2026高考数学一轮复习8.8直线与圆锥曲线的位置关系【课件】

第8节　直线与圆锥曲线的位置关系[课程标准要求] 1.了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式.3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题.积累·必备知识01回顾教材,夯实四基1.直线与圆锥曲线的位置判断将直线方程与圆锥曲线方程联立,消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程,则直线与圆锥曲线相交⇔Δ 0;直线与圆锥曲线相切⇔Δ 0;直线与圆锥曲线相离⇔Δ 0.>=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,注意到直线l恰好过抛物线的焦点,所以|AB|=x1+x2+2=8.故选C.4.已知点A,B是双曲线 上的两点,线段AB的中点是M(3,2),则直线AB的斜率为(　　)√02提升·关键能力类分考点,落实四翼考点一　直线与圆锥曲线的位置关系[例1] (1)(多选题)(2024·江苏模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:kx-y-k=0,椭圆 (a>b>0),则下列说法正确的是(　　)A.l恒过点(1,0)B.若l恒过C的焦点,则a2+b2=1C.对任意实数k,l与C总有两个公共点,则a≥1D.若a0),则焦点的坐标可能为(c,0)或(-c,0),若直线恒过椭圆的焦点,则 c=1,所以a2-b2=1,B错误;当a>1时,(1,0)在椭圆内部,直线与椭圆相交;当a=1时,(1,0)在椭圆上,且恰好是椭圆的一个顶点,而直线斜率存在,故直线与椭圆相交;当0b>0)的离心率为 ,AB为过椭圆右焦点的一条弦,且AB长度的最小值为2.(1)求椭圆M的方程;(2)若斜率为1的直线l与椭圆M交于C,D两点,点P(2,0),直线PC的斜率为 ,求线段CD的长度.考点三　中点弦问题[例3] 设P1和P2是双曲线 上的两点,线段P1P2的中点为M,直线P1P2不经过坐标原点O.(1)若直线P1P2和直线OM的斜率都存在且分别为k1和k2,求证:(2)若双曲线的焦点分别为 ,点P1的坐标为(2,1),直线OM的斜率为 ,求由四点P1,F1,P2,F2所围成四边形P1F1P2F2的面积.解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路(1)根与系数的关系法:联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组,消元得到一元二次方程后,由根与系数的关系及中点坐标公式求解.(2)点差法:设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),将这两点坐标分别代入圆锥曲线的方程,并对所得两式作差,得到一个与弦AB的中点和直线AB斜率有关的式子,可以大大减少计算量.但是,使用点差法的前提是直线与圆锥曲线相交,注意检验.(3)中点弦的常用结论已知A(x1,y1),B(x2,y2)为圆锥曲线E上的两点,AB的中点为C(x0,y0),[针对训练] (2024·河北衡水模拟)已知椭圆 (a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为 ,短轴顶点分别为M,N,四边形MF1NF2的面积为32.(1)求椭圆C的标准方程;(2)直线l交椭圆C于A,B两点,若AB的中点坐标为(-2,1),求直线l的方程.考点四　垂直平分弦问题[例4] 已知直线l与椭圆 交于不同的两点M,N,且线段MN恰被直线 平分,设弦MN的垂直平分线的方程为y=kx+m,试求m的取值范围.圆锥曲线的弦的垂直平分线问题的一般解法是:结合题意设出弦的方程,与圆锥曲线的方程联立,消元后利用判别式Δ>0及弦中点既在弦上,又在垂直平分线上的特征求得相应参数的关系式.[针对训练] 若双曲线 上存在两个点关于直线对称,则实数t的取值范围为　　　　 　　.(-∞,-4)∪(4,+∞)消去y,得x2-4bx+b2+3=0,所以x1+x2=4b,y1+y2=2b-2(x1+x2)=-6b,由Δ=16b2-4(b2+3)>0,可得b>1或b4或t