2024年中考数学（广州）第二次模拟考试（含答案）

这是一份2024年中考数学（广州）第二次模拟考试（含答案），共39页。试卷主要包含了课本习题等内容，欢迎下载使用。
本试卷共三大题，满分120分，考试用时120分钟.
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号，将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”.
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案. 答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．若一个数与它的相反数在数轴上对应的点之间的距离为4，则这个数是（ ）
A．-2B．0C．±2D．±4
2．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A． B． C．D．
3．如图，内接于⊙O，，则的度数为（ ）
A．B．C．75°D．120°
4．下列运算结果正确的是( )
A．B．C．D．
5．一个不等式组，那么它的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．如果当时，反比例函数的函数值随x的增大而增大，那么一次函数的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限
7．某班进行演讲比赛，其中6人的成绩如下：，，，，，（单位：分），则下列说法不正确的是（ ）
A．这组数据的众数是分B．这组数据的方差是
C．这组数据的平均数是分D．这组数据的中位数是分
8．如图，在坡角为30°的斜坡上要栽两棵树，要求它们之间的水平距离为，则这两棵树之间的坡面的长为（ ）
A．B．C．D．
9．课本习题：“A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg，A型机器人搬运900kg所用时间与B型机器人搬运600kg所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？”下列四位同学列方程正确的是（ ）
①设A型机器人每小时搬运xkg化工原料，则：
甲列的方程为：；乙列的方程为：
②设A型机器人搬运900kg化工原料需要x小时，则：
丙列的方程为：；丁列的方程为：
A．甲、丙B．甲、丁C．乙、丙D．乙、丁
10．已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围为（ ）
A．B．且C．且D．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．5月5日，记者从襄阳市文化和旅游局获悉，五一长假期间，我市41家级景区全部开放，共接待游客约2270000人次．数据2270000用科学记数法表示为 ．
12．若二次函数的图像经过点，，则 （选填：﹥，﹤，=）
13．明德华兴中学自2021年下学期恢复高中办学后，街舞社按四个年级分、、、四个学习小组，小明同学根据各小组的成员人数绘制了条形统计图（1），小华同学绘制了扇形统计图（2），其中 ．
14．若正方形的面积为36，则该正方形的对角线长为 ．
15．如图,已知分别是和的平分线，连接，, ．

16．如图，在Rt△ABC中∠BAC＝90°，点D和点E分别是AB，AC的中点，点F和点G分别在BA和CA的延长线上，若BC＝10，GF＝6，EF＝4，则GD的长为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分4分）
解方程：．
（本小题满分4分）
如图，点在线段上，，，．求证：．

19．（本小题满分6分）
如图，在平面直角坐标系中，其中点，点，点．

(1)将向右平移4个单位得到，在图中画出，并写出点的坐标；
(2)求的面积．
20．（本小题满分6分）
已知三个整式，，．
(1)从中选出两个进行加法运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解；
(2)从中选出两个分别作为分式的分子与分母，要求这个分式不是最简分式，并对这个分式进行约分．
21．（本小题满分8分）
小明和小亮是一对双胞胎，他们的爸爸买了两套不同品牌的运动服送给他们，小明和小亮都想先挑选．于是小明设计了如下游戏来决定谁先挑选．游戏规则是：在一个不透明的袋子里装有除数字以外其它均相同的4个小球，上面分别标有数字1，2，3，4．一人先从袋中随机摸出一个小球，另一人再从袋中剩下的3个小球中随机摸出一个小球．若摸出的两个小球上的数字和为奇数，则小明先挑选；否则小亮先挑选．
(1)用树状图或列表法求出小明先挑选的概率；
(2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
22．（本小题满分10分）
金百超市经销某品牌童装，单价为每件50元时，每天销量为60件，当单价每件从50元降了20元时，一天销量为100件．设降x元时，一天的销量为y件．已知y是x的一次函数．
(1)求y与x之间的关系式；
(2)若某天销售童装80件，则该天童装的单价是多少?
23．（本小题满分10分）
已知抛物线的顶点为点，与轴分别交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点
(1)直接写出点的坐标为 ；
(2)如图，若、两点在原点的两侧，且，四边形为正方形，其中顶点、在轴上，、位于抛物线上，求点的坐标；
(3)若线段，点为反比例函数与抛物线在第一象限内的交点，设的横坐标为，当时，求的取值范围．

24．（本小题满分12分）
问题发现：
(1)如图，在中，，为的中点，以为直角边，在下方作等腰直角，其中以为直角边，在上方作等腰直角，其中，与交于点．求证：．
类比探究：
(2)如图，若将绕点顺时针旋转，则中的结论是否仍然成立？请说明理由；
拓展延伸：
(3)如图，在的条件下，再将等腰直角沿直线向右平移个单位长度，得到，若，试求的值．（用含，的式子表示）
25．（本小题满分12分）
问题探究：数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图①，已知E是的中点，点A在上，且．求证：．
分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或者等腰三角形的性质．本题中要证相等的两条线段不在同一个三角形中，所以考虑从全等三角形入手，而与所在的两个三角形不全等．因此，要证，必须添加适当的辅助线构造全等三角形．以下是两位同学添加辅助线的方法．
第一种辅助线做法：如图②，延长到点F，使，连接；
第二种辅助线做法：如图③，作于点G，交延长线于点F.
(1)请你任意选择其中一种对原题进行证明：
方法总结：以上方法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题．
(2)方法运用：如图④，是的中线，与交于点F且．求证：．
2024年中考第二次模拟考试（广州卷）
数学·全解全析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．若一个数与它的相反数在数轴上对应的点之间的距离为4，则这个数是（ ）
A．-2B．0C．±2D．±4
【答案】C
【分析】根据相反数的性质，结合数轴确定出所求即可．
【详解】解：若一个数与它的相反数在数轴上对应点之间的距离为4，
则这个数是±2，
故选：C．
【点睛】此题考查了数轴，以及相反数，熟练掌握相反数的性质是解本题的关键．
2．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形进行解答即可．
【详解】解：根据主视图和左视图为矩形可判断出该几何体是柱体，
根据俯视图是两个矩形可判断出该几何体为
．
故选：D．
【点睛】本题考查由三视图想象立体图形．做这类题时要借助三种视图表示物体的特点，从主视图上弄清物体的上下和左右形状；从俯视图上弄清物体的左右和前后形状；从左视图上弄清楚物体的上下和前后形状，综合分析，合理猜想，结合生活经验描绘出草图后，再检验是否符合题意．
3．如图，内接于⊙O，，则的度数为（ ）
A．B．C．75°D．120°
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理，直接利用圆周角定理即可得出答案．
【详解】解：∵弧对的圆心角是，对的圆周角是，
∴，
∴．
故选：B．
4．下列运算结果正确的是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】依次根据合并同类项，同底数幂的乘法（ ），单项式乘单项式，幂的乘方公式（）对各选项判断即可．
【详解】A．与不是同类项不能合并，故该选项错误；
B．，故该选项错误；
C．，故该选项错误；
D．，故该选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查合并同类项、幂的相关计算和单项式乘单项式．解题的关键是掌握幂的乘方、合并同类项法则、同底数幂的乘法及单项式乘单项式的运算法则．
5．一个不等式组，那么它的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先求出每个不等式的解集，后把解集表示到数轴上即可．
【详解】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴该不等式组的解集为，
其解集在数轴上表示如下：
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，解集的数轴表示，熟练求得不等式组的解集是解题的关键．
6．如果当时，反比例函数的函数值随x的增大而增大，那么一次函数的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的图象性质：与y轴交于，当时，在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当时，在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．①的图象在一、二、三象限；②的图象在一、三、四象限；③的图象在一、二、四象限；④的图象在二、三、四象限．反比例函数的图象性质，反比例函数的图象是双曲线，当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．由反比例函数的性质可判断k的符号，再根据一次函数的性质即可判断一次函数的图象经过的象限．
【详解】解：由题意得：，
，，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，
故选：B．
7．某班进行演讲比赛，其中6人的成绩如下：，，，，，（单位：分），则下列说法不正确的是（ ）
A．这组数据的众数是分B．这组数据的方差是
C．这组数据的平均数是分D．这组数据的中位数是分
【答案】D
【分析】根据平均数、众数、中位数和方差的定义分别计算即可．
【详解】解：这组数据从大到小排列为，，，，，，
分出现次数最多，则这组数据的众数是分，故A选项正确，不符合题意；
处于中间的两个数是，，则这组数据的中位数是分，故D选项错误，符合题意；
这组数据的平均数为，故C选项正确，不符合题意；
方差为
，故B选项正确，不符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握平均数、众数、中位数和方差的定义．
8．如图，在坡角为30°的斜坡上要栽两棵树，要求它们之间的水平距离为，则这两棵树之间的坡面的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】是的斜边，这个直角三角形中，已知一边和一锐角，满足解直角三角形的条件，可求出的长．
【详解】解：如图，，，m，
∴AB=2BC，
∴，即，
解得：m，
∴m，
故选：C．
【点睛】本题考查了坡度坡角问题，直角三角形的性质，勾股定理．应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形．
9．课本习题：“A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg，A型机器人搬运900kg所用时间与B型机器人搬运600kg所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？”下列四位同学列方程正确的是（ ）
①设A型机器人每小时搬运xkg化工原料，则：
甲列的方程为：；乙列的方程为：
②设A型机器人搬运900kg化工原料需要x小时，则：
丙列的方程为：；丁列的方程为：
A．甲、丙B．甲、丁C．乙、丙D．乙、丁
【答案】D
【分析】分别从不同角度设未知数列出方程进行判断即可．
【详解】解：设A型机器人每小时搬运xkg化工原料，则B型机器人每小时搬运(x-30)kg化工原料,
则
故乙正确；
设A型机器人搬运900kg化工原料需要x小时，
则
故丁正确．
故选：D．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题关键是合理设元，找到等量关系列出方程．
10．已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围为（ ）
A．B．且C．且D．
【答案】D
【分析】根据已知分1-2k=0和1-2k≠0分别讨论求出k的取值范围，再结合即可．
【详解】解：∵关于x的方程有实数根，
若1-2k=0，则k=，方程为，
此时方程有解，
∴k=；
若1-2k≠0，则≥0，k+1≥0，
分别解得：k≠，k≤2，k≥-1，
则k的取值范围是：-1≤k≤2，且k≠，
综上：-1≤k≤2.
故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式的应用，能根据题意分1-2k=0和1-2k≠0分别讨论求出k的取值范围，当1-2k≠0时还需要满足≥0，k+1≥0．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．5月5日，记者从襄阳市文化和旅游局获悉，五一长假期间，我市41家级景区全部开放，共接待游客约2270000人次．数据2270000用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，当原数绝对值小于1时，是负整数．
【详解】解：2270000用科学记数法表示为 ，
故答案为：．
【点睛】本题考查了科学记数法—表示较大的数，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
12．若二次函数的图像经过点，，则 （选填：﹥，﹤，=）
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的对称轴和开口方向，判断所给点到对称轴的距离大小即可求解．
【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，且图象开口向上，
又，，，
∴
故答案为：
13．明德华兴中学自2021年下学期恢复高中办学后，街舞社按四个年级分、、、四个学习小组，小明同学根据各小组的成员人数绘制了条形统计图（1），小华同学绘制了扇形统计图（2），其中 ．
【答案】72
【分析】用360°乘以D组的人数和总人数得出D组所占的百分比即可得出答案．
【详解】解：四个小组的总人数为：4+8+12+6=30（人），
D组的人数在扇形统计图中所对应的圆心角的度数为：
，
∴m=72，
故答案为：72．
【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解题的关键．
14．若正方形的面积为36，则该正方形的对角线长为 ．
【答案】
【分析】根据正方形面积公式，求出边长，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵正方形的面积为36，
∴正方形的边长为，
∴该正方形的对角线长为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握正方形四条边相等．
15．如图,已知分别是和的平分线，连接，, ．

【答案】/44度
【分析】过点作，交的延长线于点，过点作于点，过点作，交的延长线于点，根据角平分线的判定和性质可得，，从而得到，再由角平分线的性质和三角形外角的定义可得，进行计算即可得到答案．
【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，过点作于点，过点作，交的延长线于点，

分别是和的平分线，，，，
，
，，
平分，
，
，
，
分别是和的平分线，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形外角的定义及性质，熟练掌握角平分线的判定与性质，三角形外角的定义及性质，添加适当的辅助线是解题的关键．
16．如图，在Rt△ABC中∠BAC＝90°，点D和点E分别是AB，AC的中点，点F和点G分别在BA和CA的延长线上，若BC＝10，GF＝6，EF＝4，则GD的长为 ．
【答案】
【分析】先利用三角形的中位线的性质求得线段，然后在，，，中分别利用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵点D和点E分别是AB，AC的中点，BC＝10，
∴，
∵Rt△ABC中∠BAC＝90°，
∴，，，都是直角三角形，
∵GF＝6，EF＝4，
∴由勾股定理得， ①，
②，
③，
∴，得，
∵在中，，
∴，
解得或（不合题意，舍去）
故答案为：
【点睛】本题考查了三角形的中位线的性质及勾股定理的应用，此处勾股定理的灵活运算是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分4分）
解方程：．
【答案】
【分析】运用因式分解法求解即可．
【详解】解：移项得：，
因式分解得：，
∴或，
解得：．
【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
（本小题满分4分）
如图，点在线段上，，，．求证：．

【答案】见解析
【分析】首先根据平行线的性质得到，然后证明出，最后根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】证明：∵，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定．
19．（本小题满分6分）
如图，在平面直角坐标系中，其中点，点，点．

(1)将向右平移4个单位得到，在图中画出，并写出点的坐标；
(2)求的面积．
【答案】(1)见解析，
(2)
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，并顺次连接即可得到，根据点在坐标系中的位置即可写出坐标；
（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
【详解】（1）如图所示，为所求，

（2）
【点睛】本题考查作图平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质学会用割补法求三角形的面积．
20．（本小题满分6分）
已知三个整式，，．
(1)从中选出两个进行加法运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解；
(2)从中选出两个分别作为分式的分子与分母，要求这个分式不是最简分式，并对这个分式进行约分．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先找出两个整式的和，再看看能否分解因式即可；（2）先找出两个整式分别作为分式的分子与分母，再看看能否约分即可
【详解】（1）解：
或；
（2）解：或．
【点睛】本题考查了最简分式，因式分解，约分等知识点，能熟记完全平方公式和能正确约分是解此题的关键．
21．（本小题满分8分）
小明和小亮是一对双胞胎，他们的爸爸买了两套不同品牌的运动服送给他们，小明和小亮都想先挑选．于是小明设计了如下游戏来决定谁先挑选．游戏规则是：在一个不透明的袋子里装有除数字以外其它均相同的4个小球，上面分别标有数字1，2，3，4．一人先从袋中随机摸出一个小球，另一人再从袋中剩下的3个小球中随机摸出一个小球．若摸出的两个小球上的数字和为奇数，则小明先挑选；否则小亮先挑选．
(1)用树状图或列表法求出小明先挑选的概率；
(2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
【答案】(1)见解析，；
(2)不公平，见解析
【分析】（1）用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率即可；
（2）求出小明、小亮获胜的概率即可．
【详解】（1）解：根据题意可列表或树状图如下：
从表可以看出所有可能结果共有12种，且每种结果发生的可能性相同，符合条件的结果有8种，
∴P（和为奇数）；
（2）解：不公平．
∵小明先挑选的概率是（和为奇数），小亮先挑选的概率是（和为偶数）， ，
∴不公平．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求简单随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键．
22．（本小题满分10分）
金百超市经销某品牌童装，单价为每件50元时，每天销量为60件，当单价每件从50元降了20元时，一天销量为100件．设降x元时，一天的销量为y件．已知y是x的一次函数．
(1)求y与x之间的关系式；
(2)若某天销售童装80件，则该天童装的单价是多少?
【答案】(1)y与x之间的关系式为y=2x+60
(2)该天童装的单价是每件40元
【分析】(1)根据题意先设出y与x的函数关系式y=kx+b，再根据题目中的数据，即可求出该函数的解析式；
(2)将y= 80代入(1) 中函数关系式，求出相应的x的值即可．
【详解】（1）因为y是x的一次函数．
所以，设y与x的函数关系式为y=kx+b，
由题意知，当x=0时， y=60 ；当x=20时， y= 100，
所以，
解之得：
所以y与x之间的关系式为y=2x+60 ；
（2）当y=80时，由80=2x+60，
解得x=10，
所以50- 10= 40(元)，
所以该天童装的单价是每件40元．
【点睛】本题考查一次函数的应用， 解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数关系式．
23．（本小题满分10分）
已知抛物线的顶点为点，与轴分别交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点

(1)直接写出点的坐标为 ；
(2)如图，若、两点在原点的两侧，且，四边形为正方形，其中顶点、在轴上，、位于抛物线上，求点的坐标；
(3)若线段，点为反比例函数与抛物线在第一象限内的交点，设的横坐标为，当时，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）利用配方把解析式配成顶点式即可；
（2）根据正方形的性质则可以得出，再由抛物线点的特征列出一元二次方程，求解即可得出点坐标；
（3）利用二次函数和反比例函数的增减性即可求解．
【详解】（1）∵，
∴顶点，
故答案为：，
（2）设，，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，，
将代入，解得，
∴抛物线解析式为：，
设，则，
∴，，
根据题意，得：，
解得：，(舍去)，
∴点，
（3）∵线段，抛物线对称轴为直线，
∴，，
∴，解得，
∴抛物线解析式为：，
当时，
对于抛物线，随的增大而增大，
对于反比例函数，随的增大而减小，
∴时，双曲线在抛物线上方，
即：，解得：，
∴当时，双曲线在抛物线下方，
即：，解得：，
∴的取值范围：．
【点睛】此题考查了二次函数的图象及其性质、反比例函数的性质，熟练运用二次函数与反比例函数的性质是解题的关键．
24．（本小题满分12分）
问题发现：
(1)如图，在中，，为的中点，以为直角边，在下方作等腰直角，其中以为直角边，在上方作等腰直角，其中，与交于点．求证：．
类比探究：
(2)如图，若将绕点顺时针旋转，则中的结论是否仍然成立？请说明理由；
拓展延伸：
(3)如图，在的条件下，再将等腰直角沿直线向右平移个单位长度，得到，若，试求的值．（用含，的式子表示）
【答案】(1)证明见解析
(2)成立，理由见解析
(3)
【分析】（1）利用证明≌，可得结论；
（2）连接，，首先利用证明≌，得，，再利用证明≌，得；
（3）连接，由同理得≌，再说明∽，得．
【详解】（1）证明：由题意可得：点、、三点共线，且，，
，
，
≌，
．
（2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下：
如图，连接，，

由题意得，，，，点为的中点，
，
，
≌，
，，
，
又，，
，
．
（3）解：由题意得，，，
则，
如图，连接，
由同理得，
，，
又，，
∽，
．
【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转和平移的性质等知识点，熟练掌握旋转相似的基本模型是解题的关键．
25．（本小题满分12分）
问题探究：数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图①，已知E是的中点，点A在上，且．求证：．
分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或者等腰三角形的性质．本题中要证相等的两条线段不在同一个三角形中，所以考虑从全等三角形入手，而与所在的两个三角形不全等．因此，要证，必须添加适当的辅助线构造全等三角形．以下是两位同学添加辅助线的方法．
第一种辅助线做法：如图②，延长到点F，使，连接；
第二种辅助线做法：如图③，作于点G，交延长线于点F.
(1)请你任意选择其中一种对原题进行证明：
方法总结：以上方法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题．
(2)方法运用：如图④，是的中线，与交于点F且．求证：．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）第一种辅助线做法：延长到点F，使，连接．只要证明△BEF≌△CED，即可解决问题．
第二种辅助线做法：作于点G，交延长线于点F，先证明△BEF≌△CEG，再证明△ABF≌△DCG即可．
（2）延长AD到点Aˊ，使得DAˊ=AD，连接BAˊ，只要证得△BDAˊ≌△CDA即可．
【详解】（1）第一种辅助线做法：
证明：如图1，延长DE到点F，使得DE=EF，连接BF，
∵E是BC的中点
∴BE=CE
在△BEF与△CED中

∴△BEF≌△CED（SAS）
∴BF=CD ， ∠F=∠CDE
又∵∠BAE=∠CDE
∴∠BAE=∠F
∴BF=AB
∴AB=CD
第二种辅助线做法：
证明：如图2，作CG⊥DE于点G，BF⊥DE交DE延长线于点E；
则∠F＝∠CGE＝∠CGD＝90°，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE
在△BEF与△CEG中
∴△BEF≌△CEG （AAS）
∴BF=CG，
在△ABF与△DCG中，
，
∴△ABF≌△DCG（AAS），
∴AB=CD ．
（2）如图3，延长AD到点Aˊ，使得DAˊ=AD，连接BAˊ，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD．
在△BDAˊ与△CDA中
，
∴△BDAˊ≌△CDA （SAS）
∴BAˊ=AC， ∠Aˊ=∠CAD，
又∵AE=EF，
∴∠CAD=∠EFA=∠BFAˊ，
∠Aˊ=∠BFAˊ
∴BF=BAˊ
∴BF=AC．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的中线等知识，解题的关键是学会添加辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
第一次
第二次
1
2
3
4
1

(1，2)
(1，3)
(1，4)
2
(2，1)

(2，3)
(2，4)
3
(3，1)
(3，2)

(3，4)
4
(4，1)
(4，2)
(4，3)