该选项是错误的；
D、，故该选项是错误的；
故选：A．
4．2016年5月份，某市测得一周大气的的日均值（单位：微克/立方米）如下：31，35，31，33，30，33，31．对于这组数据下列说法正确的是（ ）
A．众数是30B．中位数是31 C．平均数是33 D．方差是32
【答案】B
【分析】本题考查了众数、平均数、方差和中位数的定义，根据定义逐一求解即可．
【详解】解：A、31出现了3次，出现的次数最多，则众数是31，故本选项错误；
B、把这组数据从小到大排列，最中间的数是31，则中位数是31，故本选项正确；
C、这组数据的平均数是：，故本选项错误；
D、这组数据的方差是：，故本选项错误；
故选：B．
5．如图，的对角线、相交于点，如果添加一个条件使得是矩形，那么下列添加的条件中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了矩形的判定，菱形的判定，根据判定定理逐项判断即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形．则A不符合题意；
∵，
∴，
∴平行四边形是菱形．则B不符合题意；
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形．则C不符合题意；
∵，
∴．
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形．则D正确．故选：D．
6．有8张红心、m张黑桃扑克牌，背面朝上放在桌子上，从中任意摸出一张，若摸到红心的可能性比摸到黑桃的可能性大，则m的值不可能是（ ）
A．10B．5C．3D．1
【答案】A
【分析】本题考查了用概率公式求概率，根据摸到红心的可能性比摸到黑桃的可能性大，可得，即可求解，熟知概率公式是解题的关键．
【详解】解：摸到红心的可能性比摸到黑桃的可能性大，，故不可能为10，故选：A．
7．我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？设城中人家的户数为x户，下面所列方程符合题意的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
设设城中有x户人家，根据题意，列出方程即可．
【详解】设城中有x户人家，根据题意，可列方程为．故选A．
8．如图，二次函数的图象经过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若两点在该二次函数的图象上，则．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点问题；根据图象可知函数与轴y轴交点情况及对称轴，判断的情况，可判断①；由时，可判断②；结合对称轴为直线，由对称性可求该函数和轴的另一个交点为代入可判断③；由图象开口向上，得，即，得到两点在对称轴右侧的抛物线上，再根据点到对称轴的距离越大，函数值也越大，可判断④．
【详解】解：根据图象可知：图象开口向上，函数与y轴交点在负半轴上，
，
对称轴为直线，即，
，
，故①正确；
二次函数的图象经过点，对称轴为直线，
该函数和轴的另一个交点为，即，
时，，故②错误；
该函数和轴的另一个交点为，
，
，
，
，即，
，
，
，故③错误；
，
，
两点在对称轴右侧的抛物线上，
在对称轴右侧的抛物线上，y随x的增大而增大，
，
，即，故④正确．故选：B．
第Ⅱ卷（非选择题，共68分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．因式分解： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了提取公因式法以及运用完全平方公式分解因式，直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
【详解】解：，故答案为：．
10．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点A，若点A的坐标为，则关于x的不等式的解集是 ．
【答案】或
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，根据对称性求出点坐标，进而利用图象法求不等式的解集即可．
【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象都关于原点对称，
∴点关于原点对称，
∵点A的坐标为，∴点的坐标为，
由图象可知：的解集是或；故答案为：或
11．如图，中，是中点，平分，则 ．
【答案】
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．延长交于，证明，根据全等三角形的中线得到，，进而求出，根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】解：延长交于，
平分，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，，
，故答案为：．
12．如图，在平面直角坐标系中，有三点，，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形，求正弦，根据点的坐标得出是等腰直角三角形，进而根据正弦的定义，即可求解．
【详解】解：如图所示，取点，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，故答案为：．
13．如图，四边形是平行四边形，以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交和于点、点，以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点；分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线交边于点，连接，交于点，连接，若，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了基本作图，平行四边形的性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，先由作图得出平分，垂直平分，进而得到，，再由平行四边形的性质可得，， ，即可得，得到，可得，，，设，可得，，由，得到，即可得出，掌握角平分线和线段垂直平分线的作法是解题的关键．
【详解】解：由作图得，平分，垂直平分，
∴，，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，， ，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故答案为：．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（本小题满分12分，每题6分）
（1）计算：；
【答案】
【分析】本题考查了锐角三角函数的运算，实数的运算，解题的关键是掌握特殊的锐角三角函数值．先算锐角三角函数、绝对值、零指数幂和负整数指数幂，再算加减即可．
【详解】解：原式
．
(2)解不等式组，并写出它的整数解．
【答案】解集为，整数解有，0
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后找出其中的整数即可．
【详解】解：，
由①得：
由②得：
不等式组的解集为
∴整数解有，0．
15．（本小题满分8分）
某校学生的上学方式分为“A步行、B骑车、C乘公共交通工具、D乘私家车、E其它”，该校数学兴趣小组成员在全校随机抽取了若干名学生进行抽样调查，并整理样本数据，得到如下两幅不完整的统计图：
(1)本次抽样调查的人数为______人，并补全条形统计图；
(2)扇形统计图中“A步行”上学方式所对的圆心角是______度；
(3)若该校共2000名学生，请估计该校“B骑车”上学的人数约是______人；
(4)该校数学兴趣小组成员结合调查获取的信息，向学校提出了一些建议．
如：骑车上学的学生超过全校学生总人数的30%，建议学校合理安排自行车停车场地．
请你结合上述统计的全过程，再提出一条合理化建议．
【答案】(1)150；补全条形统计图见详解；(2)36；(3)680；(4)为了节约和保护环境请同学们尽量不要乘坐私家车（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了扇形图与条形图的综合应用以及抽样调查的随机性，根据扇形图得出各部分所占比例是解题关键．
（1）由方式人数及其所占百分比可得总人数，总人数乘以方式对应百分比求出其人数即可补全图形；
（2）用乘以方式人数所占比例即可；
（3）用总人数乘以方式人数所占比例即可；
（4）答案不唯一，合理均可．
【详解】（1）解：（1）本次抽样调查的人数为（人，
方式人数未（人
补全图形如下：
故答案为：150；
（2）扇形统计图中“步行”上学方式所对的圆心角是，故答案为：36；
（3）估计该校“骑车”上学的人数约是（人，故答案为：680；
（4）为了节约和保护环境请同学们尽量不要乘坐私家车（答案不唯一）．
16．（本小题满分8分）
数学兴趣小组在学习解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识进行综合实践活动．他们选择测量一座砖塔的高度，在点C处测得砖塔顶端A的仰角为，再从C点出发沿斜坡走到达斜坡上的D点，在点D处测得砖塔顶端A的仰角为．若斜坡的坡比，，且点B，C，E在同一水平线上．．
(1)求点D到水平线的距离；
(2)求砖塔的高度（结果保留根号）．
【答案】(1)点D到水平线的距离为；(2)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角、俯角问题，坡度坡角问题，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解此题的关键．
（1）作于，则，根据斜坡的坡比，，结合勾股定理求出的长即可得解；
（2）作于，则四边形为矩形，设 ，则 ，则，，根据，求解即可得出答案．
【详解】（1）解：如图1，作于，则，
斜坡的坡比，
，
设，则，
由题意得：，，
，解得：，
，
点到水平线的距离为；
（2）解：如图2，作于，
则，
四边形为矩形，
，，
设，则，
，，
，
，解得：，
，
砖塔的高度为．
17．（本小题满分10分）
已知是的直径，且，点是上一点，过点作的切线，与的延长线交于点，连接．
(1)如图①，若，求的大小和的长；
(2)如图②，若，过点作交于点，连接交于点，求的长．
【答案】(1)，；(2)
【分析】本题考查了本题考查了切线的性质，等边三角形的判定和性质，垂径定理及勾股定理等知识，
（1）连接，根据切于点得，由是的直径，得，根据得，即，在中，根据勾股定理即可求解；
（2）连接，根据，得是等边三角形，由，得，根据是等边三角形，，得，根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：连接．
切于点，
，即．
是的直径，，
．
．
．
．
．
．
在中，．
（2）解：连接．
，，
是等边三角形．
．
同（1）可得，
，
．
，
．即，
又是的直径，
．
是等边三角形，，
．
在中，．
．
18．（本小题满分10分）
如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于，B两点，与反比例函数交于点C，D，且点C的坐标为．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若点M在y轴上，且使得，求点M的坐标；
(3)点P在第二象限的反比例函数图象上，若，求点P的坐标．
【答案】(1)，；(2)或；(3)
【分析】（1）把点A的坐标代入一次函数解析式求出b的值，即可得到一次函数解析式，再利用一次函数解析式求出点C的坐标，再用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）先求出点B的坐标，设点M的坐标为，则，利用解得或，即可得到答案；
（3）直线与x轴交于M，过M作于N，过C作于H，设，则，根据面积相等，结合，可求的值，在中，根据勾股定理可求a的值，进一步求出直线的解析式，然后再求出直线与反比例函数的交点P的坐标即可．
【详解】（1）解：把代入一次函数得，
，解得，∴一次函数解析式为；
把代入得到，解得，
∴点C的坐标是，
把点C代入得到，解得，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：当时，，∴点B的坐标是，
设点M的坐标为，则，
∵
∴，解得或，∴点M的坐标为或
（3）解：如图，直线与x轴交于M，过M作于N，过C作于H，设，则，
设直线的解析式为，将M、C的坐标代入得：
， 解得，
∴，
在中，
∵， ，
∴，即
∴，
∵，
∴，
∵，
整理得：， 解得或，
∵P在第二象限，
∴当时，，应舍去，
∴，
当时，设直线的解析式为：，
则；解得
直线的解析式为：，
∴， 解得，
∵与重合，∴点P的坐标为．
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．已知，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的值，由已知条件得出，即，再将要求的分式进行化简，然后代入求值即可．熟练掌握分式的化简是解题的关键．
【详解】解：∵，∴，即，
则，故答案为：．
20．如图为一机器零件的三视图，它的俯视图为正三角形，根据图中所标的尺寸，计算这个几何体的表面积是 ．（结果保留根号）
【答案】32+96
【分析】根据三视图可得机器零件为正三棱柱，三棱柱的上下底是高为4的等边三角形，三棱柱高为4，求出等边三角形边长，求出表面积即可．
【详解】解： 由三视图得机器零件为正三棱柱，
作CD⊥AB于D，
∵△ABC是正三角形，
在Rt△BCD中，
∴ ．
故答案为：32+96
21．如图，将半径为4，圆心角为的扇形绕弧的中点逆时针旋转，点，的对应点分别为点，点落在上，点落在上，则图中阴影部分的面积为___________．
【答案】
【分析】本题考查旋转的性质，扇形的面积，等腰三角形的判定和性质等，设与的交点为，连接、、，过点作于点，由可得，再证，是等腰直角三角形，求出相关线段长度，进而求出，，代入计算即可．
【详解】如图，设与的交点为，连接、、，过点作于点，
扇形绕点逆时针旋转得到扇形，
，扇形中空白部分的面积，
．
，
是等腰三角形，
，
，为弧的中点，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
．故答案为：．
22．如图，点P为矩形的对角线上一动点，点E为的中点，连接，，若，，则的最小值为_________．
【答案】6
【分析】作点关于的对称点，交于点，连接交于点，则的最小值为的长度；然后求出和的长度，再利用勾股定理即可求出答案．
【详解】解：作点关于的对称点，交于点，连接交于点，则的最小值为的长度，
∵四边形是矩形，
∴，
在直角中，，，
∴，
∴，
由对称的性质，得，，
∴，
∴
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴ ，
∴，
∴，
∵，
∴当三点共线时有最小值，最小值为的长，
∴的最小值为，故答案为：．
23．若一个四位正整数的各个数位上的数字不同，且各个数位上的数字之和为完全平方数，则称这个四位数为“和平数”，那么最大的“和平数”为 ；将一个“和平数”M的前两位数字组成的两位数记为，后两位数字组成的两位数记为，规定，，若、都是整数，则满足条件的M的最大值和最小值的差为 ．
【答案】 9871 4761
【分析】本题考查了代数式，整式的加减，整除的意义，理解新定义和掌握知识点是解决本题的关键．
①由a、b、c、d的取值范围，确定出最大的完全平方数为25，即可求解；
②确定都能被3整除，能被3整除，继而得到，因此得到，，即可求解．
【详解】解：①为最大的“和平数”，而，
但各个数位上的数字不同，而各个数位上的数字之和为完全平方数，
∴最大的完全平方数为25，
∴最大的“和平数”，当，时，,
∴最大的“和平数”为；
②，则，，
∵、都是整数，
∴设，，为正整数，
则，
两式相加得：，
两式相减得：，
∴都能被3整除，
∴能被3整除，
∵，
∴，
∴或16或25，而能被3整除，
∴
又∵都能被3整除，
∴时，M最大，时，M最小，
∴，，
∴．故答案为：9871；4761.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（本小题满分8分）
某商店经销甲、乙两种坚果，其中甲坚果每盒进价比乙坚果多8元，甲、乙坚果每盒售价分别是68元和50元，若该商场用1920元购进乙坚果比用1920元购进甲坚果多8盒．
(1)分别求出甲、乙坚果每盒的进价；
(2)若超市用6000元购进了甲、乙两种坚果，其中乙坚果数量不小于甲坚果数量的3倍，在两种坚果全部售完的情况下，求总利润的最大值；
(3)因甲坚果市场反应良好，超市第二次购进的甲坚果与乙坚果的数量比为，为回馈消费者，超市计划将甲坚果每盒售价降低元（为正整数），但甲坚果每盒的利润率需高于乙坚果每盒的利润率，已知第二次两种坚果全部售完后获得的总利润为3600元，求的值．
【答案】(1)甲、乙坚果每盒的进价分别为元和元；(2)总利润的最大值为元；(3)或
【分析】本题考查一次函数，分式方程以及一元一次不等式等的实际应用，理解题意，准确建立一次函数、不等式或方程进行求解是解题关键．
（1）设甲坚果每盒的进价为元，则：乙坚果每盒的进价为元，根据题意，列出分式方程进行求解即可；
（2）设购进甲坚果的数量为盒，总利润为，根据题意，列出不等式和一次函数的解析式，利用一次函数的性质，进行求解，即可；
（3）设第二次购进的甲坚果与乙坚果的数量分别为和，根据题意，列出一元一次不等式和二元二次方程进行求解即可．
【详解】（1）解：设甲坚果每盒的进价为元，则：乙坚果每盒的进价为元，由题意，得：，
解得：（舍去）或，
经检验：是原方程的根；
∴；
答：甲、乙坚果每盒的进价分别为元和元；
（2）设购进甲坚果的数量为盒，则购进乙坚果的数量为盒，
由题意，得：，解得：，
∴的最大整数解为：35，
设总利润为，则：，
∴当时，有最大值：；
故总利润的最大值为元．
（3）设第二次购进的甲坚果与乙坚果的数量分别为和，
由题意，得：，解得：，
∵第二次两种坚果全部售完后获得的总利润为3600元，
∴，
整理，得：，
∵均为正整数，
∴或，
∴或．
25．（本小题满分10分）
如图，抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)作射线，将射线绕点A顺时针旋转交抛物线于另一点D，在射线上是否存在一点H，使的周长最小，若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在（2）的条件下，点Q为抛物线的动点，过Q点作x轴的垂线交射线与P点，点Q从A点出发，P点随之运动，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出Q点的坐标．
【答案】(1)；(2)存在，；(3)点的坐标为或或
【分析】（1）由抛物线与x轴两交点坐标，可得抛物线交点式为，去括号即得到抛物线的表达式；
（2）由于点H在射线上运动，点C、B在射线的同侧，求的周长最小即求最小，作点C关于直线的对称点即有，只要点、H、B在同一直线上时，最小．求点C坐标，即求直线解析式，由射线是由射线旋转得到可求得直线解析式．由点A为中点求得点坐标，即求得直线解析式，把直线与直线解析式联立成方程组，求得的解即为点H坐标．
（3）设，由直线：可得，则，，分两种情况：①当时，②当时，根据等腰三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和，
∴交点式为，
∴抛物线的表示式为；
（2）解：在射线上存在一点H，使的周长最小，
如图，延长到，使，连接，与交点即为满足条件的点H，
∵时，，
∴，
∴，
∴，直线解析式为，
∵射线绕点A顺时针旋转得射线，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
∵，
∴，垂直平分，
∴，
∴当、H、B在同一直线上时，
最小，
设直线解析式为，
∴，解得：，
∴直线：，
∵，解得：，
∴点H坐标为；
（3）解：设，则，
∴，，
①当时，，
∴或，
解得（舍去）或（舍去），
∴Q点的坐标为或；
②当时，如图，
∵轴，
∴，
∴，
∴（舍去）,
∴Q点的坐标为．
综上所述，当是以为腰的等腰三角形时，Q点的坐标为或或．
26．（本小题满分12分）
李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．
(1)问题背景
如图1，正方形中，点为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点A落在点处，当时， ；
如图2，连接，当点恰好落在上时，其他条件不变，则 ；
(2)探究迁移
如图3，在（1）的条件下，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，请写出与之间的数量关系式（用含的式子表示），并说明理由；
(3)拓展应用
如图4，在（1）的条件下，若把正方形改成菱形，且，，其他条件不变，当时，请直接写出的长．
【答案】(1)，2；(2)，理由见详解；(3)
【分析】（1）根据翻折的性质以，全等三角形的性质平角的概念求出，再根据相似三角形的性质，得出和的关系即可求解；
（2）根据（1）中三角形的全等与相似条件不变，得出不变，再根据和的关系，和的关系即可；
（3）构造相似三角形，根据三角形相似的性质，得出和相等，然后根据相似三角形的性质和勾股定理求出的长，即为的长．
【详解】（1）解：（1），
，
，，
由翻折的性质可知，，
，
，
又，
，
又，
，
，
由翻折的性质可知，，，
，
，
四边形为正方形，
，
，
，，
，
，
，
，即，
故答案为：，2；
（2），理由如下：
由（1）可知，，，
，
；
（3）过作，交延长线于，作的平分线，交于，如图，
，
，，，
，
又，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
设，
四边形为菱形，
，
，
，
，，
，，
由勾股定理可得：，
，解得：，即的长为．